Lek_1_ELEKTROSTATIKA
.pdf
7.Электрическое поле диполя
•Электрический диполь – это система из двух жестко связанных одинаковых по модулю и разных по знаку точечных зарядов +q и –q , расстояние между которыми много меньше расстояний до точек, в которых определяется поле.
• Определим |
напряженность поля |
E |
некоторой |
точке А, удаленной от |
|
диполя в диполя на
достаточно большое расстояние r.
• Проведем вектор l от –q до +q. Это плечо диполя.
• Дипольный момент |
p ql |
|
|
q |
q |
|
l |
l / 2 |
l / 2 |
r
EB
B
P
E
Рис. 7
A
E |
A |
|
E
• Согласно принципу суперпозиции
E |
A |
E |
E |
|
|
|
или
EA E E |
|
kq |
|
|
|
kq |
|
|
2kqlr |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
l |
2 |
|
|
l |
2 |
|
l2 2 |
(17) |
||||
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
• На больших расстояниях от диполя, когда r >> l,
членами второго порядка можно пренебречь. Учитывая также, что p = ql, формулу (17) можно записать в виде:
E |
|
|
p |
|
|
1 |
(18) |
A |
2 |
|
r3 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
• Используя принцип суперпозиции и выполняя
аналогичные математические преобразования, можно получить формулу для напряженности в точке В. Эта точка находится на перпендикуляре, восставленным к оси диполя из его середины, на расстоянии r (r >>l).
• Напряженность |
поля |
q |
|
диполя в точке В (получить самостоятельно):
|
|
|
|
1 |
|
p |
|
r |
|
|
E |
|
|
|
(19) |
|
|||
|
B |
|
|
3 |
|
||||
|
|
4 |
|
r |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
• Если |
|
точка |
|
|
поля (точка М) |
||||
находится |
|
|
ассиметрично |
по |
|||||
отношению к диполю (рис. 8), однако условие r >> l сохраняется, то формула напряженности поля диполя в этой точке будет иметь вид:
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
E |
M |
|
|
|
3cos2 φ 1 |
|||
4 |
|
r3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q
|
l |
O |
φ |
|
r |
r |
|
|
E
E |
M |
|
|
|
E |
|
|
Рис. 8
(20)
8. Поток вектора напряженности
электрического поля
• Понятие потока имеет применение по
отношению к какой-либо поверхности.
• Потоком вектора напряжённости электрического
поля через площадку (участок поверхности или всю поверхность) называется число линий напряжённости, пересекающих эту площадку или поверхность.
• Учтем, что |
модуль |
вектора |
напряженности |
электрического |
поля |
равен |
числу линий |
напряжённости, пересекающих единичную площадку, ориентированную нормально линиям
напряженности.
• С |
учетом |
|
указанных |
|
|
|
|
|||||||||
определений |
элементарный |
|
|
|
|
|||||||||||
поток |
Ф0 |
вектора |
|
|
|
через |
|
|
|
|
||||||
E |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
элементарную площадку |
|
S0 |
S0 |
S |
|
|||||||||||
можно представить в виде: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ф E S |
0 |
|
|
|
|
(21) |
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
•Тогда поток |
|
через площадку |
|
|
|
|||||||||||
Ф |
|
|
: |
|||||||||||||
S |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
Рис. 9
E
Ф E S cos
•Будем рассматривать величину
модуль которого равен площади
(22)
S как вектор,
S , а его направ-
ление совпадает с направлением внешней нормали n
•Тогда формулу (22) запишем так:
Ф E S cos(E ^ n) (E, S )
или |
Ф (E, S ) |
•Переходя к дифференциально малым:
формулу (22) представим в виде:
dФ (E, dS ) |
(24) |
|
• Для нахождения потока Ф вектора E через любую
поверхность S данную поверхность необходимо разбить на бесконечно малые
(23)
d,
элементы площадей dS и для |
Рис. 10 |
|
для каждой из них составить выражение в форме (24) после чего проинтегрировать по всей поверхности:
|
Ф (E, dS ) |
|
(25) |
|
S |
|
|
• Если поверхность замкнутая, как |
это показано на |
||
рис. 10, то интегрирование надо выполнить по всей
замкнутой поверхности:
Ф (E, dS ) S
(26)
9.Теореме Гаусса
•Теорема Гаусса позволяет вычислить поток вектора
напряженности электрического поля через любую
замкнутую поверхность, обусловленный электриче-
скими зарядами, поверхности.
S
содержащимися внутри этой
E |
• Пусть имеется |
некоторая |
|
произвольная, но |
замкнутая |
||
|
q1
P
|
|
r |
n |
|
|
d |
dS |
|
поверхность S ( рис. 11 ). Возьмём внутри эторй поверхности некоторую точку Р и поместим в ней
точечный заряд |
q |
. |
1 |
Рис. 11 • Разобъём эту поверхность
на элементарные участки. Возьмём один из них, например, участок dS.
• Телесный угол, под которым виден элемент поверхности dS из точки Р, есть угол d .
• Спроецируем элемент поверхности dS на плоскость,
перпендикулярную вектору напряжённости |
E |
|
поля |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
заряда |
q |
|
. Проекцию этого элемента поверхности |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначим dS0. |
|
|
|
|
|
|
|||
Поток dФ1 |
вектора |
E |
|
поля заряда q1 через элемен- |
|||||
|
|||||||||
тарную |
поверхность |
dS |
в соответствии |
с |
(24), |
||||
запишем в виде:
однако
следовательно,
|
|
|
|
|
|
dФ E dS cos |
|||||
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dS cos dS |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dФ E dS |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
||
(27)
Учтем, что в формуле (27) Е – это напряжённость поля точечного заряда q1 на замкнутой поверхности.
Учтем также, что |
dS0 r2d |