Lek_5_POSTOYaNN_J_TOK
.pdfПОСТОЯННЫЙ ТОК
1.Введение
2.Сила и плотность тока
3.Уравнение непрерывности
4.Электродвижущая сила
5.Закон Ома
6.Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
7.Закон Ома для участка цепи, содержащего источник тока. Закон Ома для замкнутой цепи
1. Введение
F
q
q 
E
F
• Пусть в некоторой области
пространства создано однородное электрическое поле.
• Пусть в этом пространстве
Рис. 1 оказались свободные положительные и отрицательные заряды (рис. 1).
• Под действием сил электрического поля эти заряды
придут в состояние направленного движения.
• Направленное (упорядоченное) движение свободных
электрических зарядов под действием сил электрического поля или сторонних сил называется электрическим током.
• Электрический ток имеет направление. Исторически
сложилось так, что за направление тока принято то направление, в котором перемещаются в поле положительные заряды.
q
2. |
Сила и плотность тока |
|
|
|
||||||
|
• Пусть через некоторую площадку |
|
|
|||||||
|
S |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за интервал времени |
t |
проходит |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
заряд |
q |
(рис. 2). |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 2 |
• Составим выражение: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
q |
|
|
(1) |
||
|
|
|
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это выражение есть сила электрического тока.
•Силой электрического тока через данную площадку (поперечное сечение проводника) называется величина, численно равная заряду, пересекающую эту площадку (поперечное сечение проводника) за единицу времени.
•В пределе формулу (1) можно записать так:
|
I |
dq |
|
(1) |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
• Сила электрического тока |
– это величина, равная |
|||
скорости прохождения заряда через поперечное сечение проводника.
• Единица измерения силы тока |
I 1 |
Kл |
1A |
|
с |
||||
|
|
|
• Однако это определение единицы силы тока не совсем
строгое. Об этом мы напомним несколько позже.
|
t |
u |
S
|
u |
|
q |
|
|
|
|
Рис. 3
j
• Выделим участок провод-
ника |
|
в |
|
|
|
виде |
прямого |
||||||
цилиндра |
|
|
|
с |
|
площадью |
|||||||
основания |
|
|
|
|
и высотой |
||||||||
|
S |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
t |
|
, |
где |
u |
|
|
|
средняя ско- |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рость направленного движения свободных носителей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительного заряда |
|
|
(q |
|
) |
– рис. 3. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Так как площадка |
|
|
перпендикулярна вектору |
u |
|
|||||||||
S |
||||||||||||||
|
|
|
|
то за время |
|
|
||||||||
вектору скорости носителей заряда, |
t |
|||||||||||||
через эту площадку пройдут все |
носители заряда, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержащиеся в объеме |
|
Su |
|
t |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Они перенесут через площадку S за время t суммарный заряд q , равный:
q q n dV q n u S t |
(2) |
• Поделив обе части (2) на
силы тока: |
|
I |
q |
|
|
||||
|
|
|||
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
, получаем формулу для |
||||||
t |
||||||||
q |
|
|
|
u |
|
S |
|
(3) |
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Введем векторную величину, модуль которой численно
равен силе тока через единичную площадку, перпендикулярную скорости зарядов, а направление
|
|
|
совпадает с направлением их скорости |
u |
|
|
• Введенную таким образом величину
.
называют
плотностью тока
|
|
. Как это следует из (3): |
||||||
( j) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
I |
|
|
u |
|
|
|
|
S |
q |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4)
• В векторной форме плотность тока:
j q n u |
(5) |
• Такое определение плотности тока используется и
для носителей с отрицательным зарядом.
•Однако направление вектора плотности тока и в этом случае совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов.
•Следует иметь в виду, что скорости носителей заряда, ответственных за электрический ток, имеют какое-то распределение (в металлах - максвелловское).
• Поэтому в формуле для плотности тока скорость
необходимо брать среднюю |
( u |
) |
. |
|
|
|
|
u
Далее, если в переносе заряда участвуют носители разных типов (электроны, положительные и отрицательные ионы в газах и электролитах), то плотность тока будет определяться формулой
j |
q n |
u |
|
i 1 |
i |
|
i |
|
(6)
где суммирование проводится по всем типам носителей заряда.
• Как следует, например, из (4) единица плотности |
|||
тока |
|
|
|
j 1 |
A |
|
|
|
|
||
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
• Если вектор плотности тока известен, то всегда
можно найти силу тока через любую поверхность:
где dS ndS
(
n
I |
|
( j, dS ) |
(7) |
|
|||
|
|
|
|
|
S |
|
|
единичный вектор, перпендикулярный
площадке dS )
• Как это следует из (7), сила тока есть поток вектора плотности тока через поверхность S .
3. Уравнение непрерывности
S |
|
j |
|
dq |
0 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
V |
Рис. 3
•Пусть в некоторой проводящей среде течет постоянный ток.
•Выделим в этой среде замкнутую поверхность S (рис. 3) и составим
поверхностный интеграл:
( j, dS ) S
• Очевидно, что этот интеграл представляет силу тока, вытекающего из объема V , ограниченного замкнутой поверхностью S .
• Согласно закону сохранения заряда, этот интеграл
равен скорости убывания заряда, содержащегося в данном объеме:
( j, dS ) |
dq |
|
dt |
||
S |
||
|
• Представим заряд q , содержащийся в объеме V объемную плотность заряда .
q dV
V
• Подставляя (8) в (7), получаем:
(7)
через
(8)
или
|
|
|
|
|
|||
( j, dS ) |
d |
dV dV |
|||||
|
|||||||
S |
|
dt |
V |
|
V |
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( j, dS ) |
|
dV |
|
|
||
|
t |
|
|
||||
|
S |
V |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
(9)
Заметим, что под знаком интеграла стоит частная производная по времени. Производная частная потому,