- •Министерство образования республики беларусь
- •П р о г р а м м а Тема 1. Ряды
- •Тема 2. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Литература:
- •Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда
- •Свойства степенных рядов
- •2. Теория вероятностей и математическая статистика
- •2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •2.1. Теорема сложения
- •2.2. Теорема умножения вероятностей
- •3. Формула полной вероятности и формула байеса
- •4. Повторение испытаний
- •4.1. Формула Бернулли
- •4.2. Формула Пуассона
- •4.3. Локальная теорема Лапласа
- •4.5. Наивероятнейшее число появлений события
- •5. Случайные величины
- •5.1. Понятие случайной величины
- •5.2.Функция распределения случайной величины
- •5.3. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины
- •6. Числовые характеристики случайных величин
- •7. Основные законы распределения случайных величин
- •7.1. Биномиальный закон распределения
- •7.2. Закон распределения Пуассона
- •7.3. Равномерное распределение
- •7.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •7.5. Нормальный закон распределения
- •8. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Контрольное задание № 3
2. Теория вероятностей и математическая статистика
1. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Элементарными событиями (элементарными исходами) называются взаимоисключающие исходы опыта. Множество всех элементарных событий называетсяпространством элементарных событий данного опыта. Любое подмножество А множества называется событием.
Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события.
1.1. Классическое определение вероятности
Пусть множество состоит из конечного числа n равновозможных элементарных событий . Вероятность Р(A) события A равна числу m элементарных событий, входящих в A (числу всех благоприятствующих событию A элементарных исходов), деленному на число всех элементарных событий (число всевозможных, равновозможных и единственно возможных исходов), т.е. .
1.2. Геометрическая вероятность
Пусть G - некоторая область и вероятность попадания в какую-нибудь часть g области G - пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему - в зависимости от размерности пространства, в котором рассматриваются области) и не зависит от ее расположения. Тогда вероятность попадания в область g равна . Понятие геометрической вероятности обобщает понятие классической вероятности на случай опытов с бесконечным числом элементарных исходов.
1.3. Элементы комбинаторики
В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания.
Пусть дано множество . Размещением изn элементов по k называется любое упорядоченное подмножество k элементов множества А. Таким образом, размещения отличаются либо самими элементами, либо их порядком. Размещения из n элементов по n элементов (т.е. при k=n ) называются перестановками. Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество k элементов множества А. Различные сочетания отличаются хотя бы одним элементом.
Пусть, например, дано множество . Размещениями из 3 элементов этого множества по 2 будут. Сочетаниями из 3 элементов по 2 являются:. Перестановки из 3 элементов:.
Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле ; число размещений изn элементов по k - по формуле ; число сочетаний из n элементов поk - по формуле . Отметим, что.
Приведем несколько примеров простейших комбинаторных задач.
1. Число способов, которыми можно рассадить за столы по 2 студента группу в 20 человек, равно .
2. Число способов распределения 5 должностей между 5 лицами равно .
3. Число партий шахматной игры среди 12 участников чемпионата (если каждый участник играет только одну партию друг с другом) равно .
4. Число способов, которыми можно выбрать делегацию в состав 15 человек из группы в 20 человек, равно .
Пример 1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
Решение. Требуется найти вероятность события A={среди отобранных лиц - 3 женщины}. В данной задаче элементарное событие - набор из 7 человек. Так как последовательность, в которой они отбираются, несущественна, число всех таких наборов есть число сочетаний из 10 элементов по 7: . По условию все элементарные события равновозможны. Поэтому можно использовать классический способ вычисления вероятности. Найдем число элементарных исходов, благоприятствующих событиюA. Это будет число наборов, в которых 3 человека выбраны из 4 женщин, а 4 человека - из 6 мужчин. Из 4 женщин троих можно выбрать способами, а из 6 мужчин четверых -способами. Благоприятствующие событиюA исходы получаются, когда набор из 3 женщин дополняется 4 мужчинами. Число таких способов будет равно . По классическому определению вероятности получим.
Пример 2. 2 студента условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит. Определить вероятность встречи, если время прихода каждого студента независимо и равновозможно в течение указанного часа.