МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ

В.В. Христиановский, Т.В. Нескородева, Ю.Н. Полшков

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ:

ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ В КУРСОВЫХ И

ДИПЛОМНЫХ РАБОТАХ

Учебное пособие для студентов экономических специальностей

Рекомендовано к изданию Учёным Советом Донецкого национального университета Протокол № 1 от 27.01.2012 г.

Донецк ДонНУ 2012

1

УДК 519.86:519.87:330.4 ББКУ 012. 18 в 621.5

Х 935

Рецензенты:

Р.Н. Лепа – д-р экон. наук, проф., заведующий отделом проблем моделирования экономических систем Института экономики промышленности НАН Украины.

Е.К. Щетинина – д-р физ.-мат. наук, проф., заведующая кафедры высшей и прикладной математики Донецкого национального университета экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского.

Христиановский В.В.

Х 935 Экономико-математические методы и модели: практика применения в курсовых и дипломных работах: учебное пособие / В.В. Христиановский, Т.В. Нескородева, Ю.Н. Полшков; под ред. В.В. Христиановского – Донецк: ДонНУ, 2012. – 324 с.

ISBN 978-966-639-518-7

Учебное пособие представляет собой методики применения экономикоматематических методов в виде примеров решения задач в различных областях экономики. Пособие также содержит инструкции по использованию современных информационных технологий для решения рассматриваемых задач (в частности офисного приложения MS Excel).

Пособие предназначено для студентов экономических специальностей, использующих математические методы, модели и информационные технологии при подготовке курсовых и дипломных работ на бакалаврском и магистерском уровне обучения.

© Христиановский В.В., 2012 © Нескородева Т.В., 2012 © Полшков Ю.Н., 2012 © ДонНУ, 2012

2

3

4

5

ВВЕДЕНИЕ

Особенностью нынешнего этапа развития отечественной науки и практики в экономической деятельности является повышение интереса специалистов к научному решению проблем с использованием экономико-матема- тических методов, моделей средствами информационных технологий. Эко- номико-математические методы дают фундаментальную основу решения аналитических задач в различных сферах деятельности современных предпринимателей и делают управленческие решения научно обоснованными. Построение математических моделей в экономике во многих случаях связано напрямую с анализом статистических данных, получение и обработку которых невозможно эффективно организовать без применения современных информационных технологий. Поэтому решение задач поставленных в курсовых и дипломных работах требует от студентов не только знаний в области конкретных экономических проблем, но умений применения методов эконо- мико-математического моделирования и информационных технологий при решении конкретных экономических задач.

Вукраинских университетах существуют два основных процесса, которые оказывают непосредственное влияние на развитие научной и инновационной деятельности регионов и страны в целом.

1. Выполнение научно-исследовательских работ и проектных разработок.

2. Подготовка специалистов, в том числе научно-педагогических кадров высшей квалификации [91].

Вэтих условиях главное – это обучение студентов умению открывать новые признаки неизвестного, анализировать явления, исследовать известное и неизвестное, систематизировать, формулировать проблему исследования, определять программу практических действий, предусматривать ход событий и последствия тех или иных этапов. Такие умения могут быть заложены только в процессе внедрения современных образовательных инновационных систем профессиональной подготовки студентов, и кредитно-модульная система обучения принадлежит именно к ним [92].

С переходом на кредитно-модульную систему обучения особое место отводится самостоятельной работе студента (СРС). Написание дипломных и курсовых работ – формы СРС, которые являются показателем качества подготовки специалиста.

Основная цель данного учебного пособия – закрепление системы полученных теоретических знаний, умений и навыков относительно возможности использования методов экономико-математического моделирования для решения задач в экономических областях знаний. Использование математического моделирования в экономике и управлении позволяет углубить полученные экономические знания, расширить область использования экономической информации, интенсифицировать экономические рас-

6

четы. Разработка экономико-математических моделей является важным звеном в теоретических и прикладных экономических исследованиях.

Предлагаемое пособие состоит из четырнадцати разделов.

В первом разделе описываются основные положения методики эко- номико-математического моделирования и типы задач, которые решаются с применением методов экономико-математического моделирования.

Во втором разделе рассматриваются примеры экономических задач, решение которых находится при условии выполнения баланса.

Втретьем разделе описывается построение моделей оптимизационных задач, их решение и анализ с помощью методов математического программирования средствами программы MS Excel (надстройка «Поиск решения»).

Вчетвертом разделе приведены примеры решения задач динамического программирования.

Впятом разделе описывается методика анализа и планирования проектов и примеры ее применения для решения практических задач.

Вразделах 6–9 рассматривается решение разнообразных задач маркетинга: задачи управления запасами, анализа спроса и предложения, определения жизненного цикла товара.

Вдесятом разделе приводится методика моделирования и анализа работы систем массового обслуживания (СМО) и ее реализация при решении задач организации работы СМО.

Водиннадцатом разделе рассматривается практика построения эконометрических моделей для решения задач анализа и прогноза экономических показателей.

Двенадцатый раздел посвящен моделированию управления товарным обеспечением на торговом предприятии.

Втринадцатом разделе описываются подходы к моделированию учета результатов деятельности предприятия.

Вчетырнадцатом разделе рассматриваются задачи анализа производственных систем, систем массового обслуживания, задач маркетинга методами и средствами имитационного моделирования (в частности про-

граммы AnyLogic).

Впособии подробно излагается методика решения задач математического программирования и корреляционно-регрессионного анализа с помощью использования встроенных функций, пакетов анализа и поиска решения программной среды MS Excel. Также описана методика применения надстройки Queue Mods.xlа для решения задач анализа и оптимизации работы систем массового обслуживания и программы MS Project для решения задач анализа и планирования проектов. Это позволяет успешно решать не только примеры, приведенные в учебном пособии, но и сложные экономические задачи, имеющие практическое применение.

Важной особенностью данного пособия является его практическая направленность. В нем не рассматриваются теоретические положения при-

7

меняемых математических методов и моделей, а дается только конкретная ссылка на первоисточники. Студент должен самостоятельно обратится к теоретическим положениям рассматриваемых задач для восстановления необходимой информации, которую достаточно легко найти в многочисленных научно-методических изданиях кафедры математики и математических методов в экономике ДонНУ.

Задачи, рассмотренные в пособии, соответствуют научным направлениям курсовых и дипломных работ, которые выполняются на кафедрах «Экономика предприятий», «Маркетинг», «Управления персоналом и экономика труда», «Менеджмент организаций» экономического факультета ДонНУ. Эконометрические модели, рассмотренные в одиннадцатом разделе и примеры финансовых задач в третьем разделе, будут полезны также студентам, выполняющим дипломные работы по направлению «Финансы и кредит». Модели управления товарным обеспечением и учета результатов деятельности предприятия, рассмотренные в двенадцатом и тринадцатом разделах, могут представлять интерес также для студентов специальности «Экономическая кибернетика».

Данное пособие предназначено помочь студентам ориентироваться в разнообразии применяемых экономико-математических методов при написании курсовых и дипломных работ. Оно также может быть полезным для специалистов, желающих углубить практические навыки в применении разнообразных экономико-математических методов и моделей при проведении анализа и прогноза при решении экономических задач.

Авторы работы выражают глубокую признательность и благодарность всем членам кафедры математики и математических методов в экономике и лично доцентам: О.Г. Кривенчук, С.Н. Иванову, В.Ф. Ходыкину, В.Д. Породникову, Л.А. Гладковой, В.П. Щербине, которые приняли активное участие в обсуждении содержания и внесли существенные замечания и поправки при подготовке рукописи данного пособия. Глубокую признательность выражаем также заведующим кафедр и всему коллективу экономического факультета, которые своими советами помогали написанию данного учебного пособия.

8

РАЗДЕЛ 1

МЕТОДИКА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Вприменении к объекту исследования метод экономико-математи- ческого моделирования имеет ряд характерных особенностей. Выделим три из них.

1. Исследуется система экономических показателей, при помощи которых дается количественная оценка отдельных сторон хозяйственной деятельности экономического объекта или системы. Каждое экономическое явление или процесс описывается, как правило, комплексом экономических показателей, которые в зависимости от объекта анализа группируются в подсистемы.

2. Система показателей изучается в их взаимосвязи, взаимозависимости, взаимообусловленности.

Изучение взаимосвязи требует выявления соподчиненности показателей, выделения совокупного, результативного показателя и факторов, на него влияющих.

Впроцессе анализа показатели-факторы целесообразно предварительно классифицировать по группам: внешние и внутренние, основные и не основные, определяющие и не определяющие входные, выходные; соотнести с уровнями управления.

3. Производится количественное измерение влияния факторов на совокупный показатель. Это далеко не всегда можно сделать легко, так как большинство факторов находится не в прямой функциональной зависимости, а в вероятностной, стохастической. Для того чтобы в последнем случае определить форму связи, следует провести статистическое наблюдение, накопить множество фактов, создать массив информации, обработать его, построить математическую модель.

Таким образом, применение метода экономико-математического анализа включает в себя несколько последовательных процедур:

1) системный анализ объекта исследования;

2) определение системы показателей, описывающих предмет исследования;

3) установление соподчиненности показателей;

4) выделение групп соподчиненных факторов;

5) выделение в группе факторов основных и второстепенных;

6) установление формы взаимосвязей между показателями;

7) выбор приемов и способов для изучения взаимосвязей. Совокупность приемов и способов, которые применяются при изуче-

нии экономических процессов, составляет методику экономико-матема- тического анализа.

9

Методика анализа имеет свои особенности на различных этапах исследования:

−при первичной обработке информации;

−для изучения состояния и закономерностей развития исследуемых объектов и систем;

−при определении взаимного влияния показателей-факторов друг на друга;

−для оценки резервов роста эффективности экономического объекта или системы;

−при принятии решений.

На каждом этапе применяется определенный перечень приемов и способов. Так, при первичной обработке информации применяются методы группировки показателей, сравнение, графическое представление анализируемой информации, расчет относительных и средних величин.

Изучение состояния и закономерностей развития исследуемых объектов осуществляется с помощью статистических методов и анализа показателей рядов динамики.

С целью определения взаимного влияния показателей-факторов используется множество приемов и способов, составляющих содержание факторного анализа.

При оценке резервов роста эффективности экономического объекта или системы и при принятии решений распространены методы: экономические, матричные, теории производственных функций, теории межотраслевого баланса, оптимального программирования.

Множество методов, применяемых при исследовании процессов и явлений, протекающих на экономических объектах и системах, может быть сгруппировано по нескольким признакам:

•научному подходу;

•характеру взаимосвязи между показателями;

•по объектам исследования (методы микро- и макроэкономики);

•оптимизации.

Научный подход позволяет выделить три группы методов: общеэкономические; статистические; математические.

К общеэкономическим методам анализа хозяйственной деятельности относятся: сравнение, графический, балансовой увязки, цепных подстановок, арифметических разниц, логарифмический, интегральный и др.

Статистические методы можно разделить на две группы: 1) традиционные (средних и относительных величин, индексный, обработки рядов динамики); 2) математико-статистические (дисперсионно-корреляционный анализ, регрессионный анализ, кластерный анализ).

Математические методы в обобщенном виде представлены тремя основными группами методов: методы оптимального программирования (линейное, динамическое, нелинейное); методы исследования операций и

10

принятия решений (теория графов, теория игр, теория массового обслуживания); эконометрические методы.

По характеру взаимосвязи между показателями различают методы детерминированного и стохастического анализа.

По сложности применяемого инструментария аналитические методы делятся на методы элементарной математики и высшей математики.

Методы элементарной математики используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, при балансовых расчетах и т.д. Выделение методов классической высшей математики обусловлено тем, что они применяются не только в рамках других методов, например, методов математической статистики и математического программирования, но и самостоятельно. Так, факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть осуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.

По признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и не оптимизационные. Если при решении используется критерий оптимальности, то метод относится к оптимизационным, в противном случае, он относится к группе не оптимизационных методов.

Многообразие перечисленных методов предоставляет экономисту широкие возможности в выборе инструментария исследования.

Рассмотрим основные методы первичной обработки экономической информации.

Способ сравнения. Наиболее часто применяется в анализе. Основные его виды:

−сравнение фактических отчетных показателей с плановыми или нормативными, сцельюопределенияуровнявыполненияпланаилинормативов;

−сравнение фактических показателей со средними по отрасли (с другими странами, с мировыми показателями), с целью определения конкурентного положения экономического объекта или системы;

−сравнение показателей в динамике с целью выявления тенденций, закономерностей в развитии экономического явления.

−сопоставление параллельных динамических рядов для изучения взаимосвязи исследуемых показателей;

−сопоставление результатов альтернативных управленческих решений с целью выбора оптимального решения;

−сравнение результатов деятельности до и после принятия управленческих решений с целью оценки их эффективности.

В экономическом анализе различают также горизонтальный, вертикальный, трендовый, одномерныйимногомерныйвидысравнительногоанализа.

Горизонтальный сравнительный анализ применяется для определения абсолютных и относительных отклонений фактического уровня исследуемых показателей от базового (планового, прошлого, среднего и т.д.); вертикаль-

11

ный – для изучения структуры экономических явлений и процессов путем расчета удельного веса частей в целом, соотношения удельных весов, этот вид широко применяется в финансовом анализе; трендовый анализ – при изучении относительных темпов роста и прироста показателей за ряд лет к уровню базисного года, т.е. при исследовании рядов динамики.

При одномерном сравнительном анализе сопоставляются один или несколько показателей одного объекта или несколько объектов по одному показателю. При многомерном сравнительном анализе проводится сопоставление результатов деятельности нескольких предприятий по нескольким показателям.

Обязательным условием сравнительного анализа является сопоставимость сравниваемых показателей, предполагающая:

−единство объемных, стоимостных, качественных, структурных показателей;

−единство периодов времени, за которые производится сравнение;

−сопоставимость методики исчисления показателей;

−сопоставимость других факторов, неучтенных при расчете коэффициентов.

Приведение данных к сопоставимому виду для выявления влияния объемных показателей, структурных сдвигов, ценового фактора, качественных изменений осуществляется в процессе факторного детерминантного анализа.

Группировка. Предполагает определенную классификацию явлений и процессов, а также причин и факторов, их обусловивших.

Балансовый способ. Может применяться в качестве, как основного, так и вспомогательного приема анализа хозяйственной деятельности.

В качестве основного балансовый способ используется при изучении показателей, находящихся в балансовой зависимости, например, при анализе обеспечения предприятия сырьем, материалами, товарами, при анализе бухгалтерского баланса и т.д.

Как вспомогательный, балансовый способ используется для проверки результатов расчетов влияния факторов на совокупный результативный показатель.

Графический способ. Графики являются масштабным изображением показателей и их зависимости с помощью геометрических фигур. Графический способ не имеет в анализе самостоятельного значения, а используется для иллюстрации изменений в динамике, структурных сдвигов или других видов сравнения.

Рассмотренные приемы в основном выполняют вспомогательную роль в анализе. Для решения более сложных задач таких как: определения состояния и закономерностей развития исследуемых объектов и систем; определения взаимного влияния экономических показателей-факторов друг на друга; оценки резервов роста эффективности экономического объекта или системы; управления экономическими объектами или системами

12

необходимо применение методов экономико-математического моделирования, применение которых основывается на использовании соответствующих моделей.

В общем смысле модель – это система, способная заменить оригинал (то есть реальную систему) так, чтобы её изучение давало информацию об оригинале. Модель может полностью или частично воспроизводить структуру моделируемой системы и её функции. Моделирование – процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить реальную систему и дать информацию о ней.

Математическая модель – система математических и логических соотношений, которые описывают структуру и функции реальной системы.

Экономико-математическая модель – это математическое описание экономическогопроцессаилиявлениясцельюегоисследованияиуправления.

Методика проведения экономико-математического моделирования:

1)осуществляют экономическую постановку задачи, для чего формулируют объект и цель исследования, выделяют функциональные, структурные элементы и наиболее важные качественные характеристики объекта исследования, словесно, качественно описывают взаимосвязи между элементами модели;

2)вводят символические обозначения для учета характеристик экономического объекта и формализуют взаимосвязи между ними, то есть составляют математическую модель;

3)с помощью определенных методов проводят расчеты по математической модели и анализируют полученный результат;

4)корректируют построенную модель, если она не дает желаемых результатов.

На основании разработанных моделей осуществляется процесс принятия решений, который включает следующие этапы:

−предварительное формулирование проблемы;

−определение целей решения и выбор соответствующих критериев оптимальности;

−выявление и установление ограничений;

−составление списка альтернатив и их предварительный анализ с целью исключения явно неэффективных;

−сбор экономической информации и прогнозирование изменения параметров решения в будущем;

−точное формулирование поставленной задачи;

−разработка модели решения;

−анализ и выбор метода решения задачи и разработку алгоритма решения;

−оценку альтернатив и выбор наиболее эффективных;

−принятие решения.

13

РАЗДЕЛ 2

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

2.1. Межотраслевой баланс производства и потребления

В методологии планирования пропорций, темпов и объемных показателей ведущее место принадлежит балансовому методу, который позволяет сравнивать народнохозяйственные потребности с возможностями их удовлетворения. Для анализа межотраслевых связей важное значение имеет построение межотраслевого баланса производства и распределения продукции, охватывающего движение совокупного общественного продукта с выделением отраслей. Синтезируя в единой таблице частные материальные балансы, межотраслевой баланс представляет собой систему показателей, дающих подробную характеристику воспроизводства совокупного общественного продукта по стоимости и по натурально-вещественному составу как в целом по народному хозяйству, так и по отдельным отраслям.

По экономическому содержанию и характеру информации выделяют две основные разновидности межотраслевых балансов: отчетные и плановые. В свою очередь, все межотраслевые балансы можно классифицировать в соответствии с единицами измерения продукции на стоимостные, натурально-продуктовые и трудовые. Межотраслевые балансы делятся также на статические и динамические. Статические отражают экономические связи, складывающиеся в пределах определенного периода времени (обычно года). Динамические описывают динамические связи, складывающиеся в народном хозяйстве и обусловленные характером и способом распределения совокупного продукта на фонды воспроизводства. Наряду с межотраслевыми разрабатываются региональные балансы.

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются таблицами межотраслевого баланса.

Развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась в трудах экономиста В. Леонтьева (1936 г.). В. Леонтьев создал научно обоснованный метод «затраты

– выпуск», который позволяет анализировать межотраслевые связи в национальном хозяйстве и определять возможные направления оптимизации отраслевой структуры.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на примере задачи отраслевого планирования экономики Украины. Теоретические вопросы, связанные с построением статической n – секторной модели Леонтьева студент может найти в учебном пособии [27].

14

Пример 2.1. На основании таблицы «Затраты – выпуск» Украины за 2006 г. (приложение А) для экономической системы, состоящей из четырех секторов: сельское хозяйство, промышленность, строительство и отраслей сферы услуг определить (при условии, что технологии производства останутся неизменными):

1)межотраслевые поставки продукции и заполнить схему межотраслевого баланса;

2)матрицу коэффициентов прямых затрат A

3)матрицу коэффициентов полных затрат B ;

4)проверить продуктивность матрицы A ;

5) определить матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A(1) второго A(2) и третьего порядка A(3) , сравнить сумму

E+ A + A(1) + A(2) + A(3) с полными затратами B ;

6)изменениевектораконечногопотребления Y2007 посравнениюс Y2006

длявектораваловоговыпуска X 2007 = (115000, 895000, 95000, 600500);

7) определить приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно измениться на ∆Y % = (−5 :15;7;12) по сравнению с Y2006 .

Решение

1. Для определения межотраслевых поставок, конечного и валового продукта четырех секторов: сельского хозяйства, строительства, промышленности и сферы услуг представленных в приложении А просуммируем сначала соответствующие столбцы, а затем строки таблицы «Затраты – выпуск» Украины за 2006 г. (приложение А1–А3). Результаты вычислений сведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Схема межотраслевого баланса Украины за 2006 г. (млн грн)

15

где X ij и X j – межотраслевыепоставкииваловойпродуктсоответственно. Вычисления выполняем в среде Excel (рис. 2.1):

Рис. 2.1 – ВычислениевсредеExcel матрицыпрямыхзатратпримера2.1

3. Коэффициентами полных затрат являются соответствующие элементы матрицы B = (E − A)−1 (рис. 2.2):

Рис. 2.2 – ВычислениевсредеExcel матрицыполныхзатратпримера2.1

4. Матрица A продуктивная, так как все элементы матрицы (E − A)−1 не-

отрицательные. Также продуктивность матрицы A прямых затрат можно установить непосредственно анализируя ее значения. Для этого необходимо проверитьвыполнениедостаточногоусловия:

16

A = max ∑aij <1, aij ≥ 0 .

j i

Легко проверить, что в нашем случае A = 0,741 и aij ≥ 0 .

5. Матрицы коэффициентов косвенных затрат первого A(1) второго A(2) и третьего порядка A(3) определим по формулам (рис. 2.3, 2.4):

A(1) = A A , A(2) = A A(1) , A(3) = A A(2) .

Рис. 2.3 – Вычисление в среде Excel матриц косвенных

затрат примера 2.1

Вычислим разность между полными и косвенными затратами по формуле (рис. 2.4):

∆B = B − (E + A + A(1) + A(2) + A(3) )

В результате получим:

17

x1(a11 p1 + a21 p2... + an1 pn ) . Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату

зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции). Таким образом, имеет место следующее равенство:

x1 p1 = x1(a11 p1 + a21 p2... + an1 pn ) +V1.

Разделив это равенство на x1, получим:

мости на единицу выпускаемой продукции).

Аналогично для остальных отраслей получаем такие же зависимости, в результате чего получим следующую систему:

где v = (v1,v2....vn ) – вектор норм добавленной стоимости.

Как видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что x заменен на p , y – на v , A – на AT .

Зная вектор норм добавленной стоимости равновесные цены можно

то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в

20

том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными моделями Леонтьева, которое формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема. Для того чтобы модель Леонтьева x = Ax + y ( y – вектор

конечного потребления) была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная к ней модель (2.2) была прибыльной.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей. Рассмотрим пример на построение двойственной модели Леонтьева и применение ее для экономического анализа.

Пример 2.2. На основании таблицы «Затраты – выпуск» Украины за 2006 г. (приложение А) для экономической системы, состоящей из четырех секторов: сельское хозяйство, промышленность, строительство и отраслей сферы услуг определить равновесные цены при условии, что вектор норм добавленной стоимости равен: v = (4;10;4;9) . Проанализируйте, как изме-

нятся равновесные цены секторов народного хозяйства, если норма добавленной стоимости в промышленном секторе увеличиться на 10%.

Решение. Равновесные цены определим по формуле (2.3). Используем результаты вычисления матрицы коэффициентов прямых затрат A из примера 2.1. и выполним необходимые вычисления в среде Excel (рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Определение равновесных цен примера 2.1

21

Врезультатеполучимследующиезначенияравновесныхцен(рис. 2.7):

16,34 p = 27,18 20,44 18,58

Определим равновесные цены в случае, если в промышленном секторе произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Принимая во внимание, что v = (4; 1,11; 4; 9) получим (рис. 2.8):

Рис. 2.8 – Анализ изменения равновесных цен примера 2.1

4,46% ∆p = 8,57%6,28% 3,05%

Следовательно, при увеличении нормы добавленной стоимости на 1,11 в промышленном секторе, произойдет увеличение цен во всех секторах от 3,05% до 8,57%. Зная объемы выпуска, можно также подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.

Обобщение модели Леонтьева. Одним из существенных упрощений модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых) факторов производства. Модель будет более близкой к реальности, если наряду с воспроизводимыми (вторичными) ресурсами, описываемыми в модели произведением Ax , будут учтены и первичные факторы. Предположим, что товар производится с использованием продукций всех n отраслей и еще m

первичных факторов. Обозначим через bkj количество k -го первичного фак-

тора, необходимого для производства одной единицы товара j . Из определения этих величин следует, что имеет место равенство:

22

Суммируя эти уравнения по j , получим зависимости, определяющие

суммарные затраты по всем отраслям объемы затрат вторичных факторов производства:

Аналогичное равенство имеет место для вторичных факторов производства:

Так как x = (x1, x2 ,...xn ) вектор выпуска продукции, используемой

как на производственное так и на конечное потребление, то он должен удовлетворять условию баланса:

которая интерпретируется как технологическая матрица расхода первичных ресурсов. Также предположим, что известен вектор v = (v1,...vm ) запа-

сов первичных ресурсов. Следовательно:

n

∑ bkj0 ≤ vk , k =1,m . j =1

В матричной форме последнее условие примет вид:

Bx ≤ v .

Обозначим через p = ( p1, p2....pn ) и w = (w1,...wm ) векторы цен вто-

ричных и первичных ресурсов соответственно.

В результате введенных обозначений, можно определить при каком векторе выпуска x = (x1, x2....xn ) реализация конечного продукта

23

y = ( y1, y2....yn ) приведет к максимальному доходу с учетом наличного запаса v = (v1,...vm ) первичных ресурсов.

Обобщенная модель Леонтьева будет иметь вид:

Так как максимизация дохода осуществляется за счет варьирования вектора выпуска, в целевой функции вектор конечного потребления (спро-

К последней задаче (2.11) – (2.13) существует двойственная задача равновесных цен:

Задачи (2.11) – (2.16) являются задачами линейного программирования. Решение задачи (2.11) – (2.13) позволяет определить спрос на товары y = y( p, w) для различных вариантов цен на первичные и вторичные ре-

сурсы. Решение задачи (2.14) – (2.16) определяет вектор предложения первичных факторов v = v( p, w) .

2.2. Отраслевой баланс производства и потребления

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса не только между отдельными отраслями, но и между последовательными периодами производства в одном производственном секторе. Баланс между производством, потреблением и инвестициями в течение последовательных плановых периодов можно описать с помощью динамических односекторных балансовых моделей В. Леонтьева [53]. Рассмотрим несколько таких моделей.

24

Модель Леонтьева с дискретным временем. Эта модель определяет случайпеременногопотребленияиосновананаследующихпредположениях.

1.Рассматривается производственный сектор, производящий и частично потребляющий произведенную продукцию.

2.Сектор работает k плановых периодов ( k – месяц, квартал, год).

3. Валовой выпуск продукции сектора в i -м году равен xi , i =1,k ( k – натуральное число).

4.Известен выпуск продукции за первый период работы сектора x1.

5.Известна доля a ( 0 < a <1) выпуска продукции сектора, потребляемая самим сектором.

6.В i -м периоде i =1,k конечный продукт сектора полностью расходуются на инвестиции Ii и потребление Pi , которые определяются по

формулам:

где q – доля прироста валового продукта, которая расходуется на инвестиции, p – доля потребления валового продукта.

Требуется найти последовательность выпусков продукции за k периодов: xi , i =1,k .

На основании предположений 1 – 6 составим балансовое уравнение модели:

Преобразуем уравнение (2.19) к виду:

Формула (2.20) задает геометрическую прогрессию с первым членом

x1 и знаменателем 1−a − p + q . Следовательно: q

Последняя формула позволяет рассчитать последовательность выпусков продукции за k периодов xi , i =1,k .

25

В случае постоянного потребления Pi = p . Тогда:

xi − axi = q(xi+1 − xi ) + p , i =1,2,....

Откуда:

Для получения зависимости xn от x1 , сделаем замену переменных:

Полагая β = a p−1, получим:

Откуда учитывая замену (2.22) и равенство β = a p−1 получим:

26

Зависимость (2.24) дает возможность найти валовой продукт на последующие n плановых периодов (месяц, квартал, год), если известен валовой продуктзапервыйплановыйпериод x1 , изавершаетпостроениемодели.

Рассмотрим применение приведенных выше моделей для решения экономических задач на следующих примерах.

Пример 2.3. На основании данных об объемах производства и потребления Украины за 2006 г. (табл. 2.1) в промышленном секторе определить (при условии, что технологии производства останутся неизменными):

1) долю a ( 0 < a <1) выпуска продукции сектора промышленности, потребляемую самим сектором и коэффициент p – долю конечного по-

требления от валового продукта; 2) последовательность выпусков продукции на 2007–2009 гг., если

инвестиции в промышленность в данном периоде будут составлять 20% прироста валового продукта.

Решение. Для определения доли a ( 0 < a <1) выпуска продукции сектора промышленности, потребляемой самим сектором, объем промежуточного потребления разделим на объем валовой продукции:

a = 335545723233 100% = 46,40% .

Для определения коэффициента p – доли конечного потребления от

валового продукта, объем конечного потребления разделим на объем валовой продукции:

p = 723233246761 100% = 34,12% .

Последовательность выпусков продукции на 2007–2009 гг. определим по формуле:

27

Полученные прогнозные объемы валовой продукции в промышленном секторе (аналогично данные показатели могут быть рассчитаны для остальных секторов народного хозяйства) при подстановке в формулу Y = (E − A)X модели межотраслевого баланса позволяют рассчитать, на-

пример, прогнозируемые объемы конечного потребления на 2007–2009 гг. по секторам народного хозяйства.

Модель Леонтьева с непрерывным временем. Изучаемая модель основана на следующих предположениях:

1)рассматривается производственный сектор, производящий и частично потребляющий произведенную продукцию;

2)валовой выпуск продукции сектора в момент времени t (t ≥ 0)

описывается функцией x = x(t) ;

3)известна доля a ( 0 < a <1) выпуска продукции сектора, потребляемая самим сектором;

4)конечный продукт сектора полностью расходуются на инвестиции I = I (t) и потребление P = P(t) , которые определяются по формулам:

I (t) = qx′(t) , P = px(t)

с известными коэффициентами q и p .

Требуется найти зависимость от времени выпуска продукции x = x(t) , если известен выпуск продукции в начальный момент: x(0) = x0 .

На основании предположений 1–4 делаем вывод, что в рассматриваемой модели выпуск продукции является решением следующей задачи:

Эта задача является аналогом задачи Коши, которая решается методами теории дифференциальных уравнений.

Преобразуем задачу (2.25) к стандартному виду:

28

Решением задачи (2.26) является функция

определяющая зависимость объема выпуска продукции в зависимости от времени в случае переменного потребления.

В случае постоянного потребления P(t) = p остальные предположе-

ния модели Леонтьева с непрерывным временем остаются без изменения. Тогда выпуск продукции является решением следующей задачи:

2.3. Организация материально-технического снабжения при условии межпродуктового баланса

Одной из главных функций маркетинга является производственная, которая предполагает в первую очередь организацию материальнотехнического снабжения на основе анализа хозяйственных связей. Поэтому основным видом моделей согласования ресурсов и потребностей в матери- ально-техническом снабжении являются балансовые модели, аналогичные рассмотренной выше модели МОБ.

Чаще всего используются межпродуктовые балансы в натуральном выражении, в которых первый раздел отражает источники формирования ресурсов продукции, а второй показывает направления использования ресурсов на текущее производственное потребление и конечное потребление. Эти балансы позволяют определить потребность в продукции каждой от-

29

расли и взаимоувязанные объемы производства продукции, обеспечивают согласование ресурсов с потребностью на всех стадиях переработки продукции с учетом прямых и косвенных связей.

В общем виде модель межпродуктового баланса имеет вид:

j=1

что по форме совпадает с моделью межотраслевого баланса в стоимостном выражении, однако здесь все величины даны в натуральных измерителях. Для примера приведем значения некоторых коэффициентов прямых материальных затрат aij : на изготовление одного грузового автомобиля расхо-

дуется в среднем 2,5 т. стального проката, 0,5 т. чугуна, 2 тыс. кВт. ч электроэнергии, 1 м3 пиломатериалов и т.д.

Рассмотрим решение одной из задач маркетинга на основе модели межпродуктового баланса. В моделях межпродуктовых балансов в состав объема конечной продукции Yi входит количество продукции, направляе-

мой на увеличение запасов и резервов. Величина этого прироста по каждой продукции часто задается вне модели, что определяет общее количество продукции каждого наименования, идущее на прирост запасов, но не дает возможности узнать, в каком объеме требуются эти запасы для обеспечения непрерывности производства, какова оптимальная величина совокупных запасов для данной продукции.

Для того чтобы получить ответ на эти вопросы, необходимо наряду с прямыми затратами отражать величину запасов и резервов в том разделе баланса, где по строкам показываются производственные связи и затраты одного вида продукта на все другие виды, а по столбцам – затраты различных продуктов на производство продукта данного определенного вида.

Введём новый термин. Коэффициент запасоёмкости sij показывает,

какое количество запаса продукции i -го вида необходимо при производстве единицы продукции j -го вида. Пусть Sij есть величина запаса продук-

ции i -го вида, используемого для производства j -й продукции, а X j – общий объем производства j -й продукции, то величину коэффициента запасоемкости можно определить по формуле:

На практике коэффициенты запасоемкости можно рассчитать на основе статистических данных за предыдущие годы.

Если в схему межпродуктового баланса ввести показатели запасоемкости, то уравнение (2.31) с учётом (2.32) примет вид:

30

Введём наряду с ранее использованными матричными величинами матрицу коэффициентов запасоемкости:

Модель (2.33) допускает запись в матричном виде

полных материальных затрат, но наряду с прямыми и косвенными затратами включает также затраты запасов на единицу конечной продукции.

Балансовые модели могут быть полезны и при реализации сбытовой функции маркетинга, в частности в вопросах ценообразования. В условиях формирования рыночных цен они помогают выявить, например, дисбаланс межотраслевых и внутриотраслевых цен при свободном рыночном ценообразовании. Рассмотрим, прежде всего, задачу расчета системы цен по формуле стоимости на основе МОБ.

Обозначим через t j коэффициент прямых затрат труда в j -й отрасли, через Pj цену единицы j -го продукта, через Pt денежный эквивалент но-

вой стоимости, созданной в единицу рабочего времени. Тогда в балансе для каждого j -го продукта должно соблюдаться равенство:

j=1

Пусть Vn – нормативная ставка оплаты единицы рабочего времени,

α – норма прибавочного продукта по отношению к необходимому (норма прибыли). Для величины Pt справедлива формула:

31

Считая величину нормативной ставки оплаты единицы рабочего времени (единицы затрат труда) Vn известной, нормировать коэффициент α

можно путем присоединения к системе уравнений (2.36) дополнительного (n +1) -го уравнения, используя объемные показатели МОБ. Полагая для

простоты, что сумма доходов населения, не занятого в производственной сфере, равна нулю, уравнение можно записать в следующем виде:

Это уравнение отражает требование соответствия доходов населения и общей стоимости товаров конечного потребления.

Кроме определения системы цен по формуле стоимости на базе уравнений МОБ можно рассчитывать новые перспективные цены и индексы их динамики в сравнении с уровнями базисного года. Показатели нового периода будем обозначать верхним индексом «*». Например, будем рас-

сматривать xij и xij* и т.д.

Введем в рассмотрение коэффициенты распределения продукции

которые показывают долю продукции i -й отрасли, выступающую в качестве текущих затрат на выпуск продукции j -й отрасли.

Если обозначить через ri индекс изменения цены продукции i -й от-

расли

Таким образом, матрица коэффициентов распределения продукции H не зависит от изменения отраслевых уровней цен.

32

Для полностью сбалансированного МОБ по столбцам первого и третьего квадрантов должны выполняться следующие соотношения:

i=1

Сучетом равенств (2.40) имеем соотношения

того дохода в новых ценах.

Решение системы уравнений (2.43) в матричном виде таково:

Рассчитав валовые выпуски отраслей в перспективных ценах, можно получитьиндексыдинамики отраслевыхценвсравнениисбазиснымгодом:

ri = Xi* , i =1,n . Xi

Существует другой метод расчета отраслевых индексов динамики цен, основанный на модели прямого счёта. Известно, что выполняются равенства:

X j* = rj X j , xij* = rj xij .

Следовательно, систему уравнений (2.27) можно переписать в виде:

n

rj X j = ∑rj xij + Z j* , j =1,n . i=1

33

Формулы xij = aij X j (i, j =1,n ) позволяют учесть связь с коэффициен-

тами прямых материальных затрат. Последнюю систему уравнений можно представить в следующем виде:

i=1

Разделив левые и правые части уравнений (2.45) на X j , получим:

Обозначим через r = (r1 ,r2 ,...,rn ) вектор-строку индексов динамики отраслевых перспективных цен, через G = (g1 , g2 ,..., gn ) – вектор-строку,

где B = (E − A)−1 – матрица коэффициентов полных материальных затрат.

Пример 2.4. Условная экономическая система состоит из трёх отраслей Информация о ней содержится в матрице коэффициентов прямых ма-

1.Необходимо найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, а также заполнить схему межотраслевого материального баланса.

2.Планируется перейти на новые отраслевые цены таким образом,

чтобы условно чистый доход в отраслях в этих ценах составил Z1* = 90 ,

Z2* = 240 , Z3* = 300 .

34

Используя модель прямого счёта, надо определить индексы динамики отраслевых цен в сравнении с базисным годом, обеспечивающие достижение запланированных уровней условно чистого дохода во всех отраслях.

Решение. Вычислим предварительно элементы матрицы:

Для операций с матрицами будем использовать функции MS Excel. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат, используя функцию МОБР() для вычисления обратной матрицы и округляя все вычисления до четвёртого знака после запятой:

C помощью функции МУМНОЖ() определим вектор величин валового продукта трёх отраслей:

782,6087 X = BY = 760,8696 .

733,6957

Так как xij = aij X j (i, j =1,3). Поэтому для получения первого столбца

первого квадранта нужно элементы первого столбца матрицы A умножить на X1 = 782,6087 , элементы второго столбца – на X2 = 760,8696 , а третьего

столбца – на X3 = 733,6957 .

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учётом формулы как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта:

3

Z j = X j − ∑xij , j =1,3 .

i=1

Четвертый квадрант в нашей задаче состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчёта. Сумма элементов

35

второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать

Результаты расчётов представлены в табл. 2.2.

Матрица коэффициентов полных материальных затрат была найдена в предыдущем примере:

Таблица 2.2

МОБ производства и распределения продукции

В соответствии с формулой (2.48) искомые индексы динамики отраслевых цен в сравнении с базисным годом будут равны:

36

Таким образом, чтобы достичь запланированных уровней условно чистого дохода, отраслевые цены в трёх отраслях должны увеличиться со-

ответственно на 6,32%, 5,05%, 4,27%.

Сопоставим запланированные уровни условно чистого дохода Z1* = 90 , Z2* = 240 , Z3* = 300 с соответствующими уровнями этой величины в дей-

ствующих отраслевых ценах Z1 = 78,2609 , Z2 = 228,2609 , Z3 = 293,4783

(см. табл. 2.2) из третьего квадранта МОБ. Получим, что при определённых выше индексах динамики отраслевых цен величина условно чистого дохода (условно чистого продукта) увеличиться в трёх отраслях на 15%, 5,14% и 2,22% соответственно. Это свидетельствует о тесной взаимосвязи цен в межотраслевом (межпродуктовом) балансе.

2.4. Планирование национальных доходов торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли

Структуру международной торговли рассматривают в двух ракурсах: как торговлю отдельными группами товаров и как систему методов организации реализации товаров на мировом рынке. Товарная структура международной торговли – это доля тех или иных товаров в мировом товарообороте.

Сюда относят основные группы товаров: продовольствие (включая напитки и табак), сырье, минеральное топливо, продукция перерабатывающей промышленности (машины, оборудование, химические товары, металлы, текстиль). С помощью модели международной торговли можно определить, какими должны быть соотношения бюджетов стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной. Теоретические вопросы, связанные с построением модели международной торговли студент может найти в учебном пособии [27].

Пример 2.5. На основании данных таблицы 2.3. провести анализ изменения структуры международной торговли между основными торговыми блоками мира в 1988 – 1992 гг.

Решение. На основании данных таблицы 2.3. составим баланс международной торговли между основными торговыми блоками мира за 1988

г. и 1992 г. (табл. 2.4, 2.5).

Используя полученные результаты, определим структурные матрицы торговли A1988 и A1992 . Определим долю импорта в каждую из стран, разделив объемы импорта из каждой страны на суммарные объемы импорта в данную страну из всех стран.

37

Таблица 2.3

Взаимные торговые потоки между основными торговыми блоками мира в 1988 – 1992 гг. (млрд долл. США)

Источник: GATT, International Trade, 1988 – 1993.

Таблица 2.4

Взаимные торговые потоки между основными торговыми блоками мира в 1988 г. (млрд долл. США)

38

Таблица 2.5

Взаимные торговые потоки между основными торговыми блоками мира в 1992 г. (млрд долл. США)

Структурные матрицы торговли пяти основных торговых блоков мира за 1988 г. и 1992 г. соответственно будут иметь следующий вид:

Для нахождения собственных векторов X1988 и X1992 матриц A1988 и A1992 с помощью средств MS Excel (рис. 2.9–2.10) математическую мо-

дель международной торговли сведем к задаче линейного программирования следующим образом:

F = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → max

при ограничениях:

(A − E) X = 0 ,

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 2742 (для 1988 г.),

39

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 3194 (для 1992 г.). x j ≥ 0 , j =1,5 .

Рис. 2.9 – Организация данных примера 2.3 на рабочем листе Excel

Отсюда следует, что сбалансированность торговли пяти основных торговых блоков мира достигается при векторе доходов

X1988 = (1; 0,6; 2,9; 1,4; 0,7) и X1992 = (1, 0,5, 3,1, 1, 0,4) , т.е. при соотношении доходов торговых блоков 1;0,6 : 2,9 :1,4 : 0,7 и 1: 0,5 : 3,1:1: 0,4

соответственно.

Анализируя последние соотношения, делаем вывод, что за период 1988 – 1992 гг. доля доходов развивающихся стран и восточного блока уменьшилась по сравнению с блоком Северной Америки, а по остальным блокам соотношение практически не изменилось.

40

РАЗДЕЛ 3

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОРГАНИЗАЦИИ И ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА

3.1. Экономические постановки и модели типовых оптимизационных задач

В многообразии экономических оптимизационных задач, которые встречаются на практике можно выделить основные типы в зависимости от переменных принятия решений. В свою очередь типовые задачи могут различаться выбором целевой функции или ограничениями, включенными в модель. Рассмотрим типовые модели оптимизационных задач.

Задача оптимального выпуска продукции. Пусть предприятием

j = 1, n ) единиц i -го сырья на единицу j -ой продукции и цены c j реали-

зации единицы продукции j -го вида. Составим математическую модель

задачи таким образом, чтобы определить, сколько единиц продукции каждого вида необходимо выпускать предприятию, чтобы доход от реализации всей продукции был максимальным. Данные сведем в табл. 3.1.