Lek_1_ELEKTROSTATIKA
.pdf
|
n |
|
E |
n |
n |
E |
E |
|
S |
Рис. 19
• Выделим на плоскости
участок ∆S. Он содержит заряд
qS
•На базе площадки ∆S построим построим замкнутую поверхность
ввиде цилиндра, перпендикулярного плоскости S.
•Ни одна линия напряженности не пересекает боковую поверхность цилиндра. Эти линии параллельны боковой поверхности.
• Потоки вектора E через правое и левое основание
цилиндра одинаковы (рис. 19)
Ф1 Ф2 E S cos(n ^ E) E S
• Полный поток
цилиндра:
вектора |
E |
Ф 2E S
через оба основания
(46)
• Поток через
нулю (рис. 19):
боковую поверхность цилиндра равен
|
|
Ф |
E S cos( / 2) 0 |
бок |
|
• Применим к полному потоку (46) теорему Гаусса:
|
2E S |
1 |
S |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
||
E |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
• Из формулы (47) следует, что поле
протяженной равномерно заряженной является полем однородным.
(47)
бесконечно
плоскости
d) Напряжённость поля двух бесконечно протяженных равномерно заряженных параллельных плоскостей
|
• Пусть две бесконечно протяжен- |
||||||
|
ные плоскости |
параллельны |
и |
||||
|
заряжены |
|
одинаковыми |
по |
|||
|
величине, но разными по знаку |
||||||
|
зарядами |
с |
|
поверхностными |
|||
|
плотностями |
|
|
(рис. 19). |
|||
Рис. 19 |
|
и |
|||||
• Напряженность поля левой плос- |
|||||||
|
|||||||
кости на рис. 19 показана красными векторами, а правой – синими.
• Как следует из этого рисунка, электростатические
поля слева и справа от плоскостей отсутствуют, так как геометрические суммы красных и синих векторов
равны нулю.
• Напротив, как это видно из рис. 19, поле внутри плос-
костей в два раза больше, чем напряженность одной
равномерно заряженной плоскости:
E 0
e) Напряжённость поля бесконечно протяженной равномерно заряженной нити
•Сообщим нити длиной l заряд q.
•Линейная плотность заряда нити
ql
(48)
q |
|
|
h |
r |
n |
E |
|
|
||
|
P |
r |
|
|
|
||
|
|
|
l
Рис. 20
• Применяя |
к |
заряженной |
|
нити |
|
q |
|
|
||
методику качественного определения |
|
|
|
|
||||||
характера |
поля, |
как |
это |
было |
|
|
|
|
||
выполнено |
|
для |
бесконечно |
h |
r |
n |
E |
|||
|
|
P |
r |
|||||||
протяженной |
плоскости, |
|
можно |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
обнаружить, |
|
|
что |
|
|
линии |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
напряженности |
|
поля |
|
нити |
|
l |
n |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярны |
|
нити |
и, |
следова- |
|
Рис. 20 |
|
|||
тельно, поле нити обладает цилинд- |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
дрической симметрией (рис. 20). |
|
|
|
|
||||||
• Определим напряженность поля на расстоянии r от |
||||||||||
нити в некоторой точке Р. |
|
|
|
|
|
|
||||
• Для этого проведем через точку Р замкнутую
поверхность (цилиндрическую) и найдем поток вектора E через эту поверхность:
• Потоки через основания цилиндра равны нулю, так
как линии напряженности основания не пересекают.
• Поток вектора |
E |
|
|
|
через боковую |
поверхность |
||||||||||||||||
цилиндра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Ф S |
бок |
Е 2 rh E |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• Используя теорему Гаусса, получаем: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 rh E |
q |
|
|
h |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(49) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
E |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
E |
2k |
(50) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) Напряжённость поля бесконечно протяженной равномерно заряженной цилиндрической поверхности
•Поле бесконечно протяженного заряженного цилиндра, как и поле нити обладает циллиндрической симметрией (рис. 21).
•Поток вектора напряженности поля заряженного цилиндра отличен от нуля только при r ≥ R, где R – радиус цилиндра.
•Окружим заряженную цилиндрическую поверхность цилиндром,
|
боковая |
поверхность |
которого |
Рис. 21 |
проходит |
через точку |
поля, для |
которой r ≥ R.
• Поток вектора E через боковую поверхность цилин-
дра
ФSбок Е 2 rl E
•Суммарный заряд, содержащийся внутри этой поверхности равен l , где линейная плотность
заряда.
•Применяя теорему Гаусса, получаем:
Откуда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 rl E |
l |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
(51) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
0r , |
|
|||||
|
|
|
||||||
что совпадает с формулой напряженности поля бесконечно протяженной заряженной нити.
• Поле внутри заряженной цилиндрической
поверхности отсутствует, так как там нет электрических зарядов.
•Такой вывод следует и з применения теоремы Гаусса для этой области пространства.
•В заключение этого параграфа приведем сводку формул для расчета напряженности электрических полей распределенных зарядов.
Поле равномерно заряженной сферической поверхности
•
•
Вне сферы
На поверхности сферы
E = |
1 |
× |
q |
= |
kq |
||
4πε |
εr |
εr |
2 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
E = |
1 |
× |
q |
|
= |
kq |
||
4πε |
εR |
2 |
εR |
2 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
• Внутри сферы |
E = 0 |
Напряжённость поля сплошного шара с равномерным распределением заряда по его объёму
•
•
•
Вне шара
На поверхности шара
Внутри шара
|
|
E = |
|
1 |
|
|
× |
q |
= |
|
kq |
|
|
||||||
|
|
4πε |
0 |
|
εr |
|
|
εr 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = |
1 |
|
|
× |
q |
|
|
= |
|
|
kq |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
4πε |
|
|
|
εR |
|
|
εR |
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E = |
1 |
|
|
× |
|
q |
r = |
|
kq |
r |
|||||||||
4πε |
0 |
|
|
εR3 |
|
εR3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжённость поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости
E = |
σ |
|
|
2ε |
ε |
||
|
|||
|
0 |
|
Напряжённость поля двух бесконечно протяженных равномерно заряженных параллельных плоскостей
E = σ
ε0ε