математика

ɉɪɢɦɟɪ 1.20.

2

4

§1 cos 2x ·§

1 cos 2x ·2

³cos

x sin

xdx

³¨

¸¨

¸

dx

2

2

©

¹©

¹

ɍ

1

³(1 cos 2x

cos2 2x cos3 2x)dx

8

1

x

1

sin 2x

1

³(1

cos 4x)dx

1

³(1 sin2 2x)d sin 2x

8

16

16

16

1

1

1

1

1

1

3

ɇ

8 x 16 sin 2x 16 x

64 sin 4x 16 sin 2x 48 sin 2x C

Ɍ

1

x

1

sin 4x

1

sin3 2x C .

Ȼ

16

64

48

ɜ) ȿɫɥɢ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ:

sin mx cos nx,

sin mx sin nx,

ɣ

cos mx cos nx

,

ɝɞɟ m z n, ɬɨ ɢɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ:

sin mx cos nx

1

[sin(m

ɢ

ɪ

],

n)x sin(m

n)x

2

sin mx sin nx

1

[cos(m

n)x cos(m n)x ],

2

ɬ

1

cos mx cos nx

[cos(m nɨ)x cos(m n)x ].

2

ɢ

ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ tgn x ɢ ctgm x,

ɝɞɟ m ɢ n – ɰɟɥɵɟ,

ɝ) ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɣ,

ɡ

ɩɪɢɜɨɞɹɬɫɹ ɤ ɬɚɛɥɢɱɧɵɦ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɮɨɪɦɭɥ

ɨ

1

1

1

(tg x)c

1

, (ctgx)c

, 1 tg2 x

, 1 ctg2 x

.

ɩ

2

x

2

x

2

x

2

x

cos

sin

cos

sin

ɉɪɢɦɟɪ 1.21.

ɟ

x sec4 xdx

tg5 x(1 tg2 x)d (tg x)

tg5 xd (tg x)

tg7 xd (tg x)

Ɋ

³

tg5

³

³

³

1

1 tg6 x

1 tg8 x C.

Ɂɞɟɫɶ sec x

.

cos x

6

8

ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ t ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɢ:

tg

x

t

; ɬɨɝɞɚ

2

2tg

x

2t

1 tg

2 x

1 t 2

2dt

Ɍ

2

2

sin x

2 x

1 t 2 , cos x

2 x

1 t2 , dx 1 t 2 .

1 tg

1 tg

ɍ

2

2

ɉɪɢɦɟɪ 1.22.

Ȼ

ª

x

2dt

º

2

tg

t;

dx

dt

ɇ

dx

«

;»

1

(1 t

2

)

2

2

1

t

2

1 t

2

«

2t

»

dt

³sin3 x

«

»

³§

2t

·3

4 ³

t3

sin x

¨

¸

«

1 t

2

»

¬

¼

©1

t 2 ¹

1

dt

1

dt

1

1

1

1

1

1

x

1

x

³

³

³tdt

ln | t

|

t

2 Cɣ

x

ln

tg

tg 2

C.

4

t3

2

t

4

8t2

2

8

2

2

8

2

ɢ8 tg

2

2

ɟ)

ȿɫɥɢ

ɪ

tg x ɢɥɢ

ɨ

ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ

ɮɭɧɤɰɢɹ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɮɭɧɤɰɢɸ

R(sin x,cos x)

R( sin x, cos x)

(R –

ɱɟɬɧɚɹ), ɬɨ ɭɞɨɛɧɨ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɭ

tg x=t; ɩɪɢ ɷɬɨɦ

ɬ

dx

dt

,

x

arctgt, cos2

x

1

,

sin 2 x

t 2

.

1 t 2

ɡ

1 t 2

1 t 2

ɢ

ɉɪɢɦɟɪ 1.23.

ɨdx