Lek_1_ELEKTROSTATIKA

• Таким образом, если формула (36) выражает теорему

Гаусса в дифференциальной форме, то формулы (33), (37) и (38) выражают эту же самую теорему в интегральной форме.

11. Применение теоремы Гаусса

а) Напряжённость поля равномерно заряженной сферической поверхности

• Сообщим полой металлической сфере заряд q. Заряд

распределится равномерно по поверхности сферы с поверхностной плотностью σ = q/S, где S – поверхность сферы.

• Заряженная сфера создает сферически симметричное

поле, линии напряженности которого перпендикуляр-

ны поверхности сферы.

сферической поверхности (при r > R) определяется такой же формулой как и напряженность поля точечного заряда, помещенного в её центре.

• Возьмем точку Р2 внутри сферы и проведем через неё

замкнутую поверхность S2. Внутри этой поверхности зарядов нет. Следовательно, поток вектора Eчерез эту

поверхность равен нулю, т.е.

• Устремим расстояние от центра сферы до точки

наблюдения к радиусу сферы R. Тогда, в соответствии с формулой (39), напряженность поля на поверхности сферы можно представить формулой (40):

• График напряженности поля заряженной сфериче-

ской поверхности в зависимости от расстояния от центра сферы до точки наблюдения показан на рис. 15.

b) Напряжённость поля сплошного шара с равномерным распределением заряда по его объёму

• Для отыскания напряженности поля сплошного шара с

равномерным распределением заряда по его объёму

применяем ту же методику, что и в случае полой сферы.

•Следовательно, как и для сферической поверхности с равномерно распределённым по ней зарядом, так и для сплошного шара с равномерно распределенным зарядом по его объему, напряженность поля за пределами шара или сферы (r >> R) определяется одинаковой формулой, совпадающей с формулой напряженности поля точечного заряда при условии, что r отсчитывается от центра шара или сферы.

•Как следует из (41), устремляя r → R, получаем формулу напряженности поля на поверхности сплошного заряженного шара:

•Найдем теперь напряженность поля внутри заряженного шара, т.е. для точек поля, соответствующих условию r < R, например, для точки Р2 (рис. 16).

•Вначале запишем выражение для объемной плотности заряда:

• Определим заряд q1 , заключенный в объеме сферы S2,

радиус которой r1:

• Поток вектора E через замкнутую поверхность S2, радиус которой r2: (E, dS ) 4 r12 E

S2

•Внутри заряженного шара напряженность поля увеличивается с увеличением расстояния от центра шара до данной точки поля.

•График зависимости E E(r) показан на рис. 16.

с) Напряжённость поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости

относительно точки Р, заряды которых ∆q = σ∆S.

• Эти заряды создают в точке Р поля E1 и E2 .

лярен плоскости, как и перпендикулярна линия напряженности вдоль которой направлен вектор E .