5. Случайные величины

5.1. Понятие случайной величины

Случайной величиной (СВ) называется числовая функция =(), заданная на пространстве  элементарных событий  и такая, что для любого числа x определена вероятность P(<x)=P{:()<x}. Другими словами, случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно, какое именно.

Обычно рассматриваются два типа СВ: дискретные и непрерывные. Дискретной называется такая СВ, которая принимает конечное или счетное множество значений. Возможные значения непрерывной СВ заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный).

Случайная величина считается заданной, если задан закон ее распределения. Законом распределения дискретной СВ называется соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями.

Пусть дискретная СВ  может принимать значения . Обозначим- вероятность того, что СВ принимает значение .

Таблица

x			...
P			...

называется рядом распределения вероятностей дискретной СВ  или законом распределения дискретной СВ . Поскольку дискретная СВ  обязательно принимает одно из значений , события {=} образуют полную группу событий, поэтому. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

5.2.Функция распределения случайной величины

Функцией распределения СВ  (интегральной функцией СВ ) называется функция F(x), равная вероятности P(<x) того, что СВ  примет значение, меньшее, чем x, т.е. F(x)=P(<x). Свойства функции распределения: 1. 0F(x) 1. 2. F(x) - неубывающая функция, т.е. <F()F(). 3. Если СВ принимает возможное значение с вероятностью, тоF(+0) –F(– 0)=. Функция распределенияF(x) в точке непрерывна слева.4. . 5. P(a<b)=F(b)-F(a).

Случайная величина  называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. 6. Если  - непрерывная СВ, то P(=x)=0.

5.3. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения СВ  ( дифференциальной функцией распределения СВ  ) называется функция p(x), такая, что функция распределения F(x) выражается формулой . Свойства плотности вероятности: 1.p(x)0. 2. . 3.. 4. p(x)=.

Пример 20. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных, построить функцию распределения.

Решение. СВ  - число стандартных деталей из 3 отобранных - может принимать следующие значения: =1,=2,=3. Вероятности возможных значений определим по формуле . Итак,. Составим ряд распределения:

	1	2	3
	1/5	3/5	1/5

Для построения функции распределения дискретной СВ  воспользуемся тем свойством F(x), что при . В точкефункцияF(x) имеет скачок =P( =) =F(+ 0) –F(– 0) и, значит, для всех. Таким образом, функция распределения дискретной СВ - кусочно-постоянна, имеет скачки в точках разрываи непрерывна слева в точках разрыва. Для данной СВ функция F(x) и ее график имеют вид

Пример 21. Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей

Следует: 1) найти коэффициент a; 2) найти функцию распределения F(x); 3) вычислить вероятность неравенства /4<</2; 4) построить графики функций p(x), F(x).

Решение.

1). Коэффициент а определим из равенства или.

2). , тогда

3). Вероятность