9. Лекция №9

9.1. Подобие гидромеханических процессов

Теория подобия получила общее признание, как простейший метод решения некоторых теоретических задач и как основа строгого научного экспериментального исследования гидродинамических процессов на моделях. Для установления законов подобия разделим все экспериментально изучаемые явления и процессы на две группы.

Первая группа это процессы, которые математически описаны, т.е. дифференциальные уравнения этих процессов существуют. Опыты же проводятся для того, чтобы найти пути решения этих уравнений или сравнить результаты эксперимента с решениями уравнений, если они получены.

Другая группа процессов и явлений еще не имеет уравнений, их описывающих. Тогда опыты ставятся для того, чтобы установить законы, управляющие исследуемыми явлениями, записать эти законы в виде некоторых математических соотношений и распространить указанные результаты на случаи, для которых эксперимент не производился.

В зависимости от того, к какой группе относится изучаемое явление, определяется метод нахождения безразмерных параметров, называемых числами подобия. Если уравнение дано (хотя и нет его решений), то числа подобия, как будет показано далее, легко находятся из анализа уравнений. В начальной стадии изучения некоторых сложных явлений, когда еще нет описывающих их уравнений, а иногда нет вообще математической постановки задачи, единственным методом получения чисел подобия, определяющих процесс, является теория размерности.

На примере уравнений гидромеханики рассмотрим метод анализа уравнений. Для выяснения условий, при соблюдении которых уравнения движения будут одинаковы или движения подобны, напишем уравнения Стокса для плоского случая в безразмерном виде. В качестве масштаба длины выберем какой-либо характерный размер тела l (хорда крыла, диаметр или радиус трубы и др.), а масштабами скоростей, давлений, плотности, температуры и пр. - их характерные значения (на бесконечности, средние по объемным, массовым расходам и пр.).

Обозначая безразмерные величины теми же буквами, что и размерные, но с черточкой, произведем следующую замену:

(9.1)

За масштаб времени взято время, характерное для данного движения, а за масштаб массовых сил, отнесенных к единице массы - ускорение силы тяжести.

После подстановки написанных выражений в уравнение Стокса получим уравнения плоского движения и уравнение неразрывности

;

;

. (9.2)

Разделив первые два уравнения на и третье на и опустив для простоты письма черточки над буквами, получим

;

;

. (9.3)

Из этой системы следует, что если два потока подобны, т. е. они определяются одинаковыми уравнениями и одинаковыми граничными и начальными условиями, представленными в безразмерном виде, то для этих двух потоков должны быть одинаковы следующие безразмерные величины

. (9.4)

Обычно в теории подобия пользуются комбинациями указанных величин, каждая из которых имеет свое название и обозначается следующим образом:

- число Струхаля; (9.5)

- число Фруда; (9.6)

- число Эйлера; (9.7)

- число Рейнольдса. (9.8)

Условие одинаковости чисел, характеризующих подобие, обозначается словом idem, т.е. Sh = idem, Re = idem и т.д.

Число Эйлера для сжимаемой жидкости

, (9.9)

где - скорость звука;

- показатель адиабаты;

М - отношение скорости потока к скорости звука.

Следовательно, число Eu для сжимаемой жидкости заменяется числами k и М. Используя уравнение энергии в безразмерном виде, можно показать, что каждая из этих величин в отдельности должна быть одинакова для двух подобных потоков, т.е. k = idem и М = idem. Таким образом, в подобных потоках сжимаемой жидкости будет

Sh = idem, Re = idem, Fr = idem, M = idem и = idem.