Механика

торых a (тангенциальное ускорение) направлена вдоль касательной и характеризует изменение скорости по величине, а другая аn (нормальное или центростремительное ускорение) по перпендикулярному к касательной направлению – к центру кривизны траектории в данной точке – и характеризует изменение по направлению (рис. 2.1 б). Рассмотрим важные частные случаи, часто повторяющиеся в инженерной практике.

Рис. 2.2. Убыстренное (а) и замедленное (б) прямолинейное движение вдоль оси Х. Равномерное движение по окружности (в)

1. Точка движется прямолинейно. В этом случае нет изменения по направлению. Нормальное ускорение аn = 0. Полное ускорение a = a и направлено либо в сторону движения (убыстрение, рис. 2.2 а ), либо против движения (замедление, рис. 2.2 б ). Если в качестве положительного направления оси Х выбрать направление движения, то в первом случае ускорение положительно, а во втором отрицательно. Если в качестве положительного направления выбрать направление противоположное движению, то поменяются и знаки ускорений. Поэтому неверно расхожее мнение, что убыстре-

14 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА

ние – это положительное ускорение, а замедление – отрицательное. Всё зависит от того, как выбрать положительное направление оси Х.

2. Точка движется по окружности с постоянной по величине скоростью (v = const). Здесь скорость меняется только по направлению. Поэтому a = 0, полное ускорение a = аn и направлено к центру окружности (рис. 2.2 в ). Строго говоря, любое криволинейное движение является ускоренным. Однако во многих практических случаях, например, рассматривая движение автомобиля по извилистой дороге с постоянной скоростью, этим обстоятельством пренебрегают.

Рассмотрим частицу, движущуюся по любой криволинейной траектории. Для простоты рассмотрим движение в плоскости XOY,

Пусть в момент t частица находится в точке А и имеет полное ускорение а (рис. 2. 3), которое разложим на тангенциальное a и нормальное an . Введём орты i и j и вспомогательные единичные векторые и еn вдоль касательно в точке А и в перпендикулярном

станта определяется выбором начала отсчёта траектории (Расстояние от Москвы можно отсчитывать от Кремля, а можно от кольцевой дороги). Обычно её полагают равной нулю, считая, что расстояние отсчитывается от начала движения. В векторной форме можно за-

2

из начала координат в точку начала движения.

Рассмотрим теперь случай 3. Камень, брошенный под углом к горизонту, находится в поле тяжести Земли и движется с полным ускорением g , направленным вниз (рис. 2.4). Это тоже равноускоренное движение, поскольку в

d , направление которого определим правилом буравчика: при вращении рукоятки буравчика в направлении вращения тела направление движения его винта укажет направление вектора d . Наглядного смысла во введении такого вектора нет. Однако, как увидим в дальнейшем, при таком формальном определении этого вектора другие более «осязаемые» величины будут иметь величину и направление, соответствующие физической реальности. Выберем

начало декартовых координат где-нибудь на оси вращения и соединим его с мгновенным положением точки М радиус-вектором R .Определим далее мгновенную угловую скорость как быстроту

изменения углового перемещения во времени: ddt . Она изме-

ряется в радианах в секунду [ω] = рад/с или с-1 и направлена, как и d - вверх вдоль оси. Линейная скорость v = ds|dt = r dφ |dt = ω r.

Так как r = R sin α, то последнему соотношению можно придать векторную форму

ГЛАВА 3. КИНЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

По Галилею для инерциальных систем отсчёта (ИСО) К и К’ (рис. 1.3) связь компонент cкоростей u ↔ u ’ для некоторой материальной точки, например мухи в корабле, который движется вдоль берега со скоростью v так, что х параллельно х‘ получится диффе-

положения, что скорость света в вакууме является инвариантом для инерциальных систем и не зависит от скорости их движения. Так, если на тележке (рис. 3.1), движущейся относительно неподвижной

время волновой фронт достигнет точек С и С’, которые находятся на

одинаковых расстояниях от О. Для системы К’, движущейся вдоль Х со скоростью v так, что в момент t = t’ = 0 начала обеих систем совпадают, свет в точку D’ придёт раньше, чем в D. Следовательно, события, одновременные в К , не являются таковыми в К’ . Поэтому одновременность относительна, и часы в К и в K’ не синхронны! Выход был предложен А. Эйнштейном в 1905 г. в его специальной теории относительности, которая базируется на двух постулатах (т.е. аксиомах – положениях, принимаемых на веру без доказательств):

Все инерциальные системы равноправны, и все физические явления и процессы протекают в них одинаковым образом;

Скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО, не зависит от скорости движения источника и является предельной скоростью распространения взаимодействий.

Как видим, первый является принципом относительности Галилея, а второй – обобщением опытных данных, полученных исследователями XIX века.

Пусть имеются две ИСО К и К’ . Последняя движется так, что X’ скользит вдоль Х (см. рис. 1.3). В момент t = t’ = 0 начала обеих систем совпадают. В этот момент в О возникает вспышка света. Через t секунд в К волновой фронт распространится в виде сферы радиуса c t . Аналогично в K’ свет достигнет точек сферы радиуса

Из опыта известно, что пространство однородно (при переходе от одной его точки к другой свойства его характеристик остаются неизменными) и изотропно (его свойства одинаковы по различным направлениям). Про время известно, что оно однородно:

20 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА

развитие и изменение данного физического явления не зависит от того, в какой момент времени данная ситуация сложилась. Так, процесс развития цыплёнка из яйца происходил одинаково при Петре I и при современном правительстве. Математически эти свойства

преобразования Галилея (1.1), т.е. должно быть: γ, а →1 и b →0. Определим γ, и b. Для этого подставим (3.2) в (3.1). Получим:

γ 2(x’+vt’)2 + y2 + z2 = c2(at’ + bx’)2 ;

γ2x2 + 2 γ2vx’t’ + γ2v2t’2 + y’2 + z’2 = c2a2t’2 + 2c2abt’x’ + c2b2x2 и 2x’t’(γ2v - c2ab) + (γ2 - c2b2)x’2 + y’2 + z’2 = (c2a2 - γ2v2)t’’2 .

Сравним последнее соотношение со второй формулой из (3.1), которая удовлетворится, если 2x’t’(γ2v - c2ab) = 0; (γ2 - c2b2) = 1 и (c2a2 - γ2v2) = с2. Эти три уравнения образуют систему. Первое из них даёт b = γ2v/(c2a). Подставляя b во второе уравнение, получим

Подставляя найденные коэффициенты линейной связи в (3.2), получим преобразования специальной теории относительности, открытые Лоренцом и носящие его имя:

вания Галилея. На рис. 3.3 показана зависимость γ от v/c, из которой видно, что отход от классической физики к релятивистской (описываемой теорией относительности) наступает при скоростях порядка 70-80% от скорости света. Затем даже незначительное увеличение скорости приводит к сильному изменению γ , т.е. к ярко выраженным релятивистским эффектам.

Следствия из преобразований Лоренца Будем рассматривать ИСО К’ , движущуюся в направлении Х

со скоростью v так, то Х’ скользит вдоль Х.

1. Сокращение длины движущегося стержня. Пусть в К’ по-

коится стержень, расположенный параллельно Х’. Его длина, измеренная в той системе, где он покоится (т.е. в K’), называется собственной длиной L0, величина которой L0 = х2’ – x1’, где х2’ , x1’ - координаты конца и начала стержня в K’. Для того, чтобы измерить

22 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА

Таким образом, L< L0, что означает, что длина стержня, измеренная в ИСО К, уменьшилась (!!!)

2. Замедление хода движущихся часов. Пусть часы в K’

покоятся. Пусть далее в некоторой точке x’0 системы K’ произошло развитие какого-либо события, начавшегося в момент t’1 , и закончившегося в момент t’2. Например, в момент t’1 космонавт закурил сигарету, а в момент t’2 бросил окурок в урну. Длительность события τ0 = t’2 - t’1 , измеренная в K’, где часы покоятся, называется собственным временем события. Соответствующий интервал в К будет

Поэтому τ0< τ, т.е. движущиеся часы идут медленнее (!!!)

Космонавт, улетевший на ракете, движущейся прямолинейно с релятивистской скоростью, станет моложе своих бывших ровесников, с которыми он может регулярно общаться с помощью средств телекоммуникаций.

С этим следствием связан парадокс близнецов. Жили-были близнецы А и Б (например, Алик и Боря). Боря, собираясь улететь в космос на быстрой ракете, говорит Алику: «Вследствие второго следствия по возвращении из космоса я окажусь моложе тебя». Алик возражает: «По первому постулату Эйнштейна все ИСО равноправны и можно считать, что это ты на своей ракете останешься в состоянии покоя, а я буду относительно тебя двигаться с такой же скоростью в противоположном направлении, и по возвращении моложе буду я». Парадокс основан на том, что повторная встреча близнецов возможна только при развороте ракеты и при последующем включении тормозов. А это означает выход из инерциальных систем отсчёта, для которых справедлива специальная теория относительности. Анализ ситуации с учётом ускоренного движения показал, что прав всё-таки Борис.