4. Коэффициент вариации:

_(3.8);

%.

Коэффициент вариации – v_σ равен 47,29% .

Анализируя проведенные выше расчеты, можно сделать вывод, что наибольшее число регионов имеет задолженность по жилищным кредитам,составляющую5,7307 млрд.рублей, так как Мо =5,7307.

В изучаемой совокупности одна половина физических лиц в регионах имеет задолженность по жилищным кредитам менее 5,3561 млрд.рублей, вторая половина более 5,3561 млрд.рублей, так как Ме = 5,3561

Так как Q_{1 =} 3,2128 и Q₃= 7,0048; то 25% рассматриваемых регионов имеет общая численность занятых населений 3,2128 млрд.рублей, а другие 25% более 7,0048 млрд.рублей

Поскольку коэффициент вариации равен 47,29%( а он превышает 33%)можно сделать вывод, что рассматриваемая совокупность является не однородной.

0. 3.4) Проверка гипотезы о близости к нормальному распределению

Для того, чтобы проверить близость полученного распределения к нормальному, необходимо вычислить критерий согласия К. Пирсона.

Используя табличные данные, рассчитаем критерий согласия Пирсона по формуле:

_(3.9);

где f_э и f_T – эмпирические и теоретические частоты соответственно.

. (3.10);

Где h – шаг интервала;

F(t) = ;

γ = n -1, где γ – число степени свободы.

Произведем необходимые расчеты, рассчитаем значение t :

t₁ = (2,2236-5,53746) /4,2446 = -0,781

t₂ = (4,202 -5,53746) /4,2446 = -0,314

t₃ = (6,1805-5,53746) /4,2446 = 0,151

t₄ = (8,1589 -5,53746) / 4,2446 = 0,617

t₅ = (10,1374- 5,53746) / 4,2446 = 1,083

t₆ = (12,1158 -5,53746) /4,2446 = 1,549

перейдем к расчетам теоретических частот, но для расчета рассчитаем значение выражения:

= 1,97845 *40/ 4,2446 = 18,644

f_t1 =18,644 *0,29407 =5,4826; f_t1 окр =5,483 ;

f_t2 = 18,644* 0,3757 =7,0045; f_t2 окр = 7,005;

f_t3 = 18,644* 0, 39444 =7,3539 ; f_t3 окр =7,354;

f_t4 = 18,644*0,3298 =6,1487 f_t4 окр =6,149 ;

f_t5 = 18,644*0,22198 = 4,1385; f_t5 окр =4,139;

f_t6 = 18,644*0,12019 =2,2408; f_t6 окр =2,241;

(f_э - f_t)₁ = 10-5,483=4,517; ( )₁ = (4,517)² / 5,483=3,721;

(f_э - f_t)₂ = 9-7,005=-1,995; ( )₂ = (-1,995)² /7,005 =0,568;

(f_э - f_t)₃ = 12-7,3539=-4,646; ( )₃ = (-4,646)² /7,3539 =2,935

№ п.п		вес
1	1,2343-3,2128	10	2,2236	-0,781	0,29407	5,4826	5,483	4,517	3,721
2	3,2128-5,1912	9	4,2020	-0,314	0,3757	7,0045	7,005	1,995	0,568
3	5,1912–7,1697	12	6,1805	0,151	0,39444	7,3539	7,354	4,646	2,935
4	7,1697 -9,1481	4	8,1589	0,617	0,3298	6,1487	6,149	-2,149	0,751
5	9,1481-11,1266	3	10,1373	1,083	0,22198	4,1385	4,139	-1,139	0,313
6	11,1266-13,1051	2	12,1158	1,549	0,12019	2,2408	2,241	-0,241	0,026
Итого			40						8,332

(f_э - f_t)₄ = 4-6,149=-2,149; ( )₄ = (-2,149)² /6,149 =0,751

(f_э - f_t)₅ = 3-4,139= -1,139; ( )₅ =(-1,139)²/4,139 =0,313

(f_э - f_t)₆ = 2-2,241 =-0,241; ( )₆ =(-0,241)²/2,241=0,026;

Таблица 7 – Расчет теоретических частот нормального распределения

По специальным таблицам определяем, что при заданном уровне значимости = и числе степеней свободы γ=n-1=6-1=5 то = 15,1; то есть > _{поэтому гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному распределению подтверждается.}

_{Проиллюстрируем расчеты соответствующим графикам}

Рисунок 4 – эмпирическое и теоретическое распределения

По графику видно, что расхождение между эмпирическими и теоретическими значениями не ближе, это еще раз доказывает что гипотеза о распределении близком к нормальному не отвергается.

Задание №4

1. На базе отобранных данных произведите репрезентативный отбор по принципам выборочного наблюдения. Способ отбора и вид выборки определите самостоятельно.

2. Для сформулированной выборочной совокупности вычислите:

- среднюю величину по выборочной совокупности;

- предельную ошибку выборки и пределы, в которых находится генеральная

средняя (уровень вероятности задайте самостоятельно).

Сформулируйте выводы.

4.1) Выборка

На базе имеющих данных путем собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 15 регионов (процент выборки составил 35%). Результаты отбора представим в виде таблицы:

Таблица 8 - Совокупность С

№ п/п	№ региона в генеральной совокупности	Регион	Физическим лицам- всего.(млрд.рублей)	В том числе по жилищным кредитам(млрд.рублей)	Из неё по ипотечным жилищным кредитам(млрд. рублей)
1	4	Костромская обл.	10,3442	2,1641	1,8013
2	35	Камчатский край	6,4549	1,581	1,4485
3	3	Липецкая обл.	18,213	5,1047	4,1314
4	40	Сахалинская обл	12,118	3,281	2,9357
5	8	Рязанская обл.	21,469	6,1677	5,5992
6	28	Ульяновская обл	22,035	6,1246	4,5917
7	33	Забайкальский край	25,888	6,5035	5,486
8	36	Приморский край	34,203	8,0048	7,272
9	27	Саратовская обл	41,657	10,39	9,4513
10	34	Томская обл	35,079	13,105	10,894

4.2) Найдем число групп по формуле Стерджесса:

Для выборочной совокупности с имеем n=1+3,322lg10 =

Округлив значение, получаем число групп, равное 5.

1. Найдем максимальное и минимальное значения признака:

X_max= 13,105 (Томская область)

X_min= 1,581 (Камчатский край)

2. Найдем размах вариации по формуле (2):

R=13,105 -1,581= 11,524

3. Найдем шаг по формуле (3):

h = 11,524 /5 = 2,305

Получили интервалы:

№ п/п	Группы регионов по численности занятых населений	Число регионов	Удельный вес
1	1,581-3,886	3	30
2	3,886-6,191	3	30
3	6,191-8,496	2	20
4	8,496-10,801	1	10
5	10,801-13,106	1	10
Итого		10	100

Таблица 9 - Аналитическая группировка в выборочной совокупности:

№ п/п	Группы регионов по численности занятых населений	№ региона	Физическим лицам- всего.(млрд.рублей)	В том числе по жилищным кредитам(млрд.рублей)	Из неё по ипотечным жилищным кредитам(млрд. рублей)
1	1,581-3,886	4 35 40	10,3442 6,4549 12,118	2,1641 1,581 3,281	1,8013 1,4485 2,9357
	Итого	3	28,9171	10,0261	6,1855
2	3,886-6,191	6 8 28	18,213 21,469 22,035	5,1047 6,1677 6,1246	1,8013 5,5992 4,5917
	Итого	3	61,717	17,397	14,3223
3	6,191-8,496	33 36	25,888 34,203	6,5035 8,0048	5,486 7,272
	Итого	2	60,091	14,5083	12,758
4	8,496-10,801	27	41,657	10,39	9,4513
	Итого	1	41,647	10,39	9,4513
5	10,801-13,106	34	35,079	13,105	10,894
	Итого	1	35,079	13,105	10,894
	Всего	10	227,4611	65,4264	53,6111

Определим среднюю величину по выборочной совокупности, используя

формулу средней арифметической взвешенной, используя таблицу 9.

Таблица 10 – Расчетная таблица для определения выборочной средней и

дисперсии

№ п/п	Группы регионов по численности занятых населений	xi	fi	xifi		2	2fi
1	1,581-3,886	2,7335	3	8,2005	-3,227	10,4135	31,2406
2	3,886-6,191	5,0385	3	15,1155	-0,922	0,8501	2,5503
3	6,191-8,496	7,3435	2	14,687	1,383	1,9127	3,6584
4	8,496-10,801	9,6485	1	9,6485	3,688	13,6013	13,6013
5	10,801-13,106	11,9535	1	11,9535	5,993	35,9160	35,9160
Итого			10	59,605			86,9666

_{1. Найдем средную величину в выборочной совокупности по следующей формуле:}

, (4.1)

Получим:

2. Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле:

, (4.2)

где - дисперсия выборочной совокупности,

n – число единиц выборочной совокупности; n = 10

N – число единиц генеральной совокупности; N= 40

Для данной совокупности .

Выполним поставку, получим:

, (4.3)

где t – нормированное отклонение (коэффициент доверия), зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки.

При вероятности F(t)= 0,683 .

Найдем предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:

_{При выполнении поставки, получим:}

Следовательно с вероятностью 0,683 можно утверждать, что .в том числе по жилищным кредитам в генеральной совокупности находится в границах от 3,4065 до 8,5145 млрд.рублей

Задание №5

Для изучения связи между зависимой и независимой величинами на базе отобранных данных:

1. постройте корреляционную таблицу, характеризующую зависимость результативного признака от факторного. Сделайте выводы о характере связи между признаками;

2. изобразите связь между изучаемыми признаками графически;

3. постройте уравнение регрессии по сгруппированным данным. Параметры уравнения определите методом наименьших квадратов. Рассчитайте теоретические (полученные по уравнению регрессии) значения результативного признака и нанесите их на построенный в п.2 график. Определите форму связи между признаками;

4. на основе F- критерия Фишера и t-критерия Стьюдента проверьте значимость: в первом случае – уравнения регрессии; во втором – его параметров. Дайте экономическую интерпретацию параметров уравнения связи;

5. по сгруппированным данным вычислите линейный коэффициент корреляции и корреляционное отношение. Сделайте выводы о степени и направлении связи между изучаемыми признаками;

6. с экономической точки зрения сформулируйте выводы относительно исследуемой вами связи.

5.1) Изучение связи между зависимым и независимым переменными (парная корреляция)

Построим таблицу, характеризующую зависимость социальных выплат от численности занятых населений (см. таблицу 10).

Таблица 11 – Зависимость результативного признака от факторного

№ п/п	Группы регионов по жилищным кредитам (млрд.рублей)	В том числе по жилищным кредитам(млрд.руб) (xi)	Физическим лицам- всего.(млрд.рублей) (y)
1	Костромская обл.	2,1641	10,3442
2	Камчатский край	1,581	6,4549
3	Липецкая обл.	5,1047	18,213
4	Сахалинская обл	3,281	12,118
5	Рязанская обл.	6,1677	21,469
6	Ульяновская обл	6,1246	22,035
7	Забайкальский край	6,5035	25,888
8	Приморский край	8,0048	34,203
9	Саратовская обл	10,39	41,657
10	Томская обл	13,105	35,079

x – факторный признак

у – результативный признак

Анализируя представленную таблицу можно предположить что между признаками существует прямой характер связи, т.е. с увеличением численности занятых населений будет увеличиваться социальные выплаты.

5.2) На основе корреляционной таблицы 10 изобразим связь между изучаемыми признаками графически.

Рисунок 5 – Графическое выражение зависимости между факторным и результативным признаком

Данный график показывает что между изучаемыми признаками существует линейная зависимость, т. е. с ростом В том числе по жилищным кредитам и растёт Физическим лицам- всего

5.3) При статистическом изучении связи показателей чаше всего применяется прямолинейная форма зависимости между признаками x и y. Эта зависимость выражается следующей формулой:

, (5.1)

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

а₀, а₁ – коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Параметры уравнения определим с помощью метода наименьших квадратов. В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных (Y_i) от выровненных ():

.

Для прямой зависимости:

.

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

Для решения данной системы составляется расчетная таблица:

Таблица 12 – Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии (парная регрессия)

№ п/п	x	y	x2	x*y	y2
1	2,1641	10,3442	4,683	22,386	107,002	10,65902
2	1,581	6,4549	2,500	10,205	41,666	8,92138
3	5,1047	18,213	26,058	92,972	331,713	19,42201
4	3,281	12,118	10,765	39,759	146,846	13,98738
5	6,1677	21,469	38,041	132,414	460,918	22,58975
6	6,1246	22,035	37,511	134,956	485,541	22,46131
7	6,5035	25,888	42,296	168,363	670,189	23,59043
8	8,0048	34,203	64,077	273,788	11669,845	28,0643
9	10,39	41,657	107,952	432,816	1735,306	35,1722
10	13,105	35,079	171,741	459,710	1230,536	43,2629
итого	62,426	227,461	505,623	1767,369	6379,562	228,1307

Выполним подставку полученных значений в систему уравнений:

Δ=10 62,426 =1206(главный определитель)

62,426 505,623

Δ1= 227,461 62,426 =5081(Первый определитель)

1767,369 505,623

Δ2=10 227,461 = 3596 (Второй определитель )

62,426 1767,369

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений имеет решения:

а₀ = Δ1/Δ ≈ 4,21

а₁= Δ2/Δ ≈ 2,98

Решая систему уравнений, найдем значения параметров а₀ 4,21; а₁ 2,98

Поставляя значения вычисленных параметров в уравнение регрессии, получаем: =4,21+2,98 * x

Рассчитаем при соответствующих значениях x:

₁ = 4,21+ 2.98 * 2,1641=10,65902; ₉ = 4,21+ 2.98 *10,39=35,1722

₂ = 4,21+ 2.98 *1,581 =8,92138; ₁₀ =4,21+ 2.98 *13,105=43,2629

₃ =4,21+ 2.98 * 5,1047=19,42201;

₄ =4,21+ 2.98 * 3,281=13,98738;

₅ = 4,21+ 2.98 * 6,1677=22,58975

₆ = 4,21+ 2.98 *6,1246 =22,46131;

₇ = 4,21+ 2.98 *6,5035 =23,59043;

₈ = 4,21+ 2.98 *8,0048=28,0643;

Таким образом, мы рассчитаем теоретические (рассчитанные по уравнению регрессии) значения результативного признака.

Рисунок 6 – Графическое выражение зависимости между В том числе по жилищным кредитам и Физическим лицам- всего.

5.4) Теперь нам необходимо проверить значимость уравнения регрессии и его параметров. Значимость уравнения регрессии проверяется на основе вычисления F-критерия Фишера

, (5.2)

где m – число параметров в уравнении регрессии.

. (5.3)

Таблица 13 – Расчетная таблица для определения значения критерия Фишера

x	y		Y-	(Y-)2	(Y-)2
2,1641	10,3442	10,65902	-0,1786	0,0319	153,8071
1,581	6,4549	8,92138	-2,3204	5,3843	265,4032
5,1047	18,213	19,42201	-1,1228	1,2607	20,5490
3,281	12,118	13,98738	-1,7522	3,0702	112,9565
6,1677	21,469	22,58975	-1,0526	1,1080	1,6310
6,1246	22,035	22,46131	-0,3574	0,1277	0,5057
6,5035	25,888	23,59043	2,36	5,5696	9,8715
8,0048	34,203	28,0643	6,1756	38,1380	131,2606
10,39	41,657	35,1722	6,4812	42,0060	357,6221
13,105	35,079	43,2629	-8,2337	67,7938	152,1004
62,426	227,461	228,1307	-	164,5681	1205,7071

Для данных таблицы 10 значение F-критерия Фишера равно:

 б_ост = = 4,057

= - ()² = 6379,562 / 10 - (227,461/10)² = 120,5711

Выполнив поставку, найдем значение F-критерия:

Таким образом, при уровне значимости α=0,05 и степени свободы ν₁=2-1=1 и ν₂=10-2=8табличное значение F_табл.=5,32, следовательно при > F_табл. уравнение регрессии может быть использовано для практических целей. Отсюда следует, что данное уравнение регрессии статистически значимо.

Значимость параметров уравнения регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t- критерии

Для параметра а₀: _(5.4);

Для параметра а_1: , (5.5);

- ()^{2 =} 505,623/10 – (62,426/10)² = 11,5922

 б_{x = =} 3,4047

.

Для заданного уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы ν₁=2-1=1 и ν₂ =n-2=10-2=8 табличное значение(Таблица распределение Фишера-Снедекора) t_табл.= 5,32 . Таким образом, t_табл.<t_расч. и для а₁ и для а₀, значит, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что найденные параметры уравнения регрессии и являются значимыми.

Для удобства интерпретации параметра а₁ используют коэффициент эластичности.

, (5.6);

.

значит при изменении факторного признака (В том числе по жилищным кредитам на 1%, среднее изменение результативного признака (Физическим лицам- всего.) составляет 82,27%.