Механика

станке. (рис. 4.8). Функция у(х) является образующей. Будем считать такое тело сплошным и имеющим заданную объёмную плотность ρ . Момент инерции элементарного тонкого сплошного диска толщиной dx равен dJ 21 y 2dm 21 y 2 y 2dx . Момент инерции всего тела

вращения J 1 x2y 4 ( x )dx .

2 x1

Интеграл берётся в пределах «нужного участка» области изменения функции. Телами вращения являются также правильные геометрические фигуры, например такие, как конус или шар. Для конуса радиусом R и высотой Н образующей является линейная функция y HR x . Интегрируя по х от нуля до Н, получим J = 0,3MR2. Аналогичным образом для шара получим J = 0,4MR2.

r =y

X

dx

Рис. 4.8

Простое вращательное движение. Рассмотрим точку mi, принадлежащую телу, вращающемуся вокруг оси, перпендикулярной чертежу, как на рис. 5.1. Напомним, что крест в кружочке означает направление «от нас». Такое направление

известной у студентов как «бац минус цаб». Применяя её, получим

И таким образом векторы L и имеют одинаковое направление, что справедливо только для простого вращательного движения.

Сложное вращательное движение. Здесь имеет место вращение не

вокруг оси, а вокруг точки. Векторы r i и уже не будут взаимно перпендикулярны и их скалярное произведение в (5.2) не будет равно нулю. Чтобы теперь описать свойства вращательного движения вместо скалярной величины J, которой мы пользовались раньше, необходимо будет ввести матрицу

Jxx Jxy Jxz

J Jyx Jyy Jyz . Такие величины называются тензорами. Компоненты Lx, Ly,

Jzx Jzy Jzz

Lz сложным образом определяются через компоненты тензора инерции J. Вектора L и уже в общем случае не будут коллинеарны. Более «осязаемым»

примером тензорной величины является показатель преломления n. Если на кусок стекла падает свет, то известный закон преломления выполняется независимо от того, с какой стороны падает луч, т.е. n = const независимо от направления в пространстве. Не для всех сред это верно. Например, показатель преломления кварца будет различным для различных направлений и задаётся тензором n. Для любого тела можно выбрать три взаимно перпендикулярные оси, когда в тензоре ненулевыми остаются только три диагональных компоненты Jxx, Jyy и Jzz. Рассмотрим этот случай.

Существуют три взаимно перпендикулярные оси - главные

36 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА

Эти оси для тел правильной формы совпадают с осями геометрической симметрии и характеризуются тем, они определяют устойчивость вращения что необходимо для инженерных приложений, когда важно, чтобы не было биений, а с ними и преждевременного износа подшипников и искривления механических осей. Соответствующие этим осям моменты инерции также называются главными. Если все три главных момента различны (например, у параллелепипеда), то устойчивое вращение имеет место относительно двух осей, соответствующих максимальному и минимальному главному моменту. В этом можно легко убедиться, подбрасывая вверх коробку, одновременно сообщая ей быстрое вращение вокруг одной из главных осей. Если две из трёх компонент одинаковы, то устойчивое вращение соответствует оси с максимальным моментом инерции. Так если тонкий стержень подвесить к вертикальной оси мотора, а затем включить мотор, то стержень, повращаясь некоторое время в своём начальном вертикальном положении, займёт затем положение горизонтальное – соответствующее его максимальному моменту инерции ML2 / 12.

инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, известен (например, эксцентрик на рис. 5.2). Известно также расстояние между осью вращения А и параллельной осью О, проходящей через центр инерции. Рассмотрим произвольную точку mi, принадлежа-

инерции (4.1). Но радиус-вектор центра инерции относительно оси, проходящей через центр инерции равен нулю. Поэтому

Ls J . Движение Земли вокруг Солнца характеризуется орби-

рисунке справа. Особую роль момент импульса играет в мире микрочастиц, каковыми являются атомы и молекулы. Там также спра-

ведливо сказанное здесь, однако появляются некоторые новые закономерности.

Основной закон динамики вращательного движения. Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг точки О, совпадающей с началом системы отсчёта (рис. 5.5). Предположим, что известны силы F i , действующие на каждую точку тела mi , радиус-вектор ко-

αОпределённая таким образом

кости чертежа, то вектор Mi направлен «к нам» как это следует из кратчайшего поворота буравчика от первого вектора ко второму. Его

Суммируя по всем точкам, получим уравнение динамики враща-

тельного движения в самом общем виде:

Это уравнение играет в динамике вращательного движения такую же роль, как второй закон Ньютона в динамике поступательного движения. Импульсу p (характеристике запаса поступательного движения) соответствует момент импульса L (мера запаса вращательного движения). Другие соответствия а →β, F → M, m →J также очевидны. Уравнение (5.5) является аналогом второго закона в форме d p / dt F , а уравнение (5.5а) соответствует форме ma F .

Гироскоп. Это очень важный прибор, широко применяемый в инженерном деле. Он представляет собой быстро вращающийся волчок (рис. 5.6), являющийся в реальных устройствах ротором электромотора. Закрепление волчка в кардановом подвесе (рис. 5.5) обеспечивает возможность свободного вращения гироскопа вместе со своей осью вокруг координатных осей. Если к оси гироскопа приложить некоторую силу F (например, подвесить грузик), то возникает момент этой силы. Проведя радиус-вектор из центра системы к точке приложения силы, определим направление вектора М момента силы, пользуясь правилом буравчик. Он перпендикулярен оси волчка и направлен «от нас» вдоль оси Z . Если записать уравнение динамики вращательного движения (5.5) для малых конечных приращений в виде L M t , то видно, что момент M обусловливает приращение момента импульса L . При этом векторыL и M имеют одинаковое направление – вдоль Z . При выбранном на рисунке направлении вращения волчка вектор момента импульса

40 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА

L направлен слева направо – вдоль оси волчка. Как L и M , он лежит в горизонтальной плоскости YOZ , и прибавление к L приращения M t даст вектор L M t , который повернулся от вектора L к вектору M на угол в горизонтальной плоскости. Таким образом, наличие постоянного момента силы вызывает вращение всего гироскопа вместе с его осью в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси Х. Такое движение называется прецессией. Для малого угла получим tg ≈ = M t / L . Поэтому угловая скорость

L

Y

F

Рис. 5.6. Гироскоп

И таким образом, если нет момента силы, то нет и прецессии. Если у прецессирующего гироскопа грузик снять, то прецессионное движение прекращается немедленно: никакого движения «по инерции» не будет. Если изменить направление момента силы на проти-

воположное (перевесить грузик на другую сторону), то изменится и направление прецессии. Кроме гироскопа в кардановом подвесе, большое распространение получили гироскопы на коромысле с противовесом, описываемые сходным образом.

Быстро вращающийся гироскоп является очень устойчивой системой и используется в конструкциях гирокомпасов, которые применяются там, где использование обычных магнитных компасов невозможно. Гироскопическая устойчивость обеспечивает возможность езды на велосипеде, а также возможность создания гироскопического монорельсового транспорта. Свойства гироскопа используются в системах автоматического регулирования, например в автопилоте. Сигнал ошибки , возникающий при изменении заданного курса, поступает на гироскоп в виде момента силы, вызывающего прецессию. Прецессионный поворот гироскопа приведёт к включению систем, меняющих курс самолёта до тех пор, пока не исчезнет сигнал ошибки, а с ним и прецессия. Гироскопическую прецессию совершает и брошенный австралийский бумеранг. Благодаря сечению бумеранга, которое такое же, как у крыла самолёта возникает дополнительная сила, аналогичная подъёмной. Эта сила при правильном броске бумеранга вызывает момент силы, который и обусловливает прецессионное движение бумеранга по круговой орбите, что приводит к возвращению бумеранга в точку бросания.

Работой силы F на элементарном перемещении d s называется скалярная величина dA ( F d s ) F ds cos . Работа на

является джоуль: [A ] = H· м = кг · м2 / c2= Дж. Следует отметить, что работа в физическом понимании этого термина не всегда соответствует обывательским представлениям. Работа человека, несущего в горизонтальном направлении груз, равна нулю, поскольку направление перемещения перпендикулярно направлению силы тяжести.

Быстрота выполнения работы называется мгно-

F

рованной, т.е. находящейся вне поля действия каких-либо иных