- •В.В. Бородкин
- •Введение
- •1. Лекция №1
- •1.1. Предмет гидравлики
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •1.3. Физическое строение жидкостей и газов
- •1.4. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2. Лекция №2
- •2.1. Гипотеза сплошности
- •2.2. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.3. Неньютоновские жидкости
- •2.4. Термические уравнения состояния
- •2.5. Растворимости газов в жидкостях, кипение, кавитация. Смеси
- •3. Лекция №3
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение жидкой частицы
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •4. Лекция №4
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Поверхностные силы и напряжения
- •4.3. Напряжения поверхностных сил
- •4.4. Уравнения движения в напряжениях
- •5. Лекция №5
- •5.1. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.2. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.3. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •6. Лекция №6
- •6.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
- •6.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
- •7. Лекция №7
- •7.1. Закон изменения количества движения
- •7.2. Закон изменения момента количества движения
- •7.3. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки
- •8. Лекция №8
- •8.1. Уравнение баланса энергии
- •8.2. Турбулентное течение
- •9. Лекция №9
- •9.1. Подобие гидромеханических процессов
- •9.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
- •9.3. Роль чисел подобия
- •10. Лекция №10
- •10.1. Одномерные потоки жидкостей и газов
- •10.2. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости
- •10.3. Гидравлические потери (общие сведения)
- •11. Лекция №11
- •11.1. Ламинарное течение в круглых трубах
- •11.2. Течение при больших перепадах давления
- •12. Лекция №12
- •12.1. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах
- •12.2. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе
- •13. Лекция №13
- •13.1. Местные гидравлические сопротивления
- •13.2. Внезапное расширение русла
- •13.3. Внезапное сужение русла
- •13.4. Местные сопротивления при ламинарном течении
- •14. Лекция №14
- •14.1. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре
- •14.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •15. Лекция №15
- •15.1. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре
- •15.2. Неустановившееся движение жидкости в трубах
- •15.3. Гидравлический удар
- •16. Лекция №16
- •16.1. Расчет простых трубопроводов
- •16.2. Основные задачи по расчету простых трубопроводов
- •16.3. Последовательное соединение простых трубопроводов
- •16.4. Параллельное соединение простых трубопроводов
- •16.5. Разветвлённое соединение простых трубопроводов
- •17. Лекция №17
- •17.1. Расчет сложных трубопроводов
- •17.2. Трубопроводы с насосной подачей жидкости
- •17.3. Основы расчета газопроводов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гоувпо «Воронежский государственный технический университет»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5. Лекция №5
5.1. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения и т.п. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия, которое называют относительным покоем.
В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, у и z и давлением р (рис. 5.1). Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость.
Рис. 5.1. Схема для вывода дифференциальных уравнений
равновесия жидкости
Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz. Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила , составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.
Давление р есть функция координат x, y и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково, что вытекает из доказанного выше свойства гидростатического давления. При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата x на бесконечно малую величину dx, в связи с чем функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др /дх) dx, поэтому давление в точке N равно р + (др /дх) dx, где др /дх - градиент давления вблизи точки М в направлении оси x. Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси х, например, в точках N' и М', видим, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно малых высших порядков) величину
. (5.1)
Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х, равна указанной величине, умноженной на площадь грани: . Аналогичным образом, но через градиенты давления др/ду и др/дz выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.
На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде
(5.2)
Разделим эти уравнения на массу dxdydz параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя dx, dy и dz к нулю, т.е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М:
(5.3)
Эти уравнения являются основными уравнениями гидростатики и часто называются уравнениями равновесия Эйлера для жидкости и газа.
Так как (5.4)
и , (5.5)
то система уравнений может быть представлена в векторном виде
. (5.6)
При относительном покое вектор плотности массовых сил включает силы инерции.
Поскольку массовые силы в большинстве случаев обладают потенциалом, то
, (5.7)
где U - потенциал массовых сил или силовая функция.
Тогда уравнению можно придать вид
. (5.8)
Общим интегралом этого уравнения в случаях, когда , является соотношение
, (5.9)
где - функция давления (для несжимаемой жидкости (); для сжимаемой - вид функцииP зависит от связи между р и ).
Если из числа массовых сил на жидкость действует только гравитационная (тяжелая жидкость), то
, (5.10)
где z - координата, отсчитываемая вертикально вверх.
Для тяжелой несжимаемой жидкости интеграл принимает вид
. (5.11)
Эта формула выражает гидростатический закон распределения давлений.
Для практического пользования удобнее вместо приведенной системы уравнений иметь одно эквивалентное им уравнение. Для этого умножим первое из уравнений на dx, второе - на dy, третье - на dz и, сложив все три уравнения, получим:
. (5.12)
Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т.е. функции р(х, у, z), поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:
. (5.13)
Следовательно, при наличии равновесия полным дифференциалом должна быть и правая часть уравнения. В частности, при постоянной плотности () получим
. (5.14)
Из последнего условия видно, что массовые силы имеют потенциал Uи проекции массовых сил можно выразить через потенциал в виде
(5.15)
Тогда уравнение запишется в виде
. (5.16)
Следовательно, жидкость может находиться в равновесии только в том случае, если массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал.
Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называют поверхностью уровня. При ее уравнением будет функция.