- •§12. Функции и их общие свойства
- •1. Отображение. Виды отображений
- •2. Сужение функций
- •3.Действительная функция действительного переменного
- •4.Способы задания функции
- •5. Равенство функций. Арифметические действия над функциями
- •6.Сложная функция (композиция функций)
- •§13. Простейшая классификация функций
- •1. Ограниченные и неограниченные функции
- •2.Четные и нечетные функции
- •3. Периодические функции
- •4. Монотонные и кусочно-монотонные функции
- •§14. Обратная функция
- •§15. Предел функции
- •1. Предельная точка множества
- •2. Первое определение предела функции в точке (по Гейне)
- •3. Второе определение предела функции (по Коши).
- •Если , то; если, то; если, то.
- •§ 16. Односторонние пределы
- •§ 17. Распространение теорем о пределах
- •§ 18. Некоторые замечательные пределы
- •§19. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§20. Сравнение бесконечно малых функций и бесконечно больших функций
5. Равенство функций. Арифметические действия над функциями
Пусть заданы функции y=f(x) и y=g(x), D(f), D(g)- их области определения. Предположим, что X=D(f)D(g).
Определение. Функции f(x) и g(x) называются равными на множестве X, если x X равны их значения, т.е. xX f(x)=g(x).
Определение. Суммой f+g, разностью f-g, произведением fg и частным функцийf и g называются функции определяемые следующим образом:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(т.е. в любой точке xX функция, равная сумме функций f и g, принимает значение, равное сумме значений f и g в этой точке)
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
(fg)(x)=f(x)g(x)
.
Все функции f+g, f-g, fg, определяются наX=D(f)D(g). При этом не определена в точкахxD(g): g(x)=0, т.е. D=D(f)D(g)\{x:g(x)=0}.
6.Сложная функция (композиция функций)
Определение. Композицией функций f и g (или сложной функцией) называется функция f◦g, определяемая формулой f◦g(x)=f(g(x)).
В D(f◦g) входят те значения аргумента, при которых правая часть имеет смысл, т.е. требуется, чтобы g(x) D(f): D(f◦g)={xD(g): g(x)D(f)}.
Для получения сложной функции f◦g надо аргумент функции f заменить функцией g от другого аргумента.
Пример. y=f(t)=sint,
a) t=g(x)=ex
y=f(g(x))=sinex=h(x), D(h)=.
б) t=φ(x)=lnx
y=f(φ(x))=sin(lnx)=(x), D()=(0;+∞).
Образовать сложную функцию можно из трех, четырех и т.д. функций:
y=h(x)=f(g(φ(x))), h=f◦g◦φ, D(h)={xD(φ): φ(x)D(g), g(φ(x))D(f)}.
§13. Простейшая классификация функций
1. Ограниченные и неограниченные функции
Определение 1. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве DD(f), если множество ее значений E(f) ограничено сверху (снизу), т.е. y=f(x) ограничена на множестве DD(f), если :xDf(x)K, (f(x)K).
Например, функции ,y=x2 ограничены снизу,
, y=-2x ограничены сверху.
Определение 2. Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. если : xDAf(x)B.
Определение 2/. Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если K>0: xD |f(x)|K.
Например, y=sinx, y=cosx, y=arctgx, y={x}.
Ограниченность функции геометрически означает, что ее график лежит в полосе между прямыми y=K, y=-K.
Определение 3. Функция y=f(x) называется неограниченной сверху (снизу) на множестве D, если xD: f(x)>K (f(x)<K).
Например, y=x2, y=2x не ограничены сверху,
y=-2x, y=tgх, x- не ограничены снизу.
Определение 4. Функция y=f(x) называется неограниченной на множестве D, если К>0 xD: |f(x)|>K.
Определение 5. Верхний гранью функции f множестве D называется верхняя грань множества значений этой функции.
Определение 5/. 1) xD f(x)M,
2) >0 xD: f(x )>M-.
Определение 6. Нижней гранью функции f на множестве D называется нижняя грань множества значений этой функции.
Определение 6/. 1)f(x)m,
2) >0 xD: f(x )<m+.
Если функция f не ограничена сверху (снизу) на D, то полагают .
2.Четные и нечетные функции
Определение 7. Множество D называют симметричным относительно числа 0, если xD -xD.
Определение 8. Функция f, заданная на множестве D называется четной на этом множестве, если
1)D симметрично относительно числа 0;
2)xD выполняет равенство f(-x)=f(x).
График четной функции симметричен относительно OY.
Например, y=x2, x-четная функция,
y=x2, x[-1;1) не является четной.
Определение 9. Функция f, заданная на множестве D, называется нечетной на этом множестве, если:
1)D симметрично относительно числа 0;
2)xD выполняется равенство f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, y=x3, - нечетные функции.
Свойства четных и нечетных функций разобрать самостоятельно
(Бохан К.А. с.48, Мордкович А.Г., Мухин А.Е. №147-151,154, 157-159,164-166.)