umk-teoriya-mehanizmov

i-j

Рис. 4.4. Графическое дифференцирование кинематических диаграмм: а) график функции положения; б) график передаточной функции

Масштаб при дифференцировании определяют так:

что подробно описано в «Лабораторном практикуме» (лаб. работа № 3).

4.4. Графоаналитические способы определения передаточных функций

Графоаналитические методы позволяют объединить наглядность гео- метрических построений с возможностью применения ПЭВМ. Излагаем один из методов, разработанных на кафедре механики УО «ПГУ» [9] с участием студентов. Метод опирается на выполняемые при курсовом про- ектировании планы положений механизма и планы скоростей. Планы ско- ростей – графические отображения теорем «о плоском движении звеньев, либо сложном движении точки».

31

Теорема 1.

Плоское движение звена состоит из поступательной составляющей вместе с произвольно выбранной на звене точкой (полюсом А) и враща- тельной вокруг этого полюса (рис. 4.5).

A

VA

ωBA

B

VBA

VA

VB

Рис. 4.5. К теореме о плоском движении звена

где VBA = wBA ×lAB скорость точки В при вращении звена АВ вокруг по-

люса А.

Теорема 2.

Сложное движение точки (рис. 4.6) включает переносное движение вместе с переносящей средой-кулисой 2 и относительное относительно

2).

где V A2 – вектор скорости точки А1 в движении вместе с точкой А2;

– вектор скорости этой точки в относительном движении (по звену 2).

Планы – треугольники, содержащие векторы из уравнений (4.4), (4.5). Для лучшего понимания соответствия планов

положений и скоростей, последние необходимо изображать повернутыми на 90°. На планах положений механизмов выделяют треугольные контуры (их можно решать с помощью простейших теорем в треугольнике – теорем синусов и косинусов).

32

Рассмотрим графоаналитический способ кинематического анализа шарнирного четырехзвенника ОАВС (рис. 4.7), S2 – « шатунная точка» (точ- ка на шатуне АВ).

φ3-φ1

// ОС

φ1

Рис. 4.7. К соответствию плана механизма плану скоростей:

а) шарнирный четырехзвенник; б)повернутый на 90o

Проведем отрезок АС (рис. 4.7, а). Получим треугольники AOC и ABC. Найдем функции положения звеньев. По теореме косинусов из тре-

33

После поворота на 90º (рис. 4.7, б) скорости будут параллельными указанным отрезкам).

План скоростей и план механизма после выравнивания АВ = ab (пу- тем изменения масштабов) совмещаем. В построенном треугольнике ско- ростей точку S2 находим по теореме о подобии: три точки, лежащие на одном звене, образуют на всех планах (положений, скоростей и др.) по- добные фигуры. Поэтому треугольники abS2 и ABS2 совпадают.

Имеем:

затем умножить его на отношение длин ( lOA к lAB ). Отношение ( ab к pa )

можно найти из треугольника скоростей, если указать в нем углы между соответствующими сторонами. Тогда для рассматриваемого примера по теореме синусов:

Аналогично можно вычислить и другие функции (см. прил. 2). Таким образом, для вычисления передаточных функций можно при-

влечь программно-вычислительную технику, а программы отладить с по- мощью планов положений и повернутых треугольников скоростей.

Мы рассмотрели порядок кинематического исследования простей- ших четырехзвенных механизмов. Передаточные механизмы машин, со- стоящие из двух и более простых механизмов, могут представлять опреде- ленные сложности. Порядок вычисления передаточных функций в этом случае может быть существенно упрощен, если воспользоваться преобра- зованием вида:

Например, на рис. 4.8, в полученном преобразовании ω3 – угловая скорость звена BCE, присоединяющего ведомый тангенсный механизм CD3D4F к ведущему шарнирному четырехзвеннику ОАВС.

34

5. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ. ОСОБЕННОСТИ КИНЕМАТИКИ И СИНТЕЗА

Простейшие механизмы описаны в п. 2.2. Рассмотрим наиболее рас- пространенные функциональные их схемы – зубчатых, рычажных и кулач- ковых механизмов.

5.1. Стандартное прямозубое эвольвентное цилиндрическое зубчатое зацепление. Устройство и кинематика

Прямозубое эвольвентное цилиндрическое зубчатое зацепление изо- бретено Л. Эйлером и является основой для понимания устройства и рабо- ты других одноступенчатых зубчатых передач с неподвижными осями ко- лес. Рассмотрим это зацепление с необходимыми подробностями.

Элемент зацепления – колесо имеет форму цилиндра, на боковой по- верхности которого с равным угловым шагом нарезаны одинаковые по форме зубья. В сечении плоскостью, перпендикулярной оси вращения коле- са, зубья располагаются между двумя концентрическими окружностями – впадин диаметром d f и выступов диаметром da . Между ними располага-

ется делительная окружность, которая делит зуб на головку и ножку. Дли- на этой окружности:

c = π × d = p × z ,

гированного) зубчатого колеса.

Делительный диаметр определяют по формуле (5.1).

Шаг зуба определяют как

p = πm.

Толщина зуба по делительной окружности S и ширина впадины l:

S = l = 0,5 p.

36

Высота головки зуба ha и ножки hf составляют: ha = ha × m; hf = (ha + c )m,

где для колес общего машиностроения коэффициент высоты головки зуба ha = 1,0 , с* = 0,25 – коэффициент радиального зазора.

Таким образом, диаметры окружностей выступов и впадин колеса составляют:

da = d + 2ha ; d f = d − 2hf .

Боковой профиль зуба колеса – эвольвентный. Эвольвенту описывает точка М (рис. 5.1), закрепленная на прямой МК (воспроизводящая прямая), при качении без проскальзывания этой прямой по неподвижной окружно- сти (основная окружность).

Рис. 5.1. Схема образования боковой поверхности эвольвентного зуба

Из кинематики следуют основные свойства эвольвенты:

1.Эвольвента расположена вне основной окружности (внутри ее не может быть).

2.Отрезок МК является радиусом кривизны эвольвенты в произ- вольной точке М и ее нормалью в этой точке. Отрезок М1К1, проведенный через любую точку М1 эвольвенты касательно к основной окружности, яв- ляется радиусом кривизны эвольвенты в точке М1.

3.Нормаль к эвольвенте в любой точке М1 касается основной окруж- ности в точке К1.

4.Эвольвента – разворачивающаяся кривая, поскольку радиус кри-

визны MK = rb × tgα по мере возрастания α неограниченно увеличивается

( α – угол развернутости эвольвенты в точке М), rв – радиус основной ок- ружности.

37

Получим уравнение эвольвенты:

M0K = (MK ),

или

rb × (α + θ) = rb × tgα ,

Выражения (5.2) и (5.3) – параметрические (параметр α ) уравнения эвольвентного профиля в полярных координатах с полярной осью M0O и полярным (эвольвентным) углом θ .

5. При возрастании rb радиус кривизны эвольвенты МК увеличивает-

ся при любых α , а при rb = ∞ он составляет MK = ∞ ,

Таким образом, у зубчатой рейки боковая поверхность эвольвентно- го зуба очерчена прямой. Это имеет большое значение при конструирова- нии зуборезного инструмента.

Зубчатые передачи пришли на смену фрикционным (рис. 5.2).

ведомому колесу (называется колесом):

U1−2 = rw2 = const , rw1

если радиусы rw1 и rw2 не изменяются.

38

Передаточное отношение – отношение угловых скоростей – являет- ся основным кинематическим параметром любой передачи. Оно показыва- ет, сколько оборотов нужно сделать ведущему колесу для одного оборота ведомого колеса, либо во сколько раз передача снижает обороты.

Во фрикционной передаче, чтобы передать значительные мощности, необходима большая сила прижатия катков Q. Но сила Q ограничена кон- тактной прочностью материалов в точке К.

В зубчатых передачах не требуется большой силы Q, т.к. передача уси- лия осуществляется боковыми поверхностями зубьев (а не за счет сил трения).

У зубчатых колес окружности радиусов rw1 и rw2 являются вообра-

жаемыми; их называют начальными. Эти окружности перекатываются друг по другу без скольжения и служат центроидами в относительном вра- щении. Введем в зацепление два эвольвентных профиля (рис. 5.3). К – точка контакта эвольвентных профилей зубьев.

Зацепление за пределами линии N1N2

щую нормаль. Две полунормали к ним в точке К касаются основных ок- ружностей и являются общей нормалью к эвольвентам в точке их касания. Перпендикуляры О1N1 и O2N2 – радиусы rb1 и rb2 основных окружностей.

Вдоль общей нормали N1N2 передаются силы между зубьями. Общая нормальная скорость:

Vn = ω1 × (O1N1) = ω2 × (O2 N2 )

направлена по линии зацепления N1N2.

39

Отсюда:

Но, из подобия прямоугольных треугольников О1ПN1 и О2ПN2 следует:

Поэтому:

1.Точка П – полюс зацепления (О1П и О2П – начальные радиусы rw1

иrw2 колес).

2.Чтобы боковые профили зубьев обеспечивали постоянство пере-

даточного отношения, общая нормаль к ним в точках зацепления должна проходить через полюс зацепления П (основной закон зацепления).

3. Передаточное отношение определяется отношением rb2 , и не rb1

меняется, если

rb2 = const . rb1

4. С изменением межосевого расстояния в беззазорном эвольвентном зацеплении меняется лишь угол зацепления αw .

Для нулевых колес α0 = 20° . По условию, что шаги (модули) как и распределение шага между толщиной выступа и шириной впадины по на- чальным окружностям должны быть одинаковы, на роль последних могут претендовать лишь делительные окружности.

Поэтому:

Передаточному отношению пары колес приписывают знак:

«+» – вращаются в одном направлении (при внутреннем зацеплении); «–» – вращаются в противоположных направлениях (при внешнем

зацеплении).

При зацеплении боковых поверхностей зубьев, точка их контакта пе- ремещается по общей касательной к основным окружностям колес, кото- рая называется линией зацепления. Кинематически передача движения от одного эвольвентного зуба к другому аналогична передаче его нерастяжи- мой нитью с катушки радиусом rb1 на катушку радиуса rb2 . Вдоль этой ни-

ти передаются усилия, как и по линии зацепления. При изменении межосе-

40