Lek_1_ELEKTROSTATIKA
.pdf
значит
dW |
1 |
|
|
q q |
4 |
|
0 |
||
|
|
|
||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
• После интегрирования получаем полную энергию:
W |
1 |
|
q0q |
C |
|
4 0 |
r |
||||
|
|
|
• Для определения константы интегрирования С будем
считать потенциальную энергию заряда |
q |
, находяще- |
|
гося на бесконечно большом расстоянии от заряда |
q |
|||||
|
|
|
r |
|
|
0 |
равной нулю, т.е. |
W 0, |
если |
|
|
||
, тогда С = 0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
,
• Тогда формула для |
потенциальной |
энергии |
|||||
взаимодействия двух зарядов будет иметь вид: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
1 |
|
|
q0q |
|
(59) |
|
4 0 |
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
• Проанализируем формулу (59):
а) пусть заряды q0 и q альная энергия W 0
одноименные, тогда
и убывает с ростом |
r |
|
потенци-
.
b) пусть заряды |
q |
0 |
потенциальная энергия нуля с ростом r .
и |
|
|
разноименные, тогда |
|
q |
||||
|
|
|
|
и увеличивается до |
W 0 |
||||
W
a
0
b
r
Таким образом, энергия притяжения зарядов отрицательная ( кривая b на рис. 26), а энергия отталкивания зарядов положительная (кривая a на рис. 26).
Рис. 26
15.Потенциал электростатического поля
•Запишем формулу работа по перемещению заряда под действием сил поля в виде:
A |
|
q q |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
12 |
|
4 |
r |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
1 |
|
2 |
или
A |
q |
|
q |
|
1 |
|
q |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
|
4 |
|
r |
|
4 |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
2 |
(60)
• Работа сил поля зависит не только от заряда,
создающего поле (заряда |
q |
), но и от внесенного в поле |
|||
0 |
|||||
|
q |
|
|
||
заряда |
. |
|
|
||
|
|
|
|||
• Избавимся от зависимости заряда, внесенного в поле. Для этого поделим обе части (60) на q . Получим:
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
q |
|
1 |
|
q |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
4 |
|
r |
|
4 |
|
|
r |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
• Устремим |
|
r2 |
|
|
|
. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A1 |
|
|
|
q0 |
|
|
|
1 |
|
φ |
|
|
или |
|
φ |
|
|
q0 |
|
1 |
||||||
|
q |
4 |
0 |
|
r1 |
|
|
|
|
|
4 0 |
r |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(61)
(62)
•Эту величину называют потенциалом данной точки поля.
•Потенциалом поля в данной его точке называется величина, численно равная работе, которую должны совершить силы поля, чтобы единичный положительный заряд переместить из данной точки поля в бесконечно удаленную точку.
• Сравнивая (59) и (60), видим, что A1 W , тогда
потенциал поля можно представить в виде:
φ = |
W |
(63) |
||
|
|
|
||
|
q |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
•Потенциал численно равен потенциальной энергии единичного положительного заряда помещенную в данную точку поля.
•Это другое определение потенциала.
•Если электростатическое поле создано системой зарядов, то потенциал такого поля равен алгебраической сумме потенциалов полей отдельных зарядов (принцип суперпозиции для потенциалов):
|
1 |
|
n |
qi |
n |
|
φ |
|
|
φi |
(64) |
||
4 |
|
r |
||||
|
0 |
i 1 |
i 1 |
|
||
|
|
i |
|
где |
r , |
r |
, |
r , |
. . ., |
1 |
2 |
|
3 |
|
точки поля.
• С введением
r |
|
расстояния до интересующей нас |
n |
|
понятия потенциала работу по
перемещению заряда из одной точки |
поля в другую |
||
(формула 60) можно записать в виде: |
|
||
|
|
|
|
|
A12 q(φ1 -φ2 ) |
|
(65) |
•В формуле (65) ( 1 2 ) U разность потенциалов
или напряжение.
•Как разность потенциалов, так и напряжение измеряется в вольтах (В).
1В 1 ДжКл
16. Связь потенциала с напряженностью электрического поля
• Исходя из предыдущих рассуждений делаем
заключение, что электрическое поле можно описать с
помощью двух величин
сти |
E |
и потенциалом |
φ |
|
|||
|
|
– вектором напряженно-
.
• Поскольку |
E |
и |
φ |
характеризуют одну и ту же |
|
|
точку поля, то между ними должна существовать связь. Найдем её.
• Для этого используем выражение для силы |
F |
, дейст- |
||
|
||||
вующей на заряд |
q |
в электрическом поле напряженно- |
||
|
||||
сти E .
• С одной стороны эта сила может быть представлена
в виде:
F q E
(66)
• С другой стороны эта сила, как сила, имеющая
консервативный характер, связана с потенциальной энергией в соответствии с формулой:
F gradW |
(67) |
|
|
• Однако |
W q |
|
Тогда
F q grad
(68)
• Приравнивая правые части (66) и (68), получаем:
E = -gradφ
(69)
• Вектор напряженности электростатического поля
равен градиенту потенциала с обратным знаком.
• Формулу (69) можно представить и так:
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
x |
i |
y |
j |
z |
k |
(70) |
|
|
|
|
|
• Если же поле изменяется только в одном
направлении, например, в направлении координаты x, то, как следует из (70), имеем:
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
x |
x |
|||
|
|
|||
|
|
|
или в общем случае (произвольное направление
l
):
|
|
|
|
|
|
|
(71) |
|
|
||
El |
l |
|
|
|
|
|
17. Эквипотенциальные поверхности
•Построим в электростатическом поле поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одно и тоже значение.
•Эта поверхность определяется уравнением
|
|
(x, y, z) = const |
(72) |
|
|
иназывается эквипотенциальной поверхностью.
•При любом перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности потенциал не меняется, поэтому согласно (55) работа электрических сил при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.