Глава 11 сложное движение точки 11.1.

Понятие о сложном движении точки

До сих пор рассматривалось движение точки по отношению к одной системе координат, которую полагали неподвижной. В мире все находится в непрерывном движении, и неподвижная система координат в действительности не существует. Поэтому нередко возникает необходимость рассматривать движение точек одновре­менно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых ус­ловно считается неподвижной, а вторая определенным образом движется по отношению к первой. Движение точки в этом случае называется сложным.

Движение точки по отношению к неподвижной системе коорди­нат называется абсолютным. Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным. Движение подвижной системы координат по отношению к непод­вижной называется переносным.

Абсолютное движение точки является сложным и состоит из от­носительного и переносного движений.

Поясним изложенное с помощью рис. 11.1.

Пусть хОу — подвижная система координат, перемещающаяся в плоскости чертежа равномерно поступательно вдоль оси х; точка А равномерно перемещается вверх по оси у. Если будет совершаться только относительное движение, то точка перейдет из положения А в положение A j. Если будет совершаться только переносное движе­ние, то точка из положения А попадет в положение А₂. Если же од­новременно совершаются и относительное и переносное движения, то точка за этот же промежуток времени перейдет из положения А в положение А_ъ.

движение ~q> _х

Рис. 11.1

То

Пользуясь определением переносного и относительного движе­ний, а также рассмотренным выше примером, можно указать на следующий метод изучения этих движений. Если необходимо изу­чить относительное движение точки, то следует мысленно остано­вить переносное движение, если необходимо изучить переносное движение точки, то следует мысленно остановить относительное движение.

Пример 11.1. Стержень О А вращается вокруг оси О в плоскости ри­сунка по закону (р = bt; по стержню движется точка М по закону ОМ - at. Найти траекторию абсолютного движения точки М (рис. 11.2).

Решение. Выберем неподвижную систему координат хОу и подвиж­ную систему x_xOy_v неизменно связанную со стержнем ОА. В этом случае переносным движением будет вращение подвижных осей вместе с мыс­ленно закрепленной на них в каждый момент точкой М вокруг точки О, а относительным — движение точки М вдоль стержня.

Уравнение переносного вращательного движения запишем так:

9 = bt.

Уравнение относительного движения имеет вид

х_х - ОМ - at.

Определим уравнение абсолютного движения точки в координатной форме, для чего координаты х и у в неподвижной системе отсчета хОу выразим как функции времени L

Из рис. 11.2 имеем:

х = ОВ = ОМ cos ф; у = ВМ = ОМ этф

или, подставляя значения ф и ОМ, получим:

д: = atcosbt', у = atsinbt.

Чтобы определить уравнение траектории абсолютного движения точ­ки, исключим из уравнений движения время t, для чего разделим второе уравнение на первое:

у at sin bt х

= tg bt,

откуда

atcosbtКроме того, возведя уравнения движения в квадрат и сложив их, полу чим

x¹+yⁱ~a²t²; x* + rf = ^arctg²^.

b x

Таково уравнение траектории абсолютного движения точки М. Эта траектория есть архимедова спираль.

2. Теорема о сложении скоростей

Скорость точки в абсолютном движении называется абсо­лютной. Скорость точки в относительном движении называется относительной. Скорость рассматриваемой точки, мысленно закрепленной в данный момент на подвижной системе координат, называется переносной. Связь между этими скоростями уста­навливает теорема о сложении скоростей.

Теорема. Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Пусть за время At точка перешла из положения А в положение Л₃, двигаясь по траектории абсолютного движения, т.е. по дуге АА_Ъ (рис. 11.3). Если бы имело место только относительное движение, то точка перешла бы в положение A _t; если бы только переносное, то точка перешла бы в положение А₂. Можно представить, что точка А перешла в положение А₃, двигаясь сначала только по траектории переносного движения (дуга ЛЛ₂), а затем только по траектории от­носительного движения (дуга ₃, равная дуге АА_Х).

Соединив точки А, Л₂ и А₃ хордами, получим следующую зави­симость между векторами перемещений точки А:

Разделим все члены равенства на At и перейдем к пределу при At, стремящемся к нулю:

Д/—>0 At А£—ъО At. Д(~»0 A t

что дает

где v — вектор абсолютной скоро­сти; v_e — вектор переносной ско­рости; v_T — вектор относительной скорости.

Теорема доказана.

Пример 11.2. Стержень О А (рис. 11.4) вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки

О по закону <р = t¹. По стержню равноускоренно движется ползун М, удаляясь от точки О. Дви­жение ползуна определяется уравнением

s-OM~2+2t²,

где s — в метрах, t — в секундах. Найти абсо­лютную скорость ползуна в момент t ~ 1 с.

Решение, Выберем неподвижную систе­му координат хОу; подвижной системой будем считать стержень. В этом случае относитель­ным движением является движение ползуна М

по стержню. Следовательно, относительная скорость направлена вдоль стержня и равна

ds л*

^v' ⁼ 7t^=it-

В момент t - 1с относительная скорость по модулю будет равна v_rX = 4 м/с.

Переносным движением является вращательное движение стержня ОА с мысленно закрепленным на нем в данный момент ползуном, поэто­му переносная скорость v_e ползуна направлена перпендикулярно стерж­ню, причем ее значение определяется по формуле

= оЮМ = ^ ОМ. ^е d£

Так как ОМ = s= 2+21², а “ = 2£,то v, = 2t(2 + 2t²).

dt

Полагая t = 1 с, получим v_ei =8 м/с.

Так как относительная и переносная скорости взаимно-перпендику­лярны, а на основании теоремы о сложении скоростей v - v_r + v_c, то

V = ^T?_r+T?_e.

Подставляя значения скоростей при t- 1с, получим ^{v = + =} V4² +8² = 8,94 м/с.