Lek_1_ELEKTROSTATIKA
.pdf
Напряжённость поля бесконечно протяженной равномерно заряженной нити (цилиндрической поверхности)
E = 1 × 2τ = 2kτ
4πε0 ε0ε εr
12. Работа по перемещению заряда в
F |
электрическом поле |
|||
|
2 |
|
||
dr |
|
|
|
|
|
|
|
• Пусть под действием сил |
|
|
|
|
|
|
q |
dl |
|
электрического поля непод- |
|
|
r |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
вижного заряда q перемеща- |
|
r |
|
|
||
|
|
|
ется точечный заряд q1. |
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
• Найдем работу этих сил по |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
перемещению заряда q1 из |
Рис. 22 |
|
точки 1 в точку 2. |
||
• Элементарная работа
|
(52) |
dA (Fdl ) Fdl cos |
|
|
|
Однако виде:
|
|
dl cos dr |
. Тогда (51) можно представить в |
dA Fdr |
kqq |
dr |
(53) |
|
1 |
||||
|
|
|
||
|
r |
|
|
|
|
2 |
|
|
• После интегрирования (52), получим:
A |
|
kqq |
|
1 |
|
1 |
|
, |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
12 |
|
|
r |
|
r |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
где r1 и r2 – расстояния между зарядами q и q1 и в конце перемещения заряда q1.
(54)
в начале
q1
r1
q1
• Как следует из формулы (54), работа
перемещения заряда под действием сил электрического поля не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями перемещаемого заряда.
r
q0 
Рис. 23
• Из формулы (54) следует также и то,
что работа перемещения заряда |
q |
в |
|
1 |
|
поле заряда q0 по замкнутой траекто-
рии (рис. 23) равна нулю.
• Поля, в которых работа перемещения заряда не
зависит от формы пути, а определяется только его начальным и конечным положениями, называются потенциальными, а соответствующие силы –
консервативными.
13. Циркуляция и ротор вектора напряженности электростатического поля
• Заметим, что работа перемещения заряда q1 по
замкнутой траектории может быть представлена в виде интеграла:
A = (F,dl ) = 0
l
или
|
|
1 |
A = |
|
(q E,dl ) = 0 |
|
l |
|
или
1 |
|
(E,dl ) = 0 |
A = q |
|
|
|
l |
|
(55)
• В формуле (55) интеграл (E,dl ) называется цирку-
l
ляцией вектора E по замкнутому контуру l .
• Как следует из (55), циркуляция вектора напряжен-
ности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
|
E |
n |
• Циркуляция характеризует свойства |
||||||
|
|
векторного поля ( |
в |
данном случае |
|||||
|
|
|
|||||||
|
P |
|
свойства поля вектора |
E), усредненные |
|||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по поверхности |
S |
, |
охватываемой |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
контуром |
|
|
. |
|
|
|
S |
Рис. 24 |
|
|
l |
|
|
|||
|
• Чтобы |
получить |
характеристику |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
свойств поля в точке Р необходимо уменьшить размеры контура, стягивая его в точку Р (рис. 24).
• При этом неограниченно |
|
уменьшается |
как |
|||||
циркуляция вектора |
E |
|
(из |
за |
уменьшения |
длины |
||
|
|
|
|
|
|
|||
контура), так и площадь |
|
S |
, |
охватываемая этим |
||||
контуром).
• Сконструируем выражение:
|
(E, dl ) |
|
|
|
lim |
l |
(rotE) |
|
|
S |
n |
|||
S 0 |
|
|||
|
|
(56)
• Левая часть (56) ведет себя как проекция вектора E на направление положительной нормали к
плоскости контура, по которому берется циркуляция.
• Максимальное значение (rotE)n есть модуль этого вектора, а положительное направление нормали n , при
котором достигается максимум дает направление
вектора E .
• Этот вектор называется ротором вектора E или
вихрем.
• Таким образом, ротором вектора
E
называется
вектор, проекция |
которого |
на некоторое направле- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние |
|
n |
равна пределу отношения циркуляции вектора |
||||||
|
|
||||||||
по |
|
E |
замкнутому |
контуру |
|
l |
, охватывающему |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
элементарную площадку |
|
, к величине этой площад- |
|||||||
S |
|||||||||
ки при условии, что площадка неограниченно уменьшается, оставаясь все время перпендикулярной к
направлению
n
.
• Если ротор векторного поля в некоторой точке
наблюдения не равен нулю, то в любой достаточно малой окрестности этой точки силовые линии поля образуют микроскопические замкнутые контура вокруг нее («завихряются»). Поэтому область, где ротор векторного поля отличен от нуля, называют вихрем поля, а само поле, ротор которого отличен от нуля называется вихревым.
• Что же касается электростатического поля, то, как
мы уже отметили, циркуляция вектора по замкнутомуE
контуру равна нулю, а значит, в соответствии с
формулой (56), |
так же равен нулюrotE: |
rot E 0 |
(57) |
|
|
•Электростатическое поле является безвихревым.
•Электростатическое поле есть поле потенциальное.
•Такими же свойствами обладает и гравитационное
поле.
• Зная ротор вектора какого-либо вектора в каждой
точке некоторой поверхности S (причем, не обязательно плоской), можно вычислить циркуляцию
этого вектора по замкнутому контуру |
|
( он так же |
l |
может быть и неплоским), ограничивающему и поверхность S (и наоборот).
• Для этого может быть использована, известная из
векторного анализа теорема Стокса:
|
|
|
|
|
|
(A,dl ) = rot(A,dS) |
|
(58) |
|
|
l |
S |
|
|
• Этой формулой |
мы воспользуемся |
в разделе |
||
электромагнетизма.
14. Потенциальная энергия заряда, внесенного в
r |
q |
|
q0 
Рис. 25
электрическое поле
F • Под |
действием |
сил |
поля |
переместится из одной точки поля в другую, а силы поля совершат работу (рис. 25). Почему?
• Потому, что поле обладает
потенциальной энергией.
• Работа, совершенная силами поля равна убыли его
потенциальной энергии:
|
|
|
|
|
|||
|
|
dA dW |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
но |
dA |
1 |
|
q0q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|