- •Министерство образования республики беларусь
- •П р о г р а м м а Тема 1. Ряды
- •Тема 2. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Литература:
- •Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда
- •Свойства степенных рядов
- •2. Теория вероятностей и математическая статистика
- •2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •2.1. Теорема сложения
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •3. Формула полной вероятности и формула байеса
- •4. Повторение испытаний
- •4.1. Формула Бернулли
- •4.2. Формула Пуассона
- •4.3. Локальная теорема Лапласа
- •4.5. Наивероятнейшее число появлений события
- •5. Случайные величины
- •5.1. Понятие случайной величины
- •5.2.Функция распределения случайной величины
- •5.3. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •7. Основные законы распределения случайных величин
- •7.1. Биномиальный закон распределения
- •7.2. Закон распределения Пуассона
- •7.3. Равномерное распределение
- •7.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •7.5. Нормальный закон распределения
- •8. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Контрольное задание № 3
Литература:
Гусак А.А. Высшая математика. Т.2. Учебник для студентов
вузов. – 3-е изд. стереотип. – Мн.: ТетраСистемс, 2001 г.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1980 г.
Метельский А.В., Морозов И.М., Наумович Р.Ф., Покатилова
М.Н. Учебно-методическое пособие по высшей математике по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика». – М.: БГПА, 1999 г.
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. /
Под общей редакцией Лябушко А.П. – Мн., Высшая школа, части 3, 4, 1990 г.
Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа,
1985г.
Ряды
Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов
Выражение вида
U1 + U2 + … Un + … = (1.1)
где UnR, называется числовым рядом. ЧислаU1,U2, …,Un… называются членами ряда, аUn– общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен его общий член: Un=f(n),nN, т.е. задана функция натурального аргумента.
Суммы
S1 = U1; S2 = U1 + U2, …; Sn = (1.2)
называются частичными суммами ряда (1.1).
Если существует конечный предел Sn=S, то ряд (1.1) называетсясходящимся,а числоS– его суммой. Если жеSn не существует илиSn= ∞, то ряд (1.1) называетсярасходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд (1.1) сходится, тоUn= 0.
Следствие. ЕслиUn≠ 0, то ряд (1.1) расходится.
Ряд называется гармоническим рядом.
Для него Un= 0, но ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными
членами:
(1.3)
и
, (1.4)
причем члены ряда (1.3) не превосходят соответствующих членов ряда (1.4), т.е. при любом n
.
Тогда: а) если сходится ряд (1.4), то сходится и ряд (1.3);
б) если расходится ряд (1.3), то расходуется и ряд (1.4).
Предельный признак сравнения: Если существует конечный предел
то ряды (1.3) и (1.4) одновременно сходятся, либо расходятся.
Признак Даламбера: Если два ряда (1.3) существует
то если l< 1 – ряд (1.3) сходится;
l> 1 – ряд (1.3) расходится;
l= 1, ответа не дает.
Радикальный признак Коши: Если для ряда (1.3) существует
предел
то, если q< 1 – ряд (1.3) сходится;
q > 1 – ряд (1.3) расходится;
q= 1 ответа не дает.
Интегральный признак Коши: Пусть члены ряда (1.3) положительны
и не возрастают при n→ ∞, т.е.
и пусть f(x) – положительная, непрерывная, невозрастающая функция на [1, ∞] такая, что
f(1) = U1, f(2) = U2, …, f(n) = Un.
Тогда ряд (1.3) сходится, если сходится несобственный интеграли расходится, если этот интеграл расходится.
Пример 1.1
Установить, сходится ли ряд исходя из определения его суммы:
а) б) 2 + 5 + 8 +11 + …
Решение
а)
S= следовательно, по определению ряд сходится.
б) 2 + 5 + 8 + 11 + …
an = a1 + d (n - 1), a1 = 2, d = 3, => an = 2 + 3 (n – 1).
S= => ряд по определению расходится.
Пример 1.2.
Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:
а) б)
Решение
а) => ряд расходится.
б) => необходимый признак сходимости ряда выполняется.
Пример 1.3.
Исследовать сходимость рядов
а) б)в)
г) д)
Решение. а). Сравним данный ряд с рядом расходящимся. Так как>(lnn<n), то по признаку сравнения данный ряд расходится.
б). Сравним с рядом ,p= 3 > 1, ряд сходится.
По предельному признаку сравнения
следовательно, данный ряд сходится.
Для сравнения часто используются ряды:
1) - геометрическая прогрессия, при< 1 – ряд сходится, при- расходится.
2) - обобщенный гармонический ряд, приp> 1 сходится; при- расходится.
в). По признаку Даламбера < 1, следовательно, данный ряд расходится.
г). По радикальному признаку Коши:
< 1, следовательно, ряд сходится.
д). По интегральному признаку Коши:
- невозрастающая функция, так как ее производная< 0 приx> 1.
Имеем
следовательно, несобственный интеграл расходится, значит, и ряд расходится.