Глава 22 кручение

1. Понятие о кручении круглого цилиндра

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент.

Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плос­костях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими или скручиваю­щими. Вращающий момент обозначается Т.

Так как на кручение работают валы, обычно имеющие круглое или кольцевое сечение, то рассмотрим кручение круглого цилинд­ра (рис. 22.1).

Изготовим из резины (для большей наглядности) прямой кру­говой цилиндрический брус и жестко защемим один его конец; на­несем на его поверхности сетку линий, состоящую из образующих и окружностей, а затем приложим к свободному концу бруса пару сил, действующую в плоскости, перпендикулярной оси, т.е. под­вергнем брус деформации кручения. При этом:

1. ось цилиндра, называемая осью кручения, останется прямолинейной;

2. диаметры окружностей, нанесенных на поверхности цилинд­ра до деформации, при деформации останутся такими же, и рас­стояние между окружностями не изменится;

3. образующие цилиндра обратятся в винтовые линии.

Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилинд­ра справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми. Так как в поперечных сечениях бру­са нет продольных сил, то рас­стояния между сечениями не из­меняются.

225

Из сказанного выше следует, что деформация кручения круг­лого цилиндра заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы по­ворота их прямо пропорцио­нальны расстояниям от закреп­ленного сечения. Угол поворота сечения равен углу закручива- р_ис> 22.1

8. Эрдеди

9. ния части цилиндра, заключенной между данным сечением и за­делкой. Угол (р поворота концевого сечения называется полн ым углом закручивания цилиндра.

Относительным углом закручивания <р₀ называет­ся отношение угла закручивания ф_г к расстоянию z от данного сече­ния до заделки. Если брус длиной I имеет постоянное сечение и на­гружен скручивающим моментом на конце (т.е. состоит из одного участка), то

ф₀ = ф₂ /z =(р// = const.

Рассматривая тонкий слой материала на поверхности бруса, ог­раниченный любой ячейкой сетки (например, ячейкой kncd на рис. 22.1), видим, что эта ячейка при деформации перекашивается, принимая положение knc^d_v

Аналогичную картину мы наблюдали при изучении деформа­ции сдвига.

На этом основании заключаем, что при кручении также возника­ет деформация сдвига, но не за счет поступательного, а в результате вращательного движения одного поперечного сечения относитель­но другого. Следовательно, при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы, обра­зующие крутящий момент.

Крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в попереч­ном сечении.

2. Эпюры крутящих моментов

Для наглядного изображения распределения ^крутящих момен­тов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов.

Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечений. Так как равномерно вращающийся вал, как и не­подвижный брус, находится в равновесии, то очевидно, что внут­ренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравно­вешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда следует, что крутящий момент в любом попе­речном сечении численно равен алгебраической сумме внешних мо­ментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное попереч­ное сечение, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Крутящий момент полагаем положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар, прило­женных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот.

Пользуясь принципом смягченных граничных условий, будем полагать, что в поперечном сечении, где приложен вращающий мо­мент, значения крутящего момента меняются скачкообразно.

Пример 22.1. Для трансмиссионного вала (силовую передачу иногда называют трансмиссией), представленного на рис. 22.2, построить эпюры крутящих моментов. Вращающие моменты на шкивах равны: T_t = 600 Н м, Т₂ - 180 Н м, Т_ъ = 300 Н м, Т_А - 120 Н м. Индексом 1 обозначен ведущий шкив передачи.

Решение. Данный трансмиссионный вал состоит из пяти участков. Пользуясь методом сечений, определим внутренние силовые факторы на участках — крутящие моменты М_к. На первом и пятом участках крутящие моменты равны нулю, так как на этих участках вращающие моменты не приложены.

На втором участке

М_К2 = 7; =600 Нм;

на третьем участке

К₃ =Т_{-Т₂ = 600-180-420 Нм;

на четвертом участке

^Мк_А = ^Г1 - ^т2 - ^т$ = 600-180-300 -120 Н м.

Строим эпюру крутящих моментов, как показано на рис. 22.2, а.

lJ л

п=П^

i©

-Э=«9

© !©

@

©

420 Н М

■!TTri

^12QIt^M

бао н-м

I

I

I

Эпюра М_к Ь *

Заметим, что «скачок» на эпюре крутящих моментов всегда численно равен значению вращающего момента, приложенного в рассматриваемом сечении.

Из эпюры видно, что наибольший крутящий момент будет на втором участке:

К max =600 Н м.

Рациональным размещением шкивов можно добиться уменьшения значения М_{к тах}. На рис. 22.2, б изображена другая схема расположения

шкивов и соответствующая эпюра Л/_к, из которой видно, что значение крутящего момента М_кшх = 300 Н м, т.е. в два раза меньше, чем в первом

случае. Такое расположение шкивов позволяет передавать заданные мощности с помощью вала меньшего диаметра.

3. Напряжения и деформации при кручении

Представим себе, что прямой круговой цилиндр, подвергаемый деформации кручения, состоит из бесконечно большого количест­ва волокон, параллельных оси. Полагаем, что при кручении спра­ведлива гипотеза о ненадавливании волокон.

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естест­венно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения т, перпендикулярные радиусу, со­единяющему эти точки с осью кручения. Существование нормаль­ных напряжений в продольном сечении исключено, так как спра­ведлива гипотеза о ненадавливании волокон; нормальные напря­жения в поперечном сечении не возникают, так как нет продольной силы.

На рис. 22.1 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а ра­вен дуге аа_х, а сечения волокна Ъ — дуге bb{.

^bb_{ —р(р;^>аа_х= яр,

где р — расстояние от волокна b до оси кручения; <р — полный угол закручивания, рад; г — радиус цилиндра.

Так как радиусы сечения при кручении остаются прямыми, то величина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорцио­нальна их расстоянию от оси кручения.

Относительный сдвиг сечения волокна b

У _р =РФ// = ФоР-

Применим формулу закона Гука при сдвиге:

При р = О т = О, т.е. на оси кручения касательные напряжения равны нулю.

При р = г х = х _тах, т.е. касательные напряжения достигают мак­симального значения у волокон, наиболее удаленных от оси круче­ния:

^ max =£<Рс/-

Так как относительный угол закручивания <р₀ есть величина по­стоянная для данного цилиндрического бруса, то касательные на­пряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от точек сечения до оси кручения. Эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника (рис. 22.3).

Если брус состоит из одного участка, т.е. имеет постоянное сече­ние и постоянный по длине участка крутящий момент, то касатель­ные напряжения в данном волокне будут по всей длине цилиндра одинаковы.

Перейдем к выводу формул для определения угла закручивания и напряжений в поперечном сечении в зависимости от крутящего момента. *

Рассечем брус, изображенный на рис. 22.1, поперечной плоско­стью, находящейся на расстоянии z от заделки, и рассмотрим полу­ченное сечение (см. рис. 22.3). Выделим в сечении бесконечно ма­лую площадку dА на расстоянии р от оси кручения. Сила dQ дей­ствующая на эту площадку, перпендикулярна радиусу и равна

dQ - x_pdА.

Определим момент внутренних сил относительно оси кручения, т. е. крутящий момент

М_к - J d Qp = J TpfMp = J G(p₀pcL4 = G<pJ p²dA = G<p₀I_p,

А

AAA

откуда найдем относительный угол закручивания

<p₀ = M_K/(G/_p).

Полный угол закручивания ф, рад, цилиндра длиной /:

₉ = M_Kl/(GI_p).

Произведение GI называется жесткостью сечения при кручении.

Итак, мы установили, что полный угол закручивания круглого цилин­

дра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении.

Так как при выводе последней формулы мы применяли закон Гука, она справедлива в пределах, когда нагрузка и деформация прямо пропорциональны.

Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, от­личающихся материалом, размерами поперечного сечения, значе­нием крутящего момента, полный угол закручивания равен алгеб­раической сумме углов закручивания отдельных участков:

ф=2>*-

Выведем формулу для определения напряжений: т_р =Сф₀р = GM_Kp/(G/_p ) = М_к р/1_р.

При р -гнапряжения достигнут максимального значения:

T_max = M_Kr/I_p=MJ(I_p/r) = MJW_p,

где W_p - 1_р/г — момент сопротивления сечения кручению (или по­лярный момент сопротивления).

Момент сопротивления кручению равен отноше­нию полярного момента инерции к радиусу сечения.

Единица момента сопротивления кручению

[W_p] = V_p\/lr] = u\

Итак, напряжения и деформации при кручении круглого ци­линдра определяют по формулам

,=MJW_p-, ф = MJ/{GI_p).

Обратим внимание на то, что эти формулы по структуре анало­гичны формулам для определения напряжений и деформаций при растяжении, сжатии и применимы лишь для участков бруса, имею­щих одинаковый материал, постоянные поперечное сечение и кру­тящий момент.

По закону парности касательных напряжений, последние воз­никают не только в поперечных, но и в продольных сечениях, по­этому, например, в деревянных брусьях при кручении возникают трещины вдоль волокон (древесина плохо работает на скалывание вдоль волокон).

Из эпюры распределения касательных напряжений при круче­нии видно, что внутренние волокна бруса испытывают небольшие напряжения, поэтому валы иногда делают пустотелыми, чем дости­гается значительный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.

Определим момент сопротивления кручению для круглого и кольцевого сечений.

1. Круг диаметром d:

W_p = I_p /(0,5d) = nd⁴ /(32 0,5d) = nd³ /16 »(&d³.

2. Кольцо размером Dxd:

W„ = /„/(0,50) = n(D⁴⁴)/(32-0,5D) =

= ;t(D⁴ -d⁴)/(16D) = 0,2(£>⁴ -dⁱ)/D.

Отметим, что если полярный момент инерции кольцевого сече­ния можно определить как разность моментов инерции большого и малого кругов, то момент сопротивления кручению нельзя опреде­лять как разность моментов сопротивлений этих кругов.

Пример 22.2. Стальной пруток длиной /= 1 м, диаметром d - 4 мм од­ним концом укреплен в зажиме, а на другом приложен скручивающий мо­мент. При каком угле закручивания напряжение кручения будет равно 120 МПа? Модуль упругости второго рода G = 8,2-10* МПа.

Решение. Запишем формулы, необходимые для решения задачи:

полный угол закручивания круглого цилиндра

4> = MJ/(GI_p);

максимальное напряжение при кручении

'*m« = K/WV

откуда М_к = x_maxW_p.

Учитывая, что полярный момент инерции I_p = W_pd/2, и подставляя числовые значения, получаем

х_шаЛ/-2 _=SJ^₌ 120Ю⁶-1-2 GW_pd Gd 8,2-10 -10 ■ 4-10

4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не долж­но превышать допускаемое. Расчетная формула на прочность при кручении имеет вид т = М_к /W_p < [т_к] и читается так: касательное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле т = = М_к /W_p, ue должно превышать допускаемое.

Допускаемое напряжение при кручении выбирают в зависимо­сти от допускаемого напряжения при растяжении:

для сталей

[т_к3 = (0,55...0,6)[а_р];

длячугунов ,

Кроме требования прочности к валам предъявляется требова­ние жесткости, заключающееся в том, что угол закручивания 1 м длины вала не должен превышать определенной величины во избе­жание, например, пружи нения валов или потери точности ходовых винтов токарно-винторезных станков.

Допускаемый угол закручивания 1 м длины вала задается в гра­дусах и обозначается [<р° ]. Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид

₀ 180

Ч>? = — [4>S1 ■

я Gl_p

Величины допускаемых углов закручивания зависят от назначе­ния вала; их обычно принимают в следующих пределах:

[(р° ] = 0,25... 1 градус/м.

С помощью полученных расчетных формул выполняют три вида расчетов конструкций на прочность и жесткость при кручении — проектный, проверочный и определение допускаемой нагрузки.

Пример 22.3. Определить диаметр стального вала, передающего мощ­ность Р = 48 кВт при частоте вращения п = 980 об/мин, если допускаемое напряжение кручения [т_к] = 30 МПа.

Решение. Расчетное уравнение на прочность при кручении кругло­го цилиндра имеет вид:

х _K = M_K/W_p<[x_K].

Определим угловую скорость вала:

со = пп/30 = 3,14-980/30 = 102,5 рад/с.

Найдем крутящий момент:

М_к = Р / (о = 48 • 10³ /102,5 = 464 Нм.

Определим момент сопротивления кручению:

W_p = M_K/ [т_к ] = 464 /30 ■ 10⁶ = 15,6 • 10'⁶ м³.

Находим требуемый диаметр вала из формулы

W_p = nd³/\6 « 0,2d³; d = %jW_p/ 0,2 = ^15^10^_6/0,2 = 43 10^-Зм= 43 мм.

Округляя найденное значение диаметра до ближайшего большего стандартного значения, принимаем d = 45 мм.

Пример 22.4. Сравнить массы сплошного и полого валов, работающих при всех прочих равных условиях (передаваемая мощность, материал, до­пускаемое напряжение, условия работы), если диаметр сплошного вала

d = 70 мм, а отношение внутреннего и наружного диаметров полого вала

= 0.9-

Ре ш е н и е. Из расчетной формулы на кручение круглого цилиндра

^Тхтах=Мк/^К]

видно, что при всех прочих равных условиях моменты сопротивления кручению сплошного и полого валов будут равны, т.е.

1. 2d³ = 0,2(Z)⁴ -dfy/D.

Так как по условию d - 70 мм, a d₀ = 0,9Д получим равенство:

70³ = ф⁴ - 0,9D^A)/D = 0,334D³,

откуда

D = 100 мм; d₀ = 0,9D = 90 мм.

Массы сплошного и полого валов относятся как площади А_с и А_п их поперечных сечений.

Определим эти площади:

д. ^nd²/4; А_п = яD²/4 - nd²/4 = n(D² - <0/4.

Разделив первое равенство на второе, получим

Д/А, = d²/(D> -4) = 70²/(100² -90²) = 2,58.

*

Полый вал легче сплошного в 2,58 раза.

5. Потенциальная энергия деформации при кручении

Представим себе круглый цилиндрический брус постоянного сечения, жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце моментом, приложенным статически, т.е. медленно возрастающим от нуля до какого-то значения Т. Полагаем, что мо­мент остается в пределах, когда нагрузка и деформация пропорцио­нальны, т.е. справедлив закон Гука.

Момент Т вызывает в брусе деформацию кручения и при этом совершает работу W, которая аккумулируется в виде потенциаль­ной энергии деформации U, причем, пренебрегая незначительными потерями энергии, можно считать, что

W=U.

Работа в случае статического нагружения равна

W = Т<р /2,

где ф — полный угол закручивания бруса.

Так как Т- М_к, то

U=W = Tv/2 = M_KMJ/(2Gl_p) = M²J/(2GI_p).

При одновременном действии нескольких моментов или сту­пенчатом изменении размеров поперечного сечения брус разбива­ют на участки и потенциальную энергию деформации всего бруса определяют как сумму потенциальных энергий отдельных его уча­стков:

и=^и₍.

Анализируя полученную формулу, можно сделать выводы, ана­логичные выводам подразд. 19.5.

6. Расчет цилиндрических винтовых пружин

В технике наиболее распространены цилиндрические винтовые пружины из стали круглого поперечного сечения, работающие на растяжение или сжатие. Покажем, как рассчитывают такие пружи­ны, имеющие небольшой угол а подъема витков (а < 15°).

Рассмотрим цилиндрическую винтовую пружину с диамет­ром D винтовой оси, диаметром d проволоки и числом витков п, сжимаемую силой F(рис. 22.4, а).

Для определения внутренних силовых факторов применим ме­тод сечений. Рассечем пружину плоскостью, проходящей через ось, и отбросим нижнюю часть пружины (рис. 22.4, в). Ввиду того что угол а подъема витков мал, будем считать сечение витка попереч­ным, т.е. кругом диаметра d.

Рассматривая равновесие верхней части пружины, видим, что в поперечном сечении витка возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q=Fvl крутящий момент М_к - FD/2. От­сюда следует, что в поперечном сечении витка действуют только касательные напряжения сдвига и кручения.

Будем считать, что напряжения сдвига распределены по сече­нию равномерно, а напряжения кручения определяются, как при кручении прямого кругового цилиндра. Эпюры распределения на­пряжений сдвига и кручения, а также эпюра суммарных напряже­ний в точках горизонтального диаметра сечения представлены на рис. 22.4,6.

Из суммарной эпюры видно, что наибольшие касательные на­пряжения возникают в точке В, ближайшей к оси пружины:

т -т -.т ^F . ^Ю/² .

“ ^к A W, nd²/4 Kd³/16’

8FD( d Л

^Zmx~nd³ v2D J

а 6

Рис. 22.4

Если пружина имеет относительно большой средний диаметр и изготовлена из относительно тонкой проволоки, то первое слагае­мое в скобках (соответствующее напряжению сдвига) значительно меньше единицы и им можно пренебречь; тогда

^max~8Я)/(Ж*³)- (22.1)

Формула для приближенного расчета цилиндрических винто­вых пружин имеет вид

'с_ти=8Я)/(яЛ³)<;М.

Так как пружины обычно изготовляют из высококачественной стали, допускаемое напряжение берут в пределах

[%] = 200... 1000 МПа.

Далее выведем формулу для определения уменьшения высоты (осадки) X пружины. Разбивая пружину на бесконечно малые уча­стки длиной d/, которые ввиду малости длины будем считать пря­молинейными, и учитывая только потенциальную энергию дефор­мации кручения, получим:

U=\Mldl/(Wl_p)=Mll/(2GI_p),

0

где / = nDn — длина проволоки пружины.

Работа силы F, приложенной к пружине статически, будет равна W = F\/2.TaKK2iKW=U, М_к = Я)/2, I_p=nd⁴/32, то

FX (FD/2f%Dn 2 “ 2Gnd⁴ /32 ’

откуда X = 8FD*n /(Ш⁴).

Эту формулу можно записать в таком виде:

10. = F/c,

где с = Gtf⁴ /(8D³n)“ коэффициент жесткости пружины.

При 1 c-F, поэтому коэффициент жесткости численно равен силе, вызывающей осадку, равную единице длины.

Отношение среднего диаметра витков к диаметру проволоки обозначают с„ и называют индексом пружины:

^сп ⁼ D/d.

Обычно индекс пружины с_п-4... 12.

При более точных расчетах винтовых пружин учитывают кри­визну их витков и вводят в числитель формулы (22.1) поправоч­ный коэффициент К ~ 1 +1,45 / с _1Г

Пример 22.5. Определить диаметр проволоки стальной пружины, ес­ли под действием силы F= 800 Н ее осадка X = 39 мм. Индекс пружины с„ = 6, число витков п = 14. Модуль упругости G - 8 ■ 10⁴ МПа, допускае­мое напряжение [т] = 450 МПа.

Решение. Индекс пружины с„ = ~, откуда D = c_Hd. Подставим значе-

d

ние D в формулу для осадки пружины:

10. = 8FD³n/ (Gd^A) = 8 Fcld\/ (IGd⁴) = 8Fc*n/ fGd),

откуда найдем d и после подстановки числовых значений получим

d = ₌ 7.io~³ _м= 7мм;

XG 39* 10 * 8 * 10 • 10

ZFcln 8 • 800-6³-14 39Ю~³-8Ю⁴1

D = с, А = 6 • 7 = 42 мм.