3. Второе определение предела функции (по Коши).

Определение 2. Число А называется пределом функции f в точке а, если 0 0: : 0выполнено.

Это определение называют определением предела “на языке ”.

Так как неравенство 0означает, что, а неравенство- что, то получаем определение “на языке окрестностей”.

Определение 3. 0 0: выполняется.

Определение 4. 0: 0 : 0: .

Теорема. Определения предела по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство.

1) Пусть по Гейне. Будем рассуждать от противного:А не является в смысле Коши. То есть0 : 0 : 0 выполняется . Возьмем в качестве последовательно числа

1,

Для  =1 найдется такая точка x₁a, что 1, а ;

для =найдетсяx₂a : , а;

. . . . . . . . . . . . . .

для  = найдетсяx_na : , а;

. . . . . . . . . . . . . .

В результате получили последовательность точек, отличных от а:

x₁, x₂, . . . , x_n, …, сходящуюся к точке а.

Действительно, 0, по теореме о промежуточной последовательности  . Тогда согласно определению по Гейнедля выбранного  0 найдется номер N : N выполняется . Но этого не может быть, так как для всехn выполняется .

Полученное противоречие доказывает, что по Коши.

2) Пусть теперь в смысле Коши. Согласно определению0 0:: 0выполняется. (3)

Рассмотрим произвольную последовательность :и .Тогда: N выполняется 0. Отсюда, учитывая (3), получаем0 N: N выполняется .

Пример 4. Доказать, что если , то.

 1) По Коши.

Имеем .

Возьмем 0. Очевидно, что выполняется неравенство . В частности, оно выполняется, удовлетворяющих условию 01 (взяли, например, =1). То есть 0 0 (=1):: 0 выполняется .

2) По Гейне.

Возьмем , , .

Последовательность значений функции : . Значит по определению предела по Гейне, так как::выполняется.

Пример 5. Доказать, что если ,, то.

 1) по Коши.

Выберем . Найдем, для которого привыполняется. Из неравенствазаключаем, что надо взять. Тогда если, то, то есть.

То есть выполняется.

2) По Гейне.

Выберем :.

Тогда :.Тогда по определению 1 .

Пример 6. Доказать, что .

 : : 0 выполняется

. (*)

Возьмем . Найдем, такое, что из неравенства 0    (**)

Выберем . Тогдах, удовлетворяющих условию выполнено (**), а, следовательно, и (*). Итак,выполняется (*) .

Покажем, что  зависит от .

Если , то; если, то; если, то.

Геометрический смысл предела функции.

Построим график функции, точку (а, А).

Выберем . Проведем прямые,до пересечения с графиком. Через полученные на графике точки проведем прямые, перпендикулярные осиОх. На Ох получим точки d₁, b₁. Получим, что .

Возьмем .Тогда все точки графика, у которых абсциссы удовлетворяют неравенству(или) попадают внутрь полосы, ограниченной прямыми,, то есть(или). Из рисунка видно, что зависит от .

Итак, геометрический смысл предела функции состоит в следующем. Число А является пределом функции f в точке а, если для любой, сколь угодно малой,  - окрестности точки А найдется  - окрестность точки а, такая что для всех х соответствующие значения функции.

§ 16. Односторонние пределы

Рассмотрим понятие предела функции при стремлениик точкесправа или слева. При этомзаменяется наили на.

Обозначим через левую окрестность точкиа, - правую окрестность точкиа.

Определение 1. (по Гейне) Число A называется левым (правым) пределом функции f(x) в точке a, если , соответствующая последовательность значений функции (f(x_n)) сходится к A.

Определение 2. (по Коши) Число А называется левым (правым) пределом функции f(x) в точке а, если ::a-d<x<a (a<x<a+d) выполняется неравенство .

Обозначается - левый предел,

- правый предел.

Определение 1 и определение 2 эквивалентны.

Правый и левый предел функции в точке называются односторонними пределами в точке.

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке a необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а:

Доказательство.

1) Необходимость.

и . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А. Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем :: выполняется .

выполняется определение пределав точкеа.

Пример 1. . Доказать, чтоне существует.

, не существует. 

Пример 2. . Доказать, чтоне существует.

, не существует.

Пример 3.

,

.

, но .