Глава 14 основы кинетостатики 14.1. Метод кинетостатики

Представим себе материальную точку массой т, движущуюся с ускорением а под действием какой-то системы активных и реак­тивных сил, равнодействующая которых равна F.

Воспользуемся одной из известных нам формул (основным уравнением динамики) для того, чтобы уравнения движения запи­сать в форме уравнений равновесия (метод кинетостатики):

F = та.

Перепишем это уравнение в следующем виде:

F +(-та) = 0.

Выражение, стоящее в скобках, обозначается F"^H и называется силой инерции:

= -та.

Сила инерции есть вектор, равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную ускоре­нию. Тогда

F+F*" = 0 или £(F,F^M,,) = ft

Это равенство, являющееся математическим выражением принципа, который носит имя французского ученого Ж. Д’Алам- бера (1717-1783), можно рассматривать как уравнение равновесия материальной точки. Следует подчеркнуть, что полученное равен­ство, хотя и названо уравнением равновесия, в действительности является видоизмененным уравнением движения материальной точки.

Следует отметить, что до Д'Аламбера над общим методом, с по­мощью которого уравнениям динамики придается форма уравне­ний статики, работали члены Петербургской Академии наук Я. Гер­ман (1716) и Л. Эйлер (1737).

Принцип Д’Аламбера формулируется так: активные и реактив­ные силы, действующие на материальную точку, вместе с силами

инерции образуют систему взаимно уравнове­шенных сил, удовлетворяющую всем условиям равновесия.

Рис. 14.1

Следует помнить, что сила инерции приложе­на к рассматриваемой материальной точке ус­ловно, но для связи, вызывающей ускорение, она в определенном смысле является реаль­ной. Обладая свойством инерции, всякое тело стремится сохранять свою скорость по модулю и направлению неизменной, в результате чего оно будет действовать на связь, вызывающую уско­рение, с силой, равной силе инерции. В качестве примера действия сил инерции можно привести случаи разрушения маховиков при достижении ими критической угловой скорости. Во всяком вра­щающемся теле действуют силы инерции, так как каждая частица этого тела имеет ускорение, а соседние частицы являются для нее связями.

Поясним это на примере. Пусть к телу (рис. 14.1), лежащему на горизонтальной плоскости, привязана нить, способная выдержи­вать силу тяжести G этого тела. Если к нити приложить силу R ста­тически (постепенно), то тело будет поднято вверх и нить не обор­вется; если силу R приложить динамически (внезапно, рывком), то нить оборвется. Это явление объясняется следующим образом.

Чтобы поднять груз, нужно сообщить ему какое-то ускорение а. Для определения величины натяжения нити применим принцип Д’Аламбера и составим уравнение равновесия:

= 0; R-G-F^m = 0,

откуда

R = G+F^HH =G+ma.

В первом случае грузу сообщается небольшое ускорение и сила инерции, увеличивающая натяжение нити, невелика; во втором случае ускорение, сообщаемое телу, значительное и сила инерции соответственно возрастает. В обоих случаях сила инерции не уве­личивает давление на опору, так как приложена к телу условно.

Отметим, что весом тела называется сила, с которой тело вслед­ствие притяжения Земли действует на опору (или подвес), удержи­вающую его от свободного падения. Если тело и опора неподвижны, то вес тела равен его силе тяжести.

Пример 14.1. В поднимающейся кабине лифта взвешивается тело на пружинных весах (сила тяжести тела G = 50 Н), натяжение R пружины ве­сов (т.е. вес тела) равно 51 Н.Найти ускорение кабины.

Решение. Применим к телу принцип освобождаемости, отбросим пружинные весы и заменим их реакцией R, равной натяжению пружины.

Для решения задачи применим метод кинетостатики, т. е. приложим к телу силу инерции F^,,H. Составим уравнение равновесия взвешиваемого тела, спроецировав все силы на вертикальную ось у; предполагаем, что ус­корение а кабины направлено вверх и, следовательно, сила инерции на­правлена вниз (расположение векторов сил см. на рис. 14.1):

£У = 0; R-G-F^M =0.

Модуль силы инерции определяем по формуле F^m =ma = (G/ g)a.

Подставив это выражение в уравнение, определим ускорение a-{R- G)g/G = (51- 50)9,8/50 = ОД 96 м/с².

Ускорение получилось положительным, следовательно, как и предпо­лагалось, оно направлено вверх.

2. Силы инерции в криволинейном движении

В криволинейном движении точки полное ускорение равно век­торной сумме касательного и нормального ускорений (рис. 14.2).

Касательное ускорение a_t = da / dt, нормальное ускорение а_п =

= v² /р, полное ускорение а = +а²_п.

Каждому ускорению соответствует своя сила инерции:

Z7HH &

F_т = га—- — касательная, или тангенциальная; dt

= mv² / р — нормальная, или центробежная;

F^HK - та — полная.

Рис. 14.2

В качестве примера рассмотрим равномерное движение по ок­ружности, лежащей в горизонтальной плоскости, камня силой тя­жести G, привязанного к невесомой нити длиной г, расположенной в той же плоскости (рис. 14.3, а). Чтобы нить оставалась в плоско­сти движения камня, предполагается, что он скользит по идеаль­ной гладкой горизонтальной плоскости. Скорость камня обозна­чим V. Тогда F"" = mv²/г — центробеж­ная сила инерции (эта сила натягивает нить); R = mv²/г — центростремитель­ная сила, приложенная к камню (эта си­ла удерживает камень на окружности).

Центробежная и центростремитель­ная силы (действие и противодействие) по третьему закону Ньютона равны по

а б

Рис. 14.3

модулю и направлены в противоположные стороны. Очевидно, что касательная сила инерции F_т^ин в этом случае равна нулю, так как v = const.

Из опыта известно, что при достаточной скорости нить может разорваться и камень полетит по касательной к окружности, т.е. по направлению имеющейся в момент разрыва скорости. Это доказы­вает, что центробежная сила инерции есть реальная сила для связи, но к телу она приложена условно.

Внутри тел, движущихся с ускорением, также возникают внут­ренние силы инерции, так как для каждой частицы тела соседние частицы являются связями.

Найдем, чему равно натяжение нити, если камень движется по окружности, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 14.3, 6). Для определения натяжения R нити применим принцип Д'Аламбера, т.е. приложим к камню нормальную силу инерции F„"^H и касатель­ную силу инерции F"".

Спроецируем все силы на направление нити, в результате чего получим

Д-Gcosa-C =0,

откуда

R ~ F™ +Gcos a = mv²/r+G cos a.

Натяжение нити максимальное при a = 0, т.е. когда камень нахо­дится в нижнем положении:

Яшах =mv²/r+G.

Натяжение нити минимальное при a = п рад, т. е. когда камень находится в верхнем положении:

tfmin =mv²/r-G.

Заметим, что под влиянием си­лы тяжести камня модуль его ско­рости v будет меняться и достигать наименьшего значения в верхнем положении и наибольшего — в нижнем.

Если выразить линейную ско­рость камня через угловую ско­рость нити v = оо г, то формула цен­тробежной силы инерции примет вид

F1^|Н = т(0 г.

Пример 14.2. Груз весом G = 10 Н, подвешенный на нити длиной / = = 0,3 м в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, т. е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить со­ставляет с вертикалью угол 60° (рис. 14.4). Определить скорость v груза и натяжение R нити.

Решение. Так как нить составляет с вертикалью постоянный угол, то скорость груза постоянна, касательное ускорение груза и касательная сила инерции равны нулю. Применим принцип Д'Аламбера, т.е. прило­жим к грузу центробежную силу инерции F™', реакцию R нити и составим два уравнения равновесия:

= 0; - Rsin6(f+F*^H = 0;

где

£Y = 0; £cos60°-G = 0,

Gv* G z?

ПИН ^ -

К - ma„ =

gr g I sin 60°

Из второго уравнения определим

G

=^=^20H

0,5

и подставим в первое уравнение

G

sin60°+— -———^ = 0; g /sm60

R =

cos60°

cos 60^е

2. откуда

   .sin² 60° 0,866² .

^v = si ^ ^{= 9}’⁸ ■ ^{0 = 2,1 M}/^c-

cos 60^ 0,5

Пример 14.3. Определить скорость v искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите на высоте h = 230 км от поверхности

Земли. Изменением ускорения свободного падения и сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли считать равным R = 6370 км.

Решение. После того как ракета-носитель вывела спутник массой т на заданную орбиту и сообщила ему скорость v, касательную к орбите, спутник продолжает движение под действием одной лишь силы притяже­ния Земли. Для определения скорости v спутника применим принцип Д’Аламбера, т.е. приложим к спутнику центробежную силу инерции и со­ставим уравнение равновесия, спроецировав силы на ось, проходящую через спутник и центр Земли:

mg-F„^m=0.

Так как F„^m = mi? /(R + Л), то

mg - rrnf /(R + h) = 0.

Сократив равенство на т, определим скорость спутника:

v = Jg(R + ti).

Подставив значения, получим

v = ^9$1(6370 + 230)1000 = 8000 м/с = 8 км/с.

Эта скорость, при которой спутник Земли удерживается на круговой орбите на относительно небольшой высоте, называется первой космиче­ской скоростью.

Пример 14.4. На какую высоту А надо запустить искусственный спут­ник Земли, предназначенный для сверхдальних телепередач, чтобы он ка­зался неподвижным по отношению к Земле? Орбиту спутника прибли­женно считать окружностью, концентричной экватору.

Радиус R Земли принять равным 6370 км, а угловую скорость враще­ния Земли вокруг своей оси — со = 0,7-10~⁴ рад/с (рис. 14.5).

Решение. Введем следующие обо­значения: т — масса спутника; G — си­ла тяжести спутника на поверхности Земли; М — масса Земли; v — скорость движения спутника.

На основании закона всемирного тя­готения сила F, с которой спутник притя­гивается к Земле, на высоте h равна

F = ymM/(R + Hf,

где у — гравитационная постоянная.

При h~ 0

F_x =G = ymM/R².

Центробежная сила инерции F„^MH спутника на высоте h равна

На основании принципа Д’Аламбера

£У = 0; F„^m-F = 0,

следовательно,

F*" = F или тпх? / (R + h)- ymM/(R + А)².

Так как г? = сo(R + И), то после подстановки и сокращений получим

сo\R + hf = yM. (14.1)

Если бы спутник летел на небольшом расстоянии от поверхности Зем­ли, то этим расстоянием можно было бы пренебречь и тогда

G = F_t

или

mg = ymM / R².

Отсюда

gR² = уМ. (14.2)

Из равенств (14.1) и (14.2) получим

<a\R + hf = gR²,

откуда

h = з/⁹^^{1 6}?⁷⁰^^°⁶-6370• 10³ - 35 800■ 10³ м - 35 800км.

(0,7 *10 )