2. Среднеквадратическая ошибка (стандартное отклонение) для оценки Se и доверительный интервал.

Стандартное отклонение для оценки обозначается S_e и рассчитывается по формуле среднеквадратичного отклонения:

.

Величина стандартного отклонения характеризует точность прогноза.

Вариант 5. Возвращаясь к данным нашего примера, рассчитаем значение S_e:

Предположим, необходимо оценить значение Y для конкретного значения независимой переменной, например, спрогнозировать объем продаж при затратах на рекламу в объеме 10 тыс. долл. Обычно при этом также требуется оценить степень достоверности результата, одним из показателей которого является доверительный интервал для Y.

Граница доверительного интервала для Y при заданной величине X рассчитывается следующим образом:

где Х_p – выбранное значение независимой переменной, на основе которого выполняется прогноз. Обратите внимание: t – это критическое значение текущего уровня значимости. Например, для уровня значимости, равного 0,025 (что соответствует уровню доверительности двухстороннего критерия, равному 95%) и числа степеней свободы, равного 10, критическое значение t равно 2, 228 (см. Приложение II). Как можно увидеть, доверительный интервал – это интервал, ограниченный с двух сторон граничными значениями предсказания (зависимой переменной).

Вариант 6. Для нашего примера расходов на рекламу в размере 10 тыс. долл. интервал предсказания зависимой переменной (объема продаж) с уровнем доверительности в 95% находится в пределах [10,5951; 21,8361]. Его границы определяются следующим образом (обратите внимание, что в Варианте 2 Y'=16,2156):

Из приведенного расчета имеем: для заданных расходов на рекламу в объеме 10 тыс. долл., объем продаж изменяется в диапазоне от 10,5951 до 21,8361 тыс. долл. При этом: 10,5951=16,2156-5,6205 и 21,8361=16,2156+5,6205.

3. Стандартное отклонение для коэффициента регрессии Sb и t-статистика

Значения стандартного отклонения для коэффициентов регрессии S_b и значение статистики тесно взаимосвязаны. S_b рассчитываются как

Или в сокращенной форме:

S_b задает интервал, в который попадают. Все возможные значения коэффициента регрессии. t-статистика (или t-значение) – мера статистической значимости влияния независимой переменной Х на зависимую переменную Y определяется путем деления оценки коэффициента b на его стандартное отклонение S_b. Полученное значение затем сравнивается с табличным (см. табл. В Приложении II).

Таким образом, t-статистика показывает, насколько велики величина стандартного отклонения для коэффициента регрессии (насколько оно больше нуля). Практика показывает, что любое t-значение, не принадлежащее интервалу [-2;2], является приемлемым. Чем выше t-значение, тем выше достоверность коэффициента (т.е. точнее прогноз на его основе). Низкое t-значение свидетельствует о низкой прогнозирующей силе коэффициента регрессии.

Вариант 7. S_b для нашего примера равно:

t-статистика определяется:

Так как t=3,94>2, можно заключить, что коэффициент b является статистически значимым. Как отмечалось раньше, табличное критическое значение (уровень отсечения) для 10 степеней свободы равно 2,228 (см. табл. в Приложении 11).

Обратите внимание:

- t-значения играют большую роль для коэффициентов множественной регрессии (множественная модель описывается с помощью нескольких коэффициентов b);

- R² характеризует общее согласие (всего «леса» невязок на диаграмме разброса), в то время как t-значение характеризует отдельную независимую переменную (отдельное «дерево» невязок).

В общем случае табличное t-значение для заданных числа степеней свободы и уровня значимости используется, чтобы:

- установить диапазон предсказания: верхнюю и нижнюю границы для прогнозируемого значения при заданном значении независимой переменной;

-установить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии;

- определить уровень отсечения для t-теста.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ MS EXCEL

Электронные таблицы, такие как Excel, имеют встроенную процедуру регрессионного анализа, легкую в применении.

Регрессионный анализ с помощью MS Ехсеl требует выполнения следующих действий:

- выберите пункт меню «Сервис - Надстройки»;

- в появившемся окне отметьте галочкой надстройку Analysis ToolPak – VBA нажмите кнопку ОК.

Если в списке Analysis ToolPak - VВА отсутствует, выйдите из MS Ехсеl и добавьте эту надстройку, воспользовавшись программой установки Мiсrosоft Office. Затем запустите Ехсеl снова и повторите эти действия. Убедившись, что надстройка Analysis ToolPak - VВА доступна, запустите инструмент регрессионного анализа, выполнив следующие действия:

- выберите пункт меню «Сервис - Анализ» данных;

- в появившемся окне выберите пункт «Регрессия» и нажмите кнопку ОК. На рисунке 16.3 показано окно ввода данных для регрессионного анализа.

Рисунок 16.3 – Окно ввода данных для регрессионного анализа

Таблица 16.2 показывает выходной результат регрессии, содержащий описанные выше статистические данные.

Примечание: для того чтобы получить поточечный график (ХY график), используйте «Мастер Диаграмм» MS Excel.

Получаем: Y' = 10,5386 + 0,563197 Х (d виде Y' = а + bХ) с R²=0,608373=60,84%.

Все полученные данные ответствуют данным, рассчитанным вручную.

Таблица 16.2 – Результаты регрессионного анализа

в электронных таблицах MS Excel

Вывод итогов
Регрессионная статистика
Множественный R			0,7800
R-квадрат			0,6084
Нормированный R-квадрат			0,5692
Стандартная ошибка			2,3436
Наблюдения			12
Дисперсионный анализ
		df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1	85,3243	85,3243	15,5345	0,0028
Остаток		10	54,9257	5,4926
Итого		11	140,2500
	Коэффи-циенты	Стандарт-ная ошибка	t-статистика	Р- значение*	Нижние 95%	Верхние 95%
Свободный член	10,5836	2,1796	4,8558	0,0007	5,7272	15,4401
Линейный коэффициент	0,563197	0,1429	3,9414	0,0028	0,2448	0,8816
*Р – значение для переменной X, равное 0,0028 показывает, что истинное значение переменной коэффициента с 0,28%-ной вероятностью равна нулю, что предполагает высокую точность прогнозируемого значения, равного 0б563197.

Таблица 16.3 показывает выходной результат регрессии, полученный с применением популярного программного обеспечения Minitab для статистического анализа.

Таблица 16.3 – Результаты регрессионного анализа Minitab

Анализ регрессии Уравнение регрессии: FO=10,6+0,563DLH
Прогнозируемые параметры	Коэффициент	Стандартное отклонение	t-значение	P
Константа	10,584	2,180	4,86	0,000
DLH	0,5632	0,1429	3,94	0,003
s=2,344	R-квадрат=60,8%			R-квадрат (нормированный)=56,9%
Анализ отклонений
Показатель	DF	SS	MS	F	P
Регрессия	1	85,324	85,324	15,53	0,003
Отклонение	10	54,926	5,493
Итого	11	140,250

ВЫВОДЫ

C помощью регрессионного анализа устанавливается зависимость между изменениями независимых переменных и значениями зависимой переменной. Регрессионный анализ - популярный метод для прогнозирования продаж. В этой главе обсуждался широко распространенный способ оценки значений, так называемый метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов рассматривался применительно к модели простой регрессии Y = а + bх. Обсуждались различные статистические коэффициенты, характеризующие добротность и надежность уравнения (согласие модели) и помогающие установить доверительный интервал.

Показано применение электронных таблиц MS Ехсеl для проведения регрессионного анализа шаг за шагом. С помощью электронных таблиц можно не только составить уравнение регрессии, но и рассчитать статистические коэффициенты.