Глава 25

ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

1. Сопротивление усталости материалов

Ранее было установлено, что динамические нагрузки подразде­ляются на повторно-переменные, ударные, внезапно приложенные и инерционные.

В этом подразделе рассматриваются повторно-переменные на­грузки, которые вызывают в деталях машин периодически изме­няющиеся напряжения и деформации. Сопротивление деталей действию таких нагрузок существенно отличается от их сопротив­ления при статическом нагружении.

Повторно-переменным нагрузкам подвергаются, например, вра­щающиеся оси, валы, зубчатые колеса и т.п. При вращении вала од­ни и те же волокна оказываются то в растянутой, то в сжатой зоне, т.е. подвергаются деформациям растяжения—сжатия.

Анализ поломок деталей машин показывает, что материалы длительное время подвергавшиеся действию переменных нагру­зок, могут разрушаться при напряжениях более низких, чем предел прочности и даже предел текучести. Разрушение при этом проис­ходит вследствие усталости материала.

Дальнейшее изложение материала ведется в соответствии с ГОСТ 23207—78 «Сопротивление усталости. Основные термины,

° ^ТПЪ^ ^flTj—ч определения и обозначения». Ис- ГРц^П пользуем стандартное определение

о luli.tM.lLliL _f усталости.

Период Время Усталостью называется процесс

р ^ постепенного накопления повреждений

^ис' материала под действием переменных

напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению.

Причины усталостного разрушения заключаются в появлении микротрещин из-за неоднородности строения материала, следов механической обработки и повреждений поверхности детали (во­лосовины, раковины, газовые и шлаковые включения, следы резца или шлифовального камня и т.п.), а также в результате концентра­ции напряжений, о чем будет идти речь в следующем подразделе.

Способность материалов противостоять усталости называется сопротивлением усталости. Изучение этого вопроса име­ет очень большое значение, поскольку такие ответственные детали, как валы, поршневые пальцы, оси железнодорожных вагонов, и многие другие выходят из строя в результате усталости.

Введем основные стандартные понятия, необходимые в даль­нейшем.

Циклом напряжений называется совокупность всех зна­чений напряжений за период их изменения (рис. 25.1). Перио­дом цикла Т называется продолжительность одного цикла.

Цикл напряжений (рис. 25.2) характеризуется следующими па­раметрами:

1. максимальное напряжение а_тах;

2. минимальное напряжение c_min;

3. среднее напряжение <г_т = ^gma* *^gmin;

4. амплитуда цикла G_a =

5. коэффициент асимметрии циклаЯ_с = °^тт .

® шах

Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии, назы­ваются подобными.

В случае равенства а_тах и a_min по абсолютной величине имеем симметричный цикл напряжений (см. рис. 25.2, б), при кото­ром с_т = 0, с_а - ± G_y R_a = ~ 1.

Цикл напряжений, изображенный на рис. 25.2, а, является при­мером асимметричного знакопеременного цикла.

На рис. 25.2, в показан отнулевой цикл напряжений, для которо­го R_c=0, так как a_min = 0.

а

О

Асимметричный

цикл

Т

Т

а

ст

а

в

Отнулевой

С цикл

б

Симмет­

ричный

цикл

В случае действия касательных напряжений необходимо в обо­значениях и формулах заменить с на т.

Число циклов напряжений до начала усталостного разрушения называется циклической долговечностью и обозначае-

тся N.

Максимальное по абсолютному значению напряжение цикла, при котором материал может сопротивляться усталости при задан­ной циклической долговечности, называется пределом вы­носливости.

Предел выносливости для нормальных напряжений при сим­метричном цикле обозначают <r__lf при отнулевом цикле — а₀, при цикле с коэффициентом асимметрии R_e — a_R.

Для определения предела выносливости производят испытания образцов на усталость на специальных машинах. Наибольшее рас­пространение имеют испытания на усталость при изгибе и симмет­ричном цикле напряжений. Предварительно устанавливаемая наи­большая продолжительность испытаний называется базой ис­пытаний, обычно задаваемая числом циклов, обозначаемым N₀. Для стали JV₀ = 5 млн циклов.

Для испытания на усталость изготовляют серию одинаковых тщательно отполированных образцов, имеющих в рабочей части ци­линдрическую форму диаметром 5... 10 мм. Образцы доводят до раз­рушения при различной нагрузке и напряжениях, устанавливая при этом циклическую долговечность образца. По полученным данным строят кривую усталости (рис. 25.3). На кривой усталости имеется участок, стремящийся к горизонтальной асимптоте. Орди­ната этой асимптоты и дает значение предела выносливости а_л.

Опыт показывает, что стальной образец, выдержавший 5 млн циклов, может выдержать и неограниченное число циклов. Экспе­риментально установлено, что при любом асимметричном цикле предел выносливости для того же материала буде выше, чем при

симметричном цикле. Это означает, что симметричный цикл является наиболее опасным.

Для цветных металлов предел вы­носливости определяют при базе ис­пытаний N_c ~ 10⁷ и более циклов.

Величина предела выносливости зависит от вида деформации. Испы-

ю⁴ N ю⁵ io⁶ ю^{7 N} тания на усталость при растяже­нии—сжатий и кручении проводятся Рис. 25.3 реже, поэтому пределы выносливости

при растяжении а.._1р и кручении определяют из эмпирических формул по известному пределу вы­носливости о_( при симметричном цикле изгиба:

^а-1_Р =(0,7-.-0,9)0^; ~0^8<y_j.

Пределы выносливости для симметричного цикла изгиба могут быть вычислены с помощью характеристик статической прочности (например, временного сопротивления а_в) по следующим эмпири­ческим соотношениям:

для углеродистой стали

с_! = (\43о_в;

для легированной стали

= 0,35а_в + 120 МПа;

для серого чугуна

~0,45<т_в.

—■ При расчетах деталей, не предназначенных для'длительной экс­плуатации, вместо предела выносливости учитывается предел ограниченной выносливости а_длг — максимальное по аб­солютному значению напряжение цикла, соответствующее зада­ваемой циклической долговечности N (см. рис. 25.3).

2. Влияние факторов на предел выносливости

Предел выносливости конкретной детали конструкции зави­сит от ряда факторов, главные из которых — концентрация напря­жений, масштабный фактор (размеры детали) и состояние по­верхности детали (шероховатость и поверхностное упрочнение).

Влияние концентрации напряжений. Концентрацией на­пряжений называется повышение напряжений в местах изме­нений формы или нарушений сплошности материала. Напряже­ния, вычисленные по формулам сопротивления материалов без учета концентрации, называются номинальными напря­жениями.

Резкое изменение формы или площа­ди поперечного сечения деталей (нали­чие отверстий, выточек, галтелей, кана­вок, надрезов и т.п.) приводит к нерав­номерному распределению напряже­ний, т.е. вызывают концентрацию на­пряжений. Причина, вызывающая кон­центрацию напряжений (отверстие, вы­точка), называется концентрато­ром напряжений.

Рис. 25.4

Г,

Рассмотрим стальную полоску, рас­тягиваемую силой F (рис. 25.4). В по­перечном сечении площадью Л полосы действует продольная сила N-F.

Номинальное напряжение равно

с = f/А

Концентрация напряжений имеет местный характер, поскольку с удалением от концентратора напряжения быстро падают, при­ближаясь к своим номинальным значениям. График распределе­ния напряжений возле концентратора показан на рис. 25.4 (иногда их называют местными напряжениями).

Явление концентрации напряжений легко понять с помощью так называемой гидродинамической аналогии. Теоре­тическими и экспериментальными исследованиями доказано сход­ство между распределением напряжений в деталях и скоростями и направлениями отдельных струй потока воды, протекающего по трубе, имеющей форму исследуемой детали. В прямой трубе посто­янного поперечного сечения скорость потока во всех точках сече­ний одинакова; постоянными остаются и напряжения во всех точ­ках сечения прямого бруса постоянного сечения.

Любое изменение поперечного сечения будет являться препят­ствием для потока. При сужении трубы скорость потока увеличи­вается, а при расширении — уменьшается. Аналогичным образом напряжение в сечениях прямого бруса увеличивается или умень­шается при изменении размеров и формы сечения.

С количественной стороны концентрацию напряжений характе­ризует теоретический коэффициент концентрации напряжений К_Т. Коэффициент К_тс равен отношению наиболь­шего местного напряжения а_тах к номинальному напряжению а:

*10= От»/"-

В случае концентрации касательных напряжений по аналогии принимают

•^"тт — ^ шах /^'

Иногда теоретический коэффициент концентрации напряже­ний обозначают а_а и а,.

Концентрация напряжений по-разному влияет на прочность пластичных и хрупких материалов. Существенное значение при этом имеет и характер нагрузки. Если взять пластичный материал, нагруженный статически, то при увеличении нагрузки рост наи­больших местных напряжений при достижении предела текучести приостанавливается вследствие местной текучести материала, и произойдет выравнивание напряжения по сечению. Отсюда можно сделать вывод, что при статической нагрузке пластичные материа­лы малочувствительны к концентрации напряжений.

При нагрузках, быстро изменяющихся во времени, выравнива­ние напряжений произойти не успевает, поэтому концентрацию напряжений необходимо учитывать и для пластичных материалов.

При расчетах на прочность деталей из хрупких материалов кон­центрацию напряжений необходимо учитывать и при статической нагрузке, поскольку неравномерность распределения напряжений вследствие их концентрации сохраняется на всех стадиях нагруже­ния.

Теоретический коэффициент концентрации К_т отражает влия­ние концентратора напряжений в условиях, далеких от разруше­ния детали, поэтому вводится понятие эффективного коэффици­ента концентрации напряжений, обозначаемого К_а или K_t.

Эффективным коэффициентом концентрации напряжений называется отношение предела выносливости об­разца без концентрации напряжений к пределу выносливости o__tK образцов с концентрацией напряжений, имеющих такие же абсо­лютные размеры, как и гладкие образцы:

K_a=a__t/a__unK_r =т.₁/т__1|Е.

Сравнение показывает, что эффективный коэффициент концен­трации всегда меньше теоретического.

Для стальных валов при с_в < 800 МПа принимают К_с = 1,4... 2,5.

Влияние абсолютных размеров детали. На основании опытов установлено, что предел выносливости зависит от абсолютных раз­меров поперечного сечения образца: с увеличением размеров сече­ния предел выносливости уменьшается. Эта закономерность объ­ясняется тем, что с увеличением объема материала возрастает ве­роятность наличия в нем неоднородностей строения и нарушений сплошности, что приводит к появлению очагов концентрации на­пряжений.

Влияние абсолютных размеров детали учитывается введением в расчетные формулы соответствующего коэффициента.

Коэффициентом влияния абсолютных разме­ров поперечного сечения K_d называется отношение преде­

л а выносливости гладких образцов диаметра d к пределу выносли­вости гладких образцов стандартных размеров:

Для стальных валов ^=0,52... 0,95.

Влияние состояния поверхности детали. На предел выносли­вости влияют шероховатость поверхности детали и поверхностное упрочнение.

С увеличением шероховатости поверхности предел выносливо­сти понижается, что учитывается введением в расчетные формулы коэффициента влияния шероховатости поверхности K_F.

Коэффициентом влияния шероховатости по­верхности называется отношение предела выносливости об­разцов с данной шероховатостью поверхности к пределу выносли­вости гладкого стандартного образца.

Значения этого коэффициента лежат в пределах

iC_F= 0,45 ...1,0.

Для повышения сопротивления усталости широко применяются различные способу упрочнения поверхностей деталей, например поверхностная закалка, химико-термическая обработка, обкатка ро­ликами, дробеструйная обработка и др. Отношение предела вынос­ливости упрочненных образцов к пределу выносливости неупроч- ненных образцов называется коэффициентом влияния поверхностного упрочнения и обозначается K_v. Обычно /^ = 1,1 ...2,8.

Общий коэффициент снижения предела вынос­ливости обозначается К и определяется по формуле

А “ .

3. Расчеты на сопротивление усталости

Расчеты на сопротивление усталости (или упрощенно — расче­ты на усталость) имеют в технике очень большое значение. На усталость при изгибе рассчитывают валы и вращающиеся оси, на контактную усталость и изгиб рассчитывают зубья зубчатых пере­дач, катки фрикционных передач и многие другие детали. Потеря работоспособности и поломки деталей конструкций нередко про­исходят из-за усталости материала.

Расчеты на усталость нередко выполняются как провероч­ны е. В результате получают фактические коэффициенты запаса прочности s, которые сравнивают с допускаемыми для данной кон­струкции коэффициентами запаса прочности [sj по условию:

Обычно для деталей [s] = 1,3 ...3 и более в зависимости от вида и назначения детали.

^St Кт'’

При симметричном цикле изменения напряжений коэффици­ент запаса прочности определяют по следующим формулам: для растяжения (сжатия)

для кручения

для изгиба

-1

=

Kct'

где сит — номинальные значения максимальных нормальных и ка­сательных напряжений;К — коэффициент снижения пре­дела выносливости.

При работе деталей в условиях асимметричного цикла коэффи­циенты запаса прочности определяют по формулам Серенсе- на—Кинасошвили:

где о_а и о_т (х_а и т_т) — амплитуда и среднее напряжений цикла; и \j/_T — коэффициенты чувствительности к асимметрии цикла, опреде­ляемые по формулам:

=(2o_i-ст₀)/а₀; у_т={2х_₁-tJ)/t₀,

где и о₀ (т_j и т₀ ) — пределы выносливости при симметричном и отнулевом циклах.

Ранее было установлено, что при прочих равных условиях пре­дел выносливости при симметричном цикле ниже, чем при асим­метричном, т.е. симметричный цикл является наиболее опасным. Поэтому при очень точных и ответственных расчетах применяют формулы Серенсена—Кинасошвили. При упрощенных расчетах можно полагать, что нормальные и касательные напряжения изме­няются по симметричному циклу. Это дает небольшое отклонение от точного расчета в сторону увеличения запаса прочности.

В случае сложного сопротивления (изгиб и кручение, кручение и растяжение или сжатие), т.е. при упрощенном плоском напря­женном состоянии, общий коэффициент запаса прочности s опре­деляют из выражения

где s_c — коэффициент запаса прочности по нормальным напряже­ниям; s_T — коэффициент запаса прочности по касательным напря­жениям.

Формулы для определения были приведены ранее.

4. Сопротивление материалов при инерционной я ударной

нагрузке

Расчеты при инерционной нагрузке. Расчеты с учетом инерци­онных нагрузок ведутся известным из теоретической механики ме­тодом кинетостатики, основанном на принципе Д’Аламбера. Со­гласно этому принципу все активные и реактивные силы, прило­женные к телу, вместе с силами инерции образуют систему взаим­но уравновешенных сил, удовлетворяющую всем условиям равно­весия. Таким образом, задачи динамики и сопромата решаются ме­тодами статики.

В качестве примера рассмотрим расчет тонкостенного кольца, равномерно вращающегося в своей плоскости с угловой скоростью со (рис. 25.5, а). ^Полученная в результате расчета формула напря^ жений используется при расчете ободов маховиков и напряжений в ремнях ременных передач.

При равномерном вращении нормальное ускорение любой точки кольца а_п = v²/R = м²R, где v — окружная скорость, R — средний ра­диус кольца. Касательное ускорение а_% = О, так как со = const.

Применяя принцип Д’Аламбера, прило­жим к каждому элементу кольца центро­бежную силу инерции. Эти силы распреде­лены равномерно по окружности кольца и направлены по радиусу от центра. На еди­ницу длины окружности кольца приходит­ся сила инерции

?^ин=т,й„,

где т₁ = рЛ — масса единицы дуги кольца;

А — площадь поперечного сечения; р — плотность материала кольца.

Подставляя выражения для т₁ и а_п, по­лучим

д^ии ^рЛ^/^-

289

Определим внутренние силы, возникаю­щие в поперечных сечениях кольца, для че­го рассечем его по диаметру и рассмотрим равновесие оставленной части (рис. 25.5, б).

10 Эрдеди

Поскольку кольцо тонкое, то можно предположить, что нор­мальные напряжения распределены по его поперечному сечению равномерно, следовательно, кольцо работает на растяжение.

Определим продольные силы N, возникающие в поперечных се- чениях. Для этого спроецируем все силы, действующие на полу­кольцо на ось у. На элемент кольца, соответствующий элементар­ному центральному углу d<p, приходится элементарная сила инер­ции d , равная

dF™=q^mR аф.

Проекция этой силы на ось у равна произведению di⁷™ cos (р. По­скольку каждая из элементарных сил инерции направлена по ра­диусу и, следовательно, наклонена к оси у под разными углами, не­обходимо составлять уравнения равновесия в интегральной форме (угол (р изменяется от -п/2 до +к /2):

л/2

^У = 0; fpAv²cosфdф-2iV = 0,

-л/2

N = pAv².

л/2

-л/2

откуда

или

Определим нормальное напряжение в поперечном сечении кольца:

а - N/А = рAv² /А - pv².

Отметим, что напряжения не зависят от площади поперечного сечения кольца и пропорциональны квадрату окружной скорости. Запишем условие прочности:

а = ра²<[с_р],

откуда определим допускаемую окружную скорость:

Вычислим допускаемую окружную скорость, если кольцо изго­товлено из стали плотностью р = 0,8-10⁴ кг/м³, допускаемое напря­жение при растяжении [а_р] = 160 МПа. Тогда

M = V[^(Jp]/P⁼V¹⁶0 ¹0⁶/(0,8-10⁴) = 140m/c.

Расчеты при ударной нагрузке. Ударом называется сово­купность явлений, возникающих при столкновении двух твердых тел. Удар может быть упругим и неупругим; в последнем случае ударяющее тело не отскакивает от ударяемой упругой сис­темы, а продолжает двигаться вместе с ней. При ударе за очень ма­лый промежуток времени (доли секунды) происходит резкое из­менение относительной скорости соударяющихся тел, в результа­те чего возникают значительные ударные, или мгновенные, силы.

Ударные нагрузки имеют в технике широкое применение, на­пример при ковке, штамповке и чеканке металла, забивке косты­лей, гвоздей и свай, в вибротехнике. Сопротивление материалов при ударной нагрузке существенно отличается от поведения мате­риала при статическом нагружении.

При рассмотрении примера действия ударной нагрузки будем считать, что напряжения не превышают предел пропорционально­сти, т.е. подчиняются закону Гука, а удар будем полагать абсолют­но неупругим.

Рассмотрим напряжения и деформации при осевом ударе стержня постоянного сечейия (рис. 25.6).

(см. гл. 19).

так как U =

N²! _ А1²ЕА

2. ЕА ~ 21

Здесь Е — модуль упругости материала стержня; Д/_д — его дина­мическое удлинение; А — площадь поперечного сечения стержня. Полученное выражение перепишем так:

Груз G падает с высоты h на недеформирующийся диск, укреп* ленный на конце стержня длиной /. Работа, производимая грузом G при падениу, равна потенциальной энергии Uдеформации стержня:

(второй корень не определяется, так как он дает отрицательное зна­чение для Д/д ).

Выражение для Д/_д преобразуем к виду

Д/_д =Д/_ст(1₊₁/1+2Л/Д/„).

Введем обозначение

k_a =\+^J\+2h / Д/_ст,

где &_л — коэффициент динамичности.

Тогда

Д/д Лд Д/_ст,

т.е. наибольшее перемещение, вызываемое действием ударной на­грузки, равно произведению коэффициента динамичности на пере­мещение от статической нагрузки (в данном случае силы тяжести падающего груза).

На основании линейной зависимости (по закону Гука) между силами и перемещениями можно записать

где <у_д — динамическое напряжение.

Определение перемещений и напряжений при ударе сводится, таким образом, к определению перемещений и напряжений, вы­званных статически приложенной силой, равной силе тяжести па­дающего груза, и вычислению коэффициента динамичности.

Заметим, что полученные формулы верны как для случая про­дольного (осевого) удара по стержню, так и для случая поперечно­го удара по балке.

Рассмотрим случай внезапного приложения нагрузки, что рав­носильно действию груза, падающего с высоты h - 0. Тогда из формулы для определения коэффициента динамичности следует, что k_a = 2 , вследствие чего получаем Д/_д = 2Д/_СТ иа_д = 2а_ст, т.е. пере­мещения и напряжения в результате действия внезапно прило­женной силы вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.

Из формулы для определения коэффициента динамичности видно, что с увеличением Д/_ст (т. е. уменьшением жесткости стерж­ня) k_R уменьшается. Поэтому в технике для смягчения ударов при­меняют пружины и рессоры — детали, имеющие малую жесткость (большую податливость).