2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1. Теорема сложения

Вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB). (1)

Если события A и B несовместны (т.е. в результате опыта они не могут появиться вместе), то P(A+B)=P(A)+P(B). (2)

Следствие. Вероятность события , противоположного данному событию A, равна . (3) Для вероятности суммы 3 событий формула (1) обобщается так:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC). Если события A, B, C попарно несовместны, то P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).

2.2. Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий A и B равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого события, при условии, что первое произошло, т.е. P(AB)=P(A) P(B/A)=P(B) P(A/B). (4) Если события A и B независимы (т.е. появление одного из них не меняет вероятности появления другого), то P(AB)=P(A)P(B). (5) Формула (4) верна и для любого конечного числа событий :(6) Если событиявзаимно независимы (в совокупности), то. (7)

Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий равна. (8)

Пример 3. Для производственной практики на 30 студентов представлено 15 мест в Минске, 8 - в Гомеле и 7 - в Витебске. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?

Решение. Рассмотрим события: A={2 определенных студента попадут на практику в Минск}, B={2 определенных студента попадут на практику в Гомель}, C={2 определенных студента попадут на практику в Витебск}. Эти события попарно несовместны. Событие D={2 определенных студента попадут в один город} есть сумма указанных событий. По формуле (2) имеем P(D)=P(A)+P(B)+P(C). По классическому определению вероятностей . Тогда.

Пример 4. Имеется блок, входящий в систему. Вероятность безотказной работы его в течение заданного времени T равна 0,85. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок. Определить вероятность безотказной работы за время Т с учетом резервного времени.

Решение. Введем события: А={безотказная работа данного блока за время Т}, B={ безотказная работа резервного блока за время Т}. По условию P(A)=P(B)=0,85. Пусть событие С={ безотказная работа данного блока с учетом резервного за время Т}. Так как события А и В - совместны, но независимы, то по формулам (1), (5) получим P(C)=P(A)+P(B)–P(A)P(B)=0,85+0,85–0,850,85=0,9775.

Пример 5. Рабочий, обслуживающий 2 станка, вынужден был отлучиться на некоторое время. Вероятность того, что в течение этого времени станки не потребуют внимания рабочего, равны и . Найти вероятность того, что за время отсутствия рабочего ни один станок не потребует его внимания.

Решение. Пусть событие А={первый станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}, B={второй станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}. Эти события независимы, поэтому по формуле (5) получим: P(AB)=P(A)P(B)=0,70,8=0,56.

Пример 6. У сборщика имеется 6 деталей без дефекта и 2 детали с дефектом. Сборщик берет подряд 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали - без дефекта.

Решение. Пусть событие А={первая деталь - без дефекта}, B={вторая деталь - без дефекта}. Нас интересует событие АВ. По теореме умножения вероятностей (формула (4)) имеем .

Пример 7. 3 стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка - 0,6, для второго - 0,7, для третьего - 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель.

Решение. Пусть ={попаданиеi-го стрелка в цель), противоположные события ={промахi-го стрелка}, i=1,2,3. Рассмотрим событие А={одно попадание в цель при стрельбе 3 стрелков}. Это событие может наступить при наступлении одного из следующих несовместных событий: . Тогда, а его вероятность

Пример 8. Техническое устройство, состоящее из 3 узлов, работало в течение некоторого времени Т. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью 0,1, второй - с вероятностью 0,15, третий - с вероятностью 0,12. Найти вероятность того, что за время работы хотя бы 1 узел технического устройства выйдет из строя.

Решение. Пусть событие ={выход из строяi-го узла технического устройства} . Тогда событие- выход из строя хотя бы одного из 5 узлов. Событиясовместны и независимы. Поэтому вероятность событияА определяется по формуле (8): Следовательно,P(A)=1-0,90,850,88=1-0,6732=0,3268.