3. Периодические функции

Определение 10. Функция f называется периодической с периодом T0 на множестве D, если

1)xD xTD ( Т - периодическое множество).

2)xD f(x+T)=f(x).

Пусть f-периодическая функция с периодом Т. Следовательно, число -Т тоже является периодом, т.к. f(x-Т)=f((x-T)+T)=f(x), т.е. f(x-T)=f(x).

xD f(x+T)=f(x),

f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x),

f(x+nT)=f(x) n, xD f(x+kT)=f(x)

f(x-T)=f(x),

f(x-2T)=f((x-T)-T)=f(x-T)=f(x),

f(x-nT)=f(x) n.

Т.к. xD x+kTD, то D-неограниченное множество.

Наименьший положительный период функции f называют ее основным периодом .

Например, y=sinx, y=cosx, =2;

y=tgx, y=ctgx, =.

Не всякая периодическая функция имеет основной период. Например, функция Дирихле. Она является периодической, ее период - любое рациональное число. Но основного периода нет, т.к. не существует наименьшего положительного рационального числа.

4. Монотонные и кусочно-монотонные функции

Определение 11. Функция f называется возрастающей (убывающей) на DD(f), если x₁, x₂D: x₁<x₂ f(x₁)< f(x₂) (f(x₁)> f(x₂)).

Возрастающие и убывающие функции осуществляют взаимно-однозначное соответствие D(f) и E(f) и поэтому играют особую роль.

Определение 12. Функция f называется неубывающей (невозрастающей) на D, если x₁, x₂D: x₁<x₂ f(x₁)≤ f(x₂) ( f(x₁)≥ f(x₂)).

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными, возрастающие и убывающие функции - строго монотонными Заметим, что одна и та же функция на разных промежутках может вести себя по-разному.

Например, y=x² возрастает на [0;+], убывает на [-;0]. Такие функции называют кусочно-монотонными.

Определение 13.Функция f называется кусочно-монотонной на DD(f), если множество D можно разбить на счетное число частей, на каждой из которых эта функция монотонна.

(Счетное множество - множество элементы которого можно перенумеровать.)

Например, y=[x]- неубывающая функция,

y=sinx, y=cosx – кусочно-монотонные,

y=tgx, y={x}- кусочно-возрастающие,

y=ctgx, - кусочно-убывающие.

§14. Обратная функция

Пусть функция f задана на D(f), множество значений- Е(f).

Определение. Если f: D(f)E(f)- инъективное отображение, то отображение f ^-1: E(f)D(f) называется обратной функцией для f. Обратная функция x=f ^-1(y) определена на D(f ^-1)=E(f), а E(f ^-1)=D(f) - множество ее значений .

Если известно аналитическое выражение для f, то решая уравнение y=f(x) относительно x, можно получить аналитическое выражение для f ^-1, то есть x=f ^-1(y).

Если x=f ^-1(y) является обратной функцией для функции y=f(x), то y=f(x) является обратной для функции x=f ^-1(y). Такие функции называют взаимно обратными.

Если y=f(x) и x=f ^-1(y)- взаимно обратные функции, то

xD(f) f ^-1(f(x))=x,

yD(f ^-1) f(f ^-1(y))=y.

Например, y=sinx, x, x=arcsiny, y[-1;1],

sin(arcsiny)=y, arcsin(sinx)=x.

Пример 1.  y=kx+b. Обратная функция x=f ^-1(y).

D(f)=E(f ^-1)=, E(f)=D(f ^-1)=. 

Пример 2.  y=f(x)=, D(f)=[0;+], E(f)=[0; +].

Обратная функция x=y²=f ^-1(y), D(f ^-1)=[0;+ ], E(f ^-1)=[o;+ ]. 

Пример 3.  y=f(x)=x², D(f)=[0;3], E(f)=[0;9].

Обратная функция x=f ^-1(y)=,D(f ^-1)=[0;9], E(f ^-1)=[0;3].

Функция не является обратной для y=f(x) на D, т.к. для нее

E(f ^-1)=[-3;0]D(f). 

Введем обычное обозначение для обратной функции: независимая переменная –x, зависимая переменная – y, y=f ^-1(x).

График функции y=f ^-1(x) можно получить из графика y=f(x) с помощью симметрии относительно прямой y=x.

Пример 4.  y=f(x)=e^x, D(f)=,E(f)=. Обратная функцияx=f ^-1(y)=lny. Переобозначим y=lnx. D(f ^-1)=,E(f ^-1)=.

Не всякая функция имеет обратную. Введем класс функций, для которых обратные функции существуют.

Теорема. Если y=f(x) возрастает (убывает) на D(f), то существует обратная функция x=f ^-1(y), причем она определена и возрастает (убывает) на E(f).

Доказательство.

Проведем доказательство для возрастающей функции.

1) Доказательство существования обратной функции.

Покажем, что f осуществляет инъективное отображение, т.е. что x_1, x₂D(f): x₁ x₂ f(x₁)f(x₂).

Выберем x_1, x₂D(f). Если x₁<x₂, то в силу возрастания функции f выполнено f(x₁)<f(x₂). Если x₁>x₂, то f(x₁)>f(x₂). т.е. из x₁ x₂ f(x₁)f(x₂). Следовательно, f - инъективное отображение. Значит, существует обратная функция, определенная на D(f ^-1)=E(f) и множеством ее значений является D(f)=E(f ^-1).

2) Докажем, что f ^-1 возрастает.

Выберем у₁, у₂E(f)=D(f ^-1): у₁<у₂. Пусть x₁=f ^-1(у₁), х₂=f ^-1(у₂)  x₁<х₂. (В самом деле, если допустить х₁х₂, то в силу возрастания функции f выполнено у₁=f(x₁)f(х₂)=у₂, а это противоречит тому, что у₁<у₂)  f ^-1 возрастает.

Заметим, что класс монотонных функций составляют не только возрастающие и убывающие функции.