Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

656.31 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

1.2.Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɦɟɬɨɞɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ

1.2.1.ɇɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɟ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ ɢ ɦɟɬɨɞ ɩɨɞɧɟɫɟɧɢɹ ɩɨɞ

ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ

Ɂɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɨɬ ɦɧɨɝɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

ɪɟɲɚɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞɨɦ ɫɜɟɞɟɧɢɹ ɢɯ ɤ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɬɚɛɥɢɱɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ. ɗɬɨɝɨ ɦɨɠɧɨ

ɞɨɫɬɢɱɶ ɩɭɬɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɵɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ (ɫɦ. ɉɪɢɦɟɪ 1.4.)

ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢɥɢ ɩɨɞɧɟɫɟɧɢɟɦ ɱɚɫɬɢ ɟɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ ɩɨɞ ɡɧɚɤ

ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ.

ɉɨɞɧɟɫɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨɞ ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɨɞ ɡɧɚɤ

ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɮɭɧɤɰɢɸ, ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥ Ȼɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɜɟɧ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ

ɜɵɪɚɠɟɧɢɸ, ɬɨ ɟɫɬɶ

³ f (M(x ))Mc(x )dx

³ f (t)dt , ɝɞɟ t=M(x).

ɉɪɢɦɟɪ 1.1. x

d (ln x) .

(ln x) dx

ɉɪɢɦɟɪ 1.2. cos3xdx

1 3cos3xdx

1 d(sin 3x).

ɉɪɢɦɟɪ 1.3. ³sin(5x

2)dx

³sin(5x 2)d (5x 2)

cos(5x 2) C .

ɉɪɢɦɟɪ 1.4. (ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ)

(3x 7

x 5

x 5/7dx 2

2sin x 3)dx

3 xdx

sin xdx 3 dx

12 / 7

ɩ3 x

2cos x 3x C

3 x2

x12 / 7

2cos x 3x C.

12 / 7

ɉɪɢɦɟɪ 1.5.

ªɞɟɥɚɟɦɩɨɞɧɟɫɟɧɢɟ

100x

10x 1

ɩɨɞ ɡɧɚɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ: dx

d 10x

ªɬɚɛɥɢɰɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ;º

¬«u 10x; D 1

¼»

10x

10x 1

10x 2 1

10x

100x2 1

ɋ.

ɉɪɢɦɟɪ 1.6.

ªɡɚɦɟɬɢɦ,ɱɬɨ

«dx

d ln x

5ln x

« x

5 d

5ln x

5 d 4 5ln x

«ɩɨɞɧɟɫɟɧɢɟɩɨɞɡɧɚɤ

ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɚ

1 ³ 4 5ln x 3 d 4

5ln x

>ɬɚɛɥɢɰɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ@

1 4 5ln x

3 1

4 5ln x

ɋ.

1.2.2. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɡɚɦɟɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ (ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɨɣ)

ɉɭɫɬɶɩM(t) – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ

ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ, ɩɪɢɱɟɦ Mc(t)z0; ɬɨɝɞɚ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɮɨɪɦɭɥɚ

³ f (x)dx ³ f (M(t))M

(t)dt .

ɉɪɢɦɟɪ

1.7.

³2x

x2 3dx = ³

x2 3d(x2 3) ,

ɬɚɤ

ɤɚɤ

2xdx

d (x2 3) .

Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ x 2 3

u, ɬɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɢɦ

(x2 3)

³ x 2 3 2xdx ³u

C .

3 5sin x

cos xdx

t;»

ɉɪɢɦɟɪ

1.8.

«dt

5cos xdx;»

³t

3 dt

t 3

3 3 5sin x

cos xdx

3 (3 5sin x)2

C .

1.2.3. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ

ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ ɜɢɞɚ

R(x,

x 2 a2 )dx;

R(x,

a2 x

a2 x 2 )dx ,

ɝɞɟ

R(u,v)

–

2 )dx;

R(x,

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɚɹ

ɮɭɧɤɰɢɹ

ɨɬ

u ɢ

v, ɜɵɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɩɪɢ ɩɨɦɨɳɢ

ɨa

ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ

cos t

, x

sin t

, x

a sin t, x

a cos t, x

a tg t .

;

cost

tgt

sin t

sin 2 t

sin t

ɉɪɢɦɟɪ 1.9.ɡ

«dx

dt;»

cos2 t

³sect

cos2 t

³cos2 t

tgt

cos2 t

tgt t C

tg(arccos

)

arccos

C .

ɟcos t

2sin t;

ɉɪɢɦɟɪ 1.10. ³

4 x

2costdt;

³4cos

tdt

2³(1 cos 2t)dt

4 x

2cost¼

x 2

2t sin 2t C

2arcsin

2sin t cost

2arcsin

x 4 x

C .

1.2.4. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:

³udv

³vdu, ɝɞɟ u(x),

v(x) – ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.

Ʉɥɚɫɫɵ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɵɯ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ:

1) ³x nex dx, ³x n sin xdx, ³x n cos xdx . Ɂɚ u ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ xn (u=xn).

³x

ln xdx, ³x

arcsin xdx,

³x

arctgxdx . Ɂɚ u ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬɫɹ

ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɚɹ ɢɥɢ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.

³ex sin xdx,

³ax cos xdx

ɢ ɞɪɭɝɢɟ. ȼɵɛɨɪ u

ɢ dv ɪɚɜɧɨɫɢɥɟɧ. ȼ ɷɬɨɦ

ɫɥɭɱɚɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɞɜɭɤɪɚɬɧɨɦɭ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɸ ɮɨɪɦɭɥɵ

ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ (ɫɦ. ɩɪɢɦɟɪ 1.14.).

ɉɪɢɦɟɪ 1.11. ³ln xdx

«ln x

dx;»

xln x ³x

«dx

dv;

x ln x ³dx x ln x

C .

ɉɪɢɦɟɪ 1.12.

ɨª

ɩarcsin xdx

«arcsin x u;

;»

arcsin x ³

1 x2

dv;

x 1 x2

arcsin x

«x

,dx

dt»

t 2 1

t 2

arcsin x

ln | t

t 2 1 C

arcsin x

1 x2

ɉɪɢɦɟɪ 1.13. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ³

x2 4 dx .

xɍ

Ɋɟɲɟɧɢɟ. Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ

K ³

x2 4 dx

«ɩɨɥɚɝɚɟɦ:

dv;»

x2 4 2³x

«du

2x dx;

v x

x2 4

4 4

x2 4

4 2³

dx x x

4 2³

dx 8³

x2 4 C1.

x2 4 2K 8ln x

ɂɡ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɜɵɪɚɡɢɦ ɢɫɤɨɦɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ Ʉ :

··

ɢ C

¨x

8ln¨x

4 ¸¸

ɡɞɟɫɶ

–

ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ

¹¹

ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ.

ɉɪɢɦɟɪ 1.14. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ³ex cos x dx.

Ɋɟɲɟɧɢɟ.

Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ

ɢɧɬɟɝɪɚɥ

K ³ex cos x dx

; dv

cos x dx;

ex sin x ³ex sin x dx

«u

«du

dx;

sin x»

ɩɨɱɚɫɬɹɦ:º

ªɜɬɨɪɨɣɪɚɡɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɡ

ex sin x ex cos x

cos x ex dx

«u

ex ;

sin x dx;

dx;

cos x

¬du

ex sin x

ex cos x ³ex cos x dx;

Ɂɧɚɱɢɬ, ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ K

sin x e

cos x K ,

ɨɬɤɭɞɚ

ɜɵɪɚɠɚɟɦ

Ɋɢɫɤɨɦɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ K :

1 ex

sin x cos x C C ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ .

1.2.5. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɣ ɬɪɟɯɱɥɟɧ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ

ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ ɜɢɞɚ:

A dx

Adx

³ ax 2 bx c

ax 2 bx c

ɩɪɢɜɨɞɹɬɫɹ ɤ ɬɚɛɥɢɱɧɵɦ ɩɭɬɟɦ ɜɵɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɥɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟɍɞɪɨɛɢ.

ɉɪɢɦɟɪ 1.15. ³

d(x 3)

arctg(Ɍx 3) C .

(x 3)2

2 6x 10

1 1

Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɜɢɞɚ:

(A x B)dx

ax 2 bx c

ɬɪɟɯɱɥɟɧɚ ax 2 bx c,

ɧɚɞɨ ɫɧɚɱɚɥɚ ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɞɪɨɛɢ ɜɵɞɟɥɢɬɶ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɣ

ɬɨ ɟɫɬɶ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ (2ax b)dx .

ɉɪɢɦɟɪ 1.16.

3x 7

2 (2x)

ɨ2xdx

ln| x2

arctg

C .

x2 9

³ x2 9

2 ³ x2 9

1.2.6. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ

Ɋɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ R(x) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɪɚɜɧɚɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɞɜɭɯ

ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ:

(x )

b x m

b x m 1 ... b

ɩm

R(x )

Pn(x )

a x n

a x n 1 ... a

ɝɞɟ m ɢ n – ɰɟɥɵɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ; bi, aj R, i 0, m, j 0, n .

ȿɫɥɢ m<n, ɬɨ R(x)ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɶɸ, ɟɫɥɢ mtn, – ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ

ɞɪɨɛɶɸ.

ȼɫɹɤɭɸ

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɭɸ

ɞɪɨɛɶ

ɩɭɬɟɦ ɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ

ɧɚ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ

ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ:

Qm (x)

Mm n (x)

Ql (x)

Pn (x)

Ql (x )

ɝɞɟ M

m n

( x) ,

(x ) , P (x ) – ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ,

– ɩɪɚɜɢɥɶɧɚɹ ɞɪɨɛɶ, l<n.

Pn (x )

Ɍɚɤ ɤɚɤ ɜɫɹɤɢɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɥɟɝɤɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɬɫɹ, ɬɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɸ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ.

ɉɪɨɫɬɟɣɲɟɣ ɞɪɨɛɶɸ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɪɨɛɶ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɱɟɬɵɪɟɯ ɬɢɩɨɜ:

;

M x N

;

M x N

;

x a

pxɣq

px q)

ɝɞɟ A, a, M, N, p, q – ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ;

kt2; k – ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ, p2–4q<0.

Ⱦɥɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ:

1) ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɞɪɨɛɢ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɢ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɟ

ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ;

2) ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɞɪɨɛɶɢɜ ɜɢɞɟ ɫɭɦɦɵ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɞɪɨɛɟɣ ɫ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦɢ

ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ;

3) ɧɚɣɬɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ;

4) ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɟ ɞɪɨɛɢ.

x4 8

dx .

ɉɪɢɦɟɪ 1.17.

Ⱦɪɨɛɶ – ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɚɹ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɫɧɚɱɚɥɚ ɪɚɡɞɟɥɢɦ ɱɢɫɥɢɬɟɥɶ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɧɚ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ:

x5 x4 8

x3 4x

x5 4x3

x2 x 4

x4 4x3

x4 4x2

4x3 4x2 8

4x3 16x

4x2 16x 8

4(x2 4x 2) – ɨɫɬɚɬɨɤ.

ɉɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɞɪɨɛɶ ɡɚɩɢɲɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ:

x 5 x 4 8

x 2

x 4

4(x 2 4x 2)

x 3 4x

Ɋɚɡɥɨɠɢɦ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭɸ ɞɪɨɛɶ ɧɚ ɬɪɢ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɟ ɞɪɨɛɢ:

x2 4x 2

2 4x 2

x(x 2)(x 2)

x 2

ɉɪɢɪɚɜɧɢɜɚɹ ɱɢɫɥɢɬɟɥɢ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ:

x 2 4x 2

A(x 2)(x

Bxɪ(x 2) Cx(x 2).

ɉɪɢ x

0 : 2

4A, A

2 .

ɢ4

ɉɪɢ x

2: 10 8B, B

ɉɪɢ x

4 .

6 8C,C

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,

16x 8 ·

ɩ4

¨x

x 4

¸dx

2 4x

4³

x 2 x

¨ x

2 ¸dx

4x 2ln | x | 5ln | x 2 | 3ln | x 2 | C

x2 | x 2 |5

C .

| x 2 |3

ɉɪɢɦɟɪ 1.18. ³

x 4 3x 2 5

dx .

x 3 2x 2 5x

ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɩɪɢɦɟɪɟ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɣ

ɞɪɨɛɶɸ. ɉɭɬɟɦ ɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɧɚ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɜɵɞɟɥɢɦ

Ɍɰɟɥɭɸ ɱɚɫɬɶ

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭɸ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɭɸ ɞɪɨɛɶ:

x 4 3x 2

2x 2

10x 5

x 3 2x 2 5x

ɉɪɚɜɢɥɶɧɭɸ

ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɭɸ

ɞɪɨɛɶ

2x 2 10x 5

ɣ3

x (x

2x 5)

ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɜ

ɜɢɞɟ

ɫɭɦɦɵ

ɞɪɨɛɟɣ

ɫ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦɢ

ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ

2x 2 10x 5 A ɪBx C

ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ:

x (x

2x 5)

ɉɪɢɜɟɞɹ ɞɪɨɛɢ ɤ ɨɛɳɟɦɭ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɸ ɢ ɩɪɢɪɚɜɧɹɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɢ ɞɪɨɛɟɣ ɜ

ɥɟɜɨɣ ɢ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɹɯ ɡɚɩɢɫɚɧɧɨɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ, ɩɨɥɭɱɢɦ

2x 2

(Bx C )x (A B)x 2 (2A C)x 5A .

10x 5 A(x 2 2x 5)

ɉɪɢɪɚɜɧɢɜɚɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɪɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɫɬɟɩɟɧɹɯ x, ɢɦɟɟɦ:

A B

ɩ2A C 10

1, B=3, C=12. Ɉɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɩɨɥɭɱɚɟɦ

ɨɬɤɭɞɚ A

3x2 5

(x 2)dx ³

¸dx

3 2x2

2x 5 ¹

2)2

ln | x |

2x 2 6

x2 2x 5

2)2

ln | x |

(2x 2)dx

9³

(x 1)2 4

x2 2x 5

2)2

x 1

ln | x |

ln | x2 2x 5 |

arctg

1.2.7. ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɜɢɞɚ: ³sinm x cosn xdx , m, n – ɰɟɥɵɟ.

ɚ) ȿɫɥɢ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɢɡ ɱɢɫɟɥ m ɢɥɢ n–ɧɟɱɟɬɧɨɟ ɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɟ, ɬɨ

ɢɧɬɟɝɪɚɥ

ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ

ɩɨɦɨɳɶɸ

ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ:

sin x

t, cos xdx dt ɢɥɢ

cos x t,

sin xdx

dt .

ɛ) ȿɫɥɢ m ɢ n – ɱɟɬɧɵɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɵ

ɩɨɧɢɠɟɧɢɹ ɫɬɟɩɟɧɢ:

1 cos2x

sin x cos x

2 sin 2x;

cos

;

sin

ɉɪɢɦɟɪ 1.19.

sin3 x

ªcos x

(1 t2 )dt

(1 cos2

x)sin x dx

cos x

¬ sin xdx

dt¼

dtɨ2

³t

cos x

cos

x C .

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.2015489.98 Кб13Математика контрольная работа №2.doc
#
31.05.2015207.77 Кб19Математика КР1.docx
#
31.05.20152.84 Mб216математика методичкаdoc1.doc
#
24.11.2019347.54 Кб7Математика шпоры 2.docx
#
31.05.20154.59 Mб81Математика Яцкевич, Раевская 2012.pdf
#
31.05.2015656.31 Кб9математика.pdf
#
31.05.2015376.18 Кб5Математика_2_Uslovia_KR_3.pdf
#
31.05.20155.47 Mб267Математика_практикум_Ч1.pdf
#
31.05.20155.81 Mб11Математика№3.pdf
#
14.04.2019124.58 Кб4материал к экзамену.docx
#
24.09.2019189.23 Кб13Материал печать 8 страниц на листе 1-59.docx