Глава 26 продольный изгиб

1. Общие сведения

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямоли­нейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. Продоль­ный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и на­пряжениями критического значения.

Расчеты на прочность и жесткость, приведенные в предыдущих главах, делались в предположении, что при деформации конструк­ции между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренни­ми силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы. Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (кри­тическое состояние), называют критическими. Опасность по­тери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструк­ций, стержней, пластинок и оболочек.

Рассмотрим тонкий стальной стержень, длина которого значи­тельно бол вше поперечных размеров, сжимаемый силой F, немного большей критической силы F_K? (рис. 26.1).

Применяя метод сечений, убеждаемся, что в результате искрив­ления оси в поперечных сечениях стержня возникают два внутрен­них силовых фактора — продольная сила N- F и изгибающий мо­мент М_и.

Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба.

При сжимающих силах, даже немного превышающих критиче­скую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критиче­ское состояние конструкции считается недо­пустимым.

Для обеспечения устойчивости необходи­мо, чтобы действующая на стержень сжимаю­щая сила Fбыла меньше критической F_Kp.

Обозначим допускаемую сжимающую си­лу и ,тогда

[Л = ^_кр/[5_У],

где[s_y] — допускаемый коэффициент за­паса устойчив ос т и.

Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если [s_y] > 1. Значение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначе­ния стержня и его материала. Обычно для сталей [s_y] = 1,8...3; для чугунов [s_y ] = 5... 5,5; для дерева [s_y] = 2,8 ...3,2.

2. Формулы Эйлера и Ясинского

Для расчетов стержней на устойчивость необходимо знать спо­собы определения критической силы F_Kp.

Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведе­ны академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707 -1783). Академик С. И. Вавилов писал: «Вместе с Петром I и Ломо­носовым Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее продуктивность». В дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального исследования вопро­сов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петер­бургского института инженеров путей сообщения Ф. С.Ясинским (1856-1899), опубликовавшим в 1893 г. большую работу «Опыт разви­тия продольного изгиба».

Л. Эйлером была получена формула для определения величины критической силы F_Kp.

Приведем формулу Эйлера без вывода:

F -%²Е1 • /I¹

^L кр ^ min / *п*

Здесь Е — модуль упругости первого рода; /_min — наименьший из осевых моментов инерции сечения, поскольку искривление стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости, в чем нетрудно убедиться, сжимая продольной силой слесарную линей­ку; /_п — приведенная длина стержня;

h = м

где / — длина стержня; р — к о э фф ициент приведения дли- н ы, зависящий от способа закрепления концов стержня.

На рис. 26.2 показаны наиболее часто встречающиеся способы за­крепления концов стержня и приведены значения р.: оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться (рис. 26.2, а)\ нижний конец жестко защемлен, верхний свободен (рис. 26.2, 6); оба конца жестко защемлены, но могут сближаться (рис. 26.2, в); нижний конец закреплен жестко, верхний — шарнирно, концы мо­гут сближаться (рис. 26.2, г); нижний конец закреплен жестко, верхний имеет «плавающую заделку» (рис. 26.2, д). Заметим, что чем меньше р, тем больше критическая сила, а следовательно, и до­пускаемая сжимающая нагрузка. Например, сжимающая нагрузка стержня, жестко защемленного обоими концами (р = 0,5), может

l^jcp J^icp J^p l^isp f

кр

HI

'/У, Ц-1.0

a

ц=2,0

6

ц-0,5 в

Рис. 26.2

*1—0,7

г

ц-1,0

д

поперечного сече-

прея *

быть в 16 раз больше нагрузки стержня, защемленного одним концом (|Л - 2).

Вывод формулы Эйлера осно­ван на законе Гука, который справедлив только до предела пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользо­ваться не всегда. Для определе­ния пределов примени­мости формулы Эйлера опре­делим критическое напряжение a_Kpt т. е. напряжение, которое воз­никает в поперечном сечении площадью А стержня при дости­жении критической силы:

a_Kp=F„_p/A = K²EI_miJ№)²A].

Определим наименьший радиус инерции i ния стержня:

^min ^— л/^min / А.

Перепишем формулу для а_кр так:

о_кр =Tt²E/(\il/i_mi„)².

Введем понятие гибкости стержня Х = \х1/ z_min. Это без­размерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепления его концов. Окончательно получим:

а_ер = к²Е/Х^г.

Формулу Эйлера можно применять только при выполнении ус­ловия

а_кр = п²Е/Х²<а_т,

где а_пц — предел пропорциональности материала стержня. Следова­тельно, должно быть

Х>^п²Е/а _11Ц = Х

Величину, стоящую в правой части неравенства, называют предельной гибкостью. Предельная гибкость зависит толь­ко от физико-механических свойств материала стержня.

Условие применимости формулы Эйлера можно записать так:

т.е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости.

Х>Х

®кр			Сжатие . / _ хт__.				пая Ясинского
Н Э
	0					\ -Гипербола ^ Эйлера
			Малые \		Средние X	Большие X ^

(X.S40) (40 < А. <100) (Д.2 100) РИС. 26.3

Определим значение А,_пред для низкоуглеродистой стали СтЗ, для которой <т_П11 = 200 МПа, а Е- 2-10⁵ МПа:

Х_лред = Vai4² -2 10⁵ 10⁶/(200 i0⁶) = 100.

Для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость X > 100.

Аналогично можно определить значения предельной гибкости для других материалов. В частности, для чугуна Х_пред = 80; для дере­ва (сосна) \_првд=110.

В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользу­ются эмпирической формулой Ясинского

^ кр ЬХ,

где анЬ — коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников (см., например, [7]).

В частности, для стали СтЗ при гибкостях X = 40... 100 можно принимать а = 310 МПа, Ь = 1,14 МПа. При гибкостях X < 40 стерж­ни можно рассчитывать на сжатие, т.е. по формуле

a_c = F/A

Итак, при малых значениях X (X < 40) стержни из низкоуглеро­дистой стали рассчитывают на простое сжатие; при средних (40 < < X < 100) расчет ведут по формуле Ясинского, а при больших (X > > 100) — по формуле Эйлера. График зависимости критического напряжения от гибкости для стержней из низкоуглеродистой стали изображен на рис. 26.3.

3. Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость

Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стержней — проектный, проверочный и силовой. Рассмотрим со­держание каждого из этих расчетов.

Проектный расчет. Определяют минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня по формуле

где F— действующая нагрузка; [s_yJ — допускаемый коэффициент за­паса устойчивости; ц — коэффициент приведения длины стержня;

1. — длина стержня; Е — модуль продольной упругости.

Далее находят гибкость стержня X по формуле

min.

где i_mi„ = 4I~JA-, А — площадь сечения.

Полученную гибкость сравнивают с предельной для данного ма­териала.

Проверочный расчет. Определяют действительный коэффици­ент запаса устойчивости s_y и сравнивают его с допускаемым по формуле

s_y ^F_Kp/F>[s_yl

Силовой расчет. Определяют допускаемую нагрузку [F] по фор­муле

m=F_KP/[s_y].

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие. При расчете применяют следующую формулу:

[f] = <p[o_e]A

где [<у_с] — допускаемое напряжение на сжатие; <р — коэффици­ент продольного изгиба.

Значение <р зависит от гибкости стержня, его материала и опре­деляется для сталей по табл. 26.1.

Расчеты показывают, что при продольном изгибе наиболее вы­годными являются кольцевые и коробочные тонкостенные сече­ния, имеющие относительно большой момент инерции.

Таблица26.1

X	30	50	60	80	100	120	140	160
ф	0,92	0,86	0,82	0,70	0,51	0,37	0,29	0,24
ф*	0,91	0,83	0,79	0,65	0,43	0,30	0,23	0,19

Примечание.Значения <р* относятся к сталям повышенного каче­ства (а_т£ 320 МПа).

Пример 26.1. Проверить на устойчивость стойку, изображенную на рис. 26.4, если /=3 м, [s_y] = 2, материал стойки — сталь СтЗ, F= 65 кН, d= = 60 мм.

Решение. Для заданного закрепления концов стойки ц = 1. По спра­вочнику [7] определим модуль упругости Е = 2- Ю⁵ МПа.

Проверим применимость формулы Эйлера.

Для круга

гН

/ = nd* /64; i = -JT/A; А - nd² /4,

откуда

1. = d/4 = 60-10'³/4 = 15 • 10'³ м.

Определим гибкость стойки:

X = jn//i = 1 • 3/ (15 • 10'³) = 200 >100,

следовательно, формула Эйлера применима. Вычислим критическую силу:

Г,

Рис. 26.4

п²Е1 я² • 2 • 10⁵ • 10⁶ • я • 60⁴ • 10"¹²

(1-3)²*64

• 143 10³Н = 143кН.

Определим коэффициент устойчивости: s =F /'F ~ 143/65 = 2,2 >2, следовательно, устойчивость стойки обеспечена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. БатьМ.И., ДженеридзеГ.Ю., КельзонА. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. — М.: Наука, 1984.

2. БутенинН.В., ЛунцЯ.Л., МеркинД.Р. Курс теоретической механи­ки. — М.: Наука, 1985.

3. ГернетМ.М. Курс теоретической механики. — М.: Высш. шк., 1973.

4. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. — М.: Наука, 1998. _ч

5. Никитин И. Н. Курс теоретической механики. — М.: Наука, 1990.

6. ТаргС.М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Наука, 1998.

1. Анурьев В. И. Справочник конструктора-машиностроителя: В 2-х кн. — М.: Машиностроение, 1973.

8. ДарковА.В,, ШпироГ.С. Сопротивление материалов. — М.: Высш. шк., 1975.

9. Кинасошвили Р. С. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1975.

10. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В.В. Справочник по сопро­тивлению материалов. — Киев: Наукова думка, 1975.

2. Сопротивление материалов / Г. С. Писаренко, В. А. Агарев, А. Л. Квит­ка и др. — Киев: Выща шк., 1974.

12. Сопротивление материалов / СмирновА. Ф. и др. — М.: Высш. шк., 1975.

13. СтепинП.А. Сопротивление материалов. — М.: Высш. шк., 1988.

14. ФеодосьевВ.И. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1984.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Домашние расчетно-графические работы.

Содержание, оформление и методика проведения

Для закрепления и контроля знаний и умений студентов реко­мендуется выдавать восемь индивидуальных домашних расчет­но-графических работ, четыре по теоретической механике и четыре по сопротивлению материалов.

Предлагаемая методика дает возможность преподавателю орга­низовать проведение этих работ с минимальными затратами учеб­ного времени, исключает необходимость ведения специального учета выданных вариантов, стимулирует регулярную работу всех студентов над изучаемым материалом и дает возможность накап­ливать оценки пЬ предмету.

Эта методика проверена на практике преподавателями в тече­ние нескольких лет и дала безусловно положительные результаты.

В приложении приведены универсальные (т.е. пригодные для всех вариантов) тексты заданий, имеющие все необходимые указа­ния по содержанию и оформлению каждой работы. Кроме того, да­ны образцы оформления графической части домашних работ.

Надписи на схемах необходимо выполнять чертежным шриф­том, лист оформлять рамкой и штампом.

Сущность предлагаемой методики организации и проведения домашних расчетно-графических работ заключается в следующих положениях:

1. Универсальный текст задания преподаватель не диктует сту­дентам, а они берут его из приложения.

2. Индивидуальные варианты заданий выдаются, как правило, из многовариантных задач современных задачников по предметам технической механики, причем номер варианта соответствует по­рядковому номеру студента в классном журнале, что избавляет преподавателя от необходимости ведения специального учета (не исключается возможность составления преподавателем собствен­ных таблиц с вариантами заданий).

3. Срок сдачи работы назначается в соответствии с календар­но-тематическим планом преподавателя.

4. Все задания студенты выполняют в специальной тетради для домашних расчетно-графических заданий по технической механи­ке, где преподаватель делает замечания по работе и выставляет оценку по пятибалльной системе, проведя в случае необходимости

5. дополнительный опрос. Оценка за каждую работу выставляется в специально выделенной графе классного журнала.

Задание 1

Аналитическим и графическим способом определить силы в стержнях или реакции связей заданной системы. Сравнить резуль­таты двух решений и вычислить в процентах относительную по­грешность 5 графического решения по формуле

Дф -д«

100.

6 =

Относительная погрешность не должна превышать 5 %.

На первой странице, отведенной для задания, привести его на­звание, номер варианта» текст и все данные к задаче.

Графическую часть работы выполнить карандашом на листе миллиметровой бумаги формата А4. Выбрать и указать на чертеже масштаб сил, а также привести вверху листа все данные к задаче.

Усилия в стержнях:

R_x = ad\Lf = 6,29 см • 0,5 кН/см =3,145 кН Ri=cd\LF = 0,85 см ■ 0,5 кН/см =0,425 кН

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ В СТЕРЖНЯХ Дано: С - 2 кН, а = 60°, р = 30°, У = 45°

Относительная погрешность:

5. = 0, S₂ = ^Q,4q4^4^>414 100 = 2,66 %

Рис. П. 1.1

Название задания «Определение реакций связей» или «Определе­ние сил в стержнях». Срок сдачи... (по графику).

Образец выполненной графической части задания, соответст­вующего этому тексту, приведен на рис. П.1.1.

Задание 2

Определить опорные реакции балки, нагруженной плоской сис­темой произвольно расположенных (или параллельных) сил. Пу­тем составления контрольного уравнения равновесия произвести проверку решения. На первой странице, отведенной для задания, привести его название, номер варианта, текст и все данные к задаче.

Рис. П. 1.2

Вычертить расчетную схему балки, выдерживая в примерном масштабе ее продольные размеры. Название задания «Определе­ние опорных реакций балки». Срок сдачи... (по графику).

Образец оформления графической части показан на рис. П. 1.2.

Задание 3

Определить опорные реакции пространственно нагруженного вала. Путем составления двух контрольных уравнений равновесия произвести проверку решения. На первой странице, отведенной для задания, привести его название, номер варианта, текст и все данные к задаче.

Вычертить в аксонометрической проекции расчетную схему ва­ла, выдерживая в масштабе его продольные размеры. Название за­дания «Определение реакций подшипников вала». Срок сдачи... (по графику).

Образец оформления графической части см. на рис. 7.6.

Задание 4

Определить координаты центра тяжести площади сложного се­чения, состоящего из стандартных профилей прокатных сталей.

На листе миллиметровой бумаги формата А4 в стандартном мас­штабе карандашом вычертить заданное сечение, выдерживая укло­ны, выполняя сопряжения и надписи по правилам машинострои­тельного черчения. Указать масштаб изображения. На первой стра­нице, отведенной для задания, привести его название, номер вариан­та, текст и все данные к задаче, взятые из таблиц соответствующего ГОСТа. Название задания «Определение положения центра тяже­сти площади сечения». Срок сдачи... (по графику).

Образец оформления графической части см. на рис. 8.8.

Задание 5

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определить двумя способами (с помощью эпюры продольных сил и принципа независимости действия сил) абсолютную деформацию ступенчатого бруса. Определить коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести, если материал бруса — сталь СтЗ (а_т = 240 МПа).

Графическую часть работы выполнить карандашом на листе миллиметровой бумаги формата А4, На листе привести все данные к задаче. Название задания «Расчет ступенчатого бруса». Срок сда­чи... (по графику).

Образец выполненной графической части задания, соответст­вующего этому тексту, приведен на рис. П. 1.3.

Задание 6

Для стального трансмиссионного вала требуется:

1. Определить значения вращающих моментов, подводимого к шкиву 1 и снимаемых со шкивов 2,3 и 4.

2. Построить эпюру крутящих моментов.

3. Определить требуемый диаметр вала из расчетов на проч­ность и жесткость, принимая данные значения [т_к] и [ср^З (диаметр вала считать по всей длине постоянным).

4. Определить из расчета на прочность диаметры участков сту­пенчатого вала. Окончательно принимаемые значения диаметров должны быть округлены до ближайшего большего стандартного значения.

Графическую часть работы выполнить карандашом на листе миллиметровой бумаги формата А4. Вычертить ступенчатый вал, выдерживая только масштаб диаметров, а также привести все дан-

Дано: Г1=15кН^₂ = 14кН,/₃=ЭкН, л = 0,15м, 6 = 0,5м,

Ai = 180мм², Ач = 110мм²

ные к заданию. Название чертежа «Расчет вала на кручение». Срок сдачи задания... (по графику).

Образец выполненной графической части задания, соответст­вующего этому тексту, приведен на рис. -П.1.4.

Задание 7

Для заданной стальной балки:

1. Вычертить расчетную схему и заданное сечение.

2. Построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов.

3. Вычислить момент инерции относительно оси х сечения балки.

4. Вычислить для того же сечения момент сопротивления изги- бу WV

5. Вычислить максимальное нормальное напряжение в опасном сечении балки.

Дано: Pj = 70 кВт,Р₂ = 30 кВт, Р₃ = 15 кВт₍Р₄ = 25 кВт, п - 200 мин^-*, [-^j - 20 МПа,

— ч

?-е

[<р°] - 0,3 град/м, С ~ 8-10⁴ МПа

1€-

0

©

©

= ©

1910Н-М

Эпюра М_к

1195 Нм i

1400Н-М

20 мм/см

ia

Рис. П.1.4.

6. Вычислить действительный коэффициент запаса прочности по пределу текучести а_т.

Графическую часть работы выполнить карандашом на листе миллиметровой бумаги формата А4. В левом верхнем углу приве­сти все данные к задаче. Название задания «Расчет балки на из­гиб». Срок сдачи... (по графику).

Образец выполненной графической части задания, соответст­вующего этому тексту, приведен на рис. П. 1.5.

Дано:

0,75 да Эпюра Q

3,25 да

Рис. П.1.5

771 = 3<?а²Нм F= 2ga Н, о= 2м,

8. = 16 мм, а = а_т МЩ

9. Эпюра М_п

   = Ю кН/м

Задание 8

Для стального вала постоянного сечения заданной передачи тре­буется:

1. Изобразить расчетную схему вала.

2. Построить эпюру крутящих моментов.

3. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и го­ризонтальной плоскостях.

4. Определить диаметр d вала по третьей и пятой теориям проч­ности и сравнить найденные значения, если предел текучести а_т = = 240 МПа, а допускаемый коэффициент запаса прочности [5] = 3.

Графическую часть работы выполнить карандашом на листе миллиметровой бумаги формата А4. В левом верхнем углу приве­сти все данные к задаче. Название задания «Расчет вала на изгиб и кручение». Срок сдачи... (по графику).

Образцы оформления графической части см. на рис. 24.6 и 24.7.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Программированные тренировочные карточки для подготовки к контрольным работам

В соответствии с программой дисциплины предполагается про­ведение четырех контрольных работ, две из которых — по теорети­ческой механике и две ~ по сопротивлению материалов.

Предположительно установлено, что каждая контрольная рабо­та будет состоять из пяти задач по разным вопросам программы.

Тренировочные карточки предназначены для закрепления практических умений и навыков в решении задач по следующим темам и подтемам:

Контрольная работа 1. Статика

Задача I. Система сходящихся сил.

Задачи II, III. Системы параллельных и произвольно располо­женных сил.

Задачи IV, V. Трение, пространственная система сил, центр тя­жести площади.

Контрольная работа 2. Кинематика и динамика

Задача I. Кинематика точки.

Задачи II, III. Кинематика вращательного движения тела, метод кинетостатики.

Задачи IV, V. Работа и мощность, общие теоремы динамики, ди­намика вращательного движения тела.

Контрольная работа 3. Растяжение и Сжатие

Задачи I, II. Продольные силы, напряжения.

Задачи III, IV. Закон Гука.

Задача V. Расчеты на прочность.

Контрольная работа 4. Кручение и изгиб

Задача I. Расчеты на прочность при кручении.

Задачи И, III, IV. Изгибающий момент и поперечная сила.

Задача V. Расчеты на прочность при изгибе.

Каждая тренировочная карточка содержит пять задач с двумя вариантами данных (данные варианта Б заключены в круглые скобки). Каждая задача имеет четыре ответа, один из которых яв­ляется правильным для варианта А и один — правильный для вари­анта Б.

Рекомендуется, если это возможно, решать задачи несколькими способами, например, задачу I контрольной работы 1 целесообраз­но решить тремя способами: разложением силы на две составляю­щие, а также геометрическим и аналитическим методами.

Вариант А(Б)

№

задач

Условия задач

Ответы

№

Определить силу S в стержне 1 (2) шарнир- но-стержневой системы

S ~ F/2

S = F&

Vs

S = F

S=F

S = FS

Определить силу S в стержне 1 (2) шарнир­но-стержневой системы

N = Gyf2

Определить силу давле­ния N однородного шара весом G на гладкую плос­кость АВ (ВС)

10

И

n=g4з

12

r = g42

Груз весом G подвешен на тросе 1 и оттянут в сторо­ну тросом 2. Определить натяжение R троса 1(2)

13

R = _Gf

14

R = G

15

R = G

16

S = Fj3

Определить силу S в стержне 1 (2) шарнир­но-стержневой системы

17

18

2_

S = F S = F/2

19

20

R=AF

R = F

R = 3F

R = 2F

На двух тросах горизонтально подвешен одно­родный брус, на­груженный силой 3F. Вес бруса 2F. Определить реак- цию R_a (R_r) троса

За

6

7

8

9

7. И 12

13

14

15

<7 = 2kH/m

	! _К>
2 м	1 1и
	F = 8 кН

I^е

Яд

*3.

Определить реак­цию R(m) задел­ки консольной балки

Составить урав­нение моментов относительно точки А (С)

Составить урав­нение моментов относительно точки D (В)

R = -4кН, т-2 кН-м

# = 0кН, т = 4 кН-м

Д = 2кН, m=-1 кН-м

Я = 4 кН, т = ОкН-м

F -За + R_B-2a-

• т = О

т + R_A ■ За -

-/?дД = 0

Fa - R_A • 2а + -fcm = О

-т ~ R_a • За -

• R_Ra — Q

-F-4a-R_A х х Зал- т = 0

-F ■ 5a-R_A х х4д- jЧ_яа = О

R_Ba-R_AAa- ~F Sa - О

Cl

16

17

18

19

20

R= 1 кН t .q=ЗкН/м

di/nun

2m

m = 1 kHm F=2kH

Во сколько раз нужно изменить реакцию R(m) за­делки, чтобы кон­сольная балка на­ходилась в равно­весии

Fa - R_A4a- -R_Ra+m — О

Не изменять

В 2 раза

В 4 раза

В 3 раза

^Тр [ 1 F Определить вес G гру-

шМЛйЕшй за, который силой F

равномерно перемеща­ется по шероховатой горизонтальной плос­кости, если коэффициент трения скольжения / = 0,2 (/-0,25)

G = 2F

G -5F

G = 3F

G = AF

У Составить урав- ^и нение равнове- Хя сия вала \ Y ~ 0 <£*-»

y_b+f+y_a = о

-Y_B + F + Y_B = = 0

-y_b + f-y_a = = 0

-Fa + Y_B - За = = 0

f Составить урав­нение равнове­сия вала ^М_х- 0

хв ~ (£м_х,= 0)

Y_B3a+F4a=0

10_

11

12

Fa-У.-3a = 0

Y _л ■ За + Fa = 0

13

14

15

16

17

18

19

20

Составить урав­нение равнове- ^yb сия вала £ М_у =0

Хв (2^,.- 0)

Определить по­ложение центра тяжести С площа­ди углового сече­ния (размеры в см )х_с-?(у_с-?)

А^4*-

-2F-2« = 0

■Х_А' -2F-3tf = 0

-Х_а-2 а + ^"Xg • 4в — 0

-Х_в-3д + +Х_Аа— 0

°.=^r = ci- (13-6> 20

*x=X*V 31

К„ост =X(™i^)/2=(b2/2)Xmi или К1,ост=тг>2/2- 164

■Н 168

К? = а,/Г 200

/, =Ml = Wfl = 216c„‘; 221

£М„ = 0; 254

, Ж 260

о, 265

?ин=т,й„, 288

1€- 303

Iе 308

*3. 308

Вариант А(Б)
№ задач	Условия задач	Ответы	№
1	Точка движется прямолинейно согласно уравнению s-2t3+4r (s~5f2) (s — в мет­рах, t — в секундах). Определить ускоре­ние а точки при t = 1 с	а = 16 м/с2	1
		а = 10 м/с2	2 '
		а = 14 м/с2	3
		а = 12 м/с2	4
2	Точка движется по окружности радиусом г согласно уравнению s= 2 sin3t (5 = 1 + sin8t) (s — в метрах, t — в секундах). Определить нормальное ускорение ап точки при t = 0, ес­ли г = 2 м	<2Л = 32 м/с2	5
		а„ = 36 м/с2	6
		fl ОО S	7
		ап =24 м/с2	8
3	Точка движется по окружности согласно уравнению s=12t2 (s=2t2) (s — в метрах, t — в секундах). Определить касательное ускорение ат точки при t = 1 с	ат = 36 м/с2	9
		ат = 12 м/с2	10
		= 24 м/с2	И
		дт = 18 м/с2	12
4	Точка движется по окружности радиусом г с постоянным касательным ускорением = 3 м/с2 (ат = 2 м/с2). Определить нор­мальное ускорение ап, если а0=0,£ = 2 с, г = 4 м	ап =9 м/с	13
		=4 м/с2	14
		&л =12 м/с2	15
		а„ = 6 м/с2	16
5	Точка движется по окружности радиусом г - 200 см согласно уравнению s-2t +1 (5 = 3£2) (5 — в сантиметрах, t — в секундах). В какой момент времени £ нормальное уско­рение ап достигнет значения 18 см/с12?	£ = 15 с	17
		t - Юс	18
		£ = 20с	19
		£ = 25 с	20

141702 Россия Московская оёп г. Дотжрудиый, ял Собина, 1

Phone:

Етай:

Sfer

5)4084593 Щ495ИШ109 Lrn

Долгопрудненский авиационный техникум Электронная библиотека

Козловский

Вариант А(Б)
№ задач	Условия задач	Ответы	№
1	Частота вращения f j шЛ. диска п - 90 мин”1 ! (л= 150 мин-1). Оп- "т T“'y j ределить окружную V Л скорость v, если ра- 1 диус диска г = 1,5 м ■^Г (г = 0,8 м)	v = 3,5ti м/с	1
		v = 4,5л м/с	2
		v = 5я м/с	3
		V-Ап м/с	4
2	Диск вращается со- f 1 со гласно уравнению ! \ ф = ЪпЬ рад (ф =	п -150 мин-1	5
		п = 180 мин-1	6
	\ VL / - 5я£рад). Опреде- V т' / лить частоту враще- —— ния п диска	«-120МШГ1	7
		п = 90 мин"1	8
3	Диск радиусом г - Y \ =100 см вращается / ( \ \ согласно уравнению Л Ф—3,5^-(Ф-Зг2). * V у" у\ Определить окруж- ^| v ную скорость V при t = 1с	v - 10 м/с
		v=l м/с	10
		и = 9м/с	И
		v = 12 м/с	12
4	Груз G движется д а вертикально вверх j (вниз) с ускорени- т ем а. Определить натяжение R нити, } <[> | на которой висит 1 груз. Дано: G = 500 Н, а = 3 м/с2 (принять g* 10 м/с2)	R = 350 Н	13
		R = 450 Н	14
		JR = 550 Н	15
		R = 650 Н	16
5	С какой скоростью v должен двигаться	v = 40 м/с	17
	' ГТ~1 ту автомобиль, что- -31 бы его давление на мост в верхней точ- <?т к~7 ке оказалось рав- ' ным нулю? Радиус кривизны моста г= = 90 м (г= 160 м). Принять g*= 10 м/с2	v = 20 м/с	18
		и = 30 м/с	19
		v = 10 м/с	20

Вариант А(Б)
№ задач	Условия задач			Ответы		№
1	щ S . Определить рабо­			W = 40>/3 Дж		1
	ту W силы F, пере- Jмешающей груз %У30° прямолинейно на расстояние s = 6 м F- 30 Н (F= 20 Н) (5-4м)			W = 90Дж		2
				W = 90л/3 Дж		3
				W = 4 Дж		4
2	7>- / V"	К диску, вращающе- -U^\ муся вокруг своей _ оси с частотой вра- \ шения п-180 мин-1.	Р ~ 60л Вт		5
			Р ~ 105л Вт		6
	Y \ 1 Г приложен момент Т= \\У =10 Нм (Г= 15 Нм). Определить мощ­ность Р момента Г			Р = 75л Вт		7
				Р » 90тг Вт		8
3	дtj Тяжелое тело опуска- ется по идеально глад- 1 кой плоскости, накло- ■ с! ненной к горизонту щяяшт^ под углом 30°. Опре- х делить скорость о, ко­торую приобретает тело через время t по­сле начала движения. Дано: t - 4 с (t - = 3 с). Принять t>0 = 0, g = 10 м/с2			v = 30 м/с		9
				v - 20 м/с		10
				v — 25 м/с *		11
				г> = 15м/с		12
4	Тяжелое тело спус­кается с высоты h по идеально глад- рч. кой плоскости. Оп- *1 v ределить скорость v | NvNv в нижнем положе- йввявивввягС^ НИИ. Дано: h = 5u(h~ = 3,2 м). Принять у0 = 0, g - 10 м/с2			> v = 10 м/с		13
				0 = 6 м/с		14
				а = 15 м/с		15
				v = 8 м/с		16
5		j Однородный сплошной диск ра- диусом г и массой тп "Ч \ вращается с угло-	Т = 4,8 Нм		17
			Т -3,2 Н м		18
	у\	Г вым ускорением ОС “ J =2 рад/с . Опреде- —/ лить вращающий мо­мент, если m = 10 кг, г-0,8 м (г = 0,6 м)	Т = 3,6 Нм		19
			Г = 6,4 Нм		20

КАРТОЧКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 3

Карточка 7 к задачам I, II, III, IV

Вариант А(Б)
№ задач	Условия задач				Ответы	№
1	'Д				Nm „ = 8 кН	1
	1		5 А ^
	* 2 А} '		dl М/	Nm[a = 6 кН		2
	Путем построения эпюры определить мак­симальную продольную силу Nmm (по аб­солютному значению). Дано: F{ - 5 кН, F2 - = 8кН (Д> = 6кН)				^тах = 5 КН	3
					=“ЗкН	4
2	В условиях предыдущей задачи, построив эпюру, определить максимальное напря­жение ат1Х в поперечном сечении (по абсо­лютному Значению). Дано: А == 100 мм2				= 35 МПа	5
					-30 МПа	6
					^тах = -20 МПа	7 -
					<*тах =25 МПа	8
3	• 1 % Стержень д	Х-»			о = 50 МПа	9
		т 1 , линой 1 удлинился на Д/. Поль-			о = 60 МПа	10
	зуясь законом Гука, определить напряже­ние о в поперечном сечении. Дано: Д/ = = 0,25 мм, /= 1000 мм (/= 1250 мм), матери­ал — сталь, Е-2* 105 МПа				ст =■ 30 МПа	И
					a = 40 МПа	12
4	В условиях предыдущей задачи опреде­лить площадь А поперечного сечения стержня, если F= 4 кН				А ~ 90 мм2	13
					А = 80 мм2	14
					А = 100 мм2	15
					А — 70 мм2	16
5	Стержень длиной 1 - 800 мм (1 = 1000 мм) удлинился на величину Д/ - 0,8 мм. Опре­делить относительное поперечное суже­ние е' стержня, если коэффициент Пуассо­на v = 0,25				£' = 003%	17
					е' = 0Д2 %	18
					е' = 0j025 %	19
					е' = 0Д15%	20

Ответы

№

тг

е = 03%

I-

т

е=0Д%

е = 02 %

Напряжение а в поперечном сечении стержня известно. Пользуясь законом Гу­ка, определить относительное удлине­ние е. Дано: <у = 20 МПа (а = 30 МПа), ма­териал — текстолит, Е = 0,1 10⁵ МПа

ДI = 3,6 мм

ДI ~ 3,2 мм

Ы = 2,4 мм

В условиях предыдущей задачи опреде­лить абсолютное удлинение Д/ стержня, если его длина 1= 1,2 м

AI 2,8 мм

%		1 F
S	; —

А = 250 мм

А = 200 мм

Определить минимальную площадь А по­перечного сечения стержня из хрупкого ма­териала, растягиваемого силой F = 12 кН, если предел прочности а_в = 240 МПа и до­пускаемый коэффициент запаса прочности M=4([s] = 3)

10

А = 100 мм^

11

А -150 мм"

12

32 кН

13

Определить допускаемое значение си­лы т, растягивающей стержень из пла­стичного материала, если площадь попе­речного сечения А - 300 мм², допускаемый коэффициент запаса прочности [s] = 2, пре­дел текучести о_т = 280 МПа (о_т = 240 МПа)

[F] = 46 кН

14

[F] = 36 кН

15

[F] = 42 кН

16

4-

5 = 2

17

~А}

Стержень из пластичного материала рас­тягивается силой F = 32 кН (F = 24 кН). Определить действительный коэффици­ент запаса прочности 5, если площадь по­перечного сечения А = 200 мм² и предел те­кучести 0_Т = 240 МПа

5=1,8

18

5 = 1,3

19

5= 1,5

20