Глава 12

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Понятие о плоскопараллельном движении

Плоскопараллельным движением твердого тела на­зывается такое движение, при котором все точки тела перемещают­ся в плоскостях, параллельных какой-то одной плоскости, называе­мой основной.

Примерами плоскопараллельного движения могут служить движение колеса на прямолинейном участке пути, движение шату­на кривошипно-ползунного механизма.

Из определения плоскопараллельного движения следует, что любая прямая АВ, проведенная в теле перпендикулярно основной плоскости, движется поступательно (рис. 12.1). Для определения движения тела на каждой прямой, перпендикулярной основной плоскости, надо знать движение только одной точки. Взяв эти точ­ки в одной плоскости Q, параллельной основной, получим сечение S, движение которого определяет движение тела. Но плоское дви­жение сечения 5 вполне определяется движением двух любых его точек Си D или отрезка CD. Таким образом, вопрос о плоскопарал­лельном движении тел сводится к вопросу о движении отрезка пря­мой в плоскости, параллельной основной.

Плоскопараллельное движение изучается двумя методами: мето­дом мгновенных центров скоростей и методом разложения плоскопа­раллельного движения на поступательное и вращательное.

2. Метод мгновенных центров скоростей

В основе этого метода лежит следующая теорема: всякое плоско- параллельное перемещение твердого тела может быть получено од­ним вращением около оси, перпендикулярной основной плоскости.

Пусть отрезок, определяющий плоскопараллельно движение те­ла, за конечный промежуток времени переместился из положения АВ в положение А_ХВ_{ (рис. 12.2).

Соединим точки А и А_х, В и В_х прямыми линиями и из середин полученных отрезков (точек Mn N) восставим перпендикуляры до их взаимного пересечения в точке О. Эту точку соединим прямыми линиями с концами отрезков АВ и А_ХВ_Х и получим два конгруэнт­ных (равных) треугольника, имеющих общую вершину О:

ААОВ = АА_хОВ_х.

Треугольник АОВ совмещается с тре­угольником А_хОВ_х путем поворота на угол ф вокруг точки О, называемой цен­тром конечного поворота. Точка

О есть след оси конечного поворота, пер­пендикулярной основной плоскости. Та­ким образом, отрезок АВ, определяющий плоскопараллельное движение тела, пе­ремещается в любое новое положение пу­тем одного вращения вокруг оси конечно­го поворота. Рис. 12.2

Теорема доказана.

Приведенное доказательство будет справедливо и в том случае, если перемещение тела произойдет за бесконечно малый проме­жуток времени At В пределе при At, стремящемся к нулю, враще­ние будет происходить вокруг мгновенной оси. След мгно­венной оси вращения на плоскости фигуры называют мгновен­ным центром скоростей. Очевидно, что скорость точки, яв­ляющейся в данный момент мгновенным центром скоростей, рав­на нулю. Угловая скорость со, с которой происходит мгновенное вращение, называется мгновенной угловой скоростью.

Точка неподвижной плоскости, совпадающая в данный момент времени с мгновенным центром скоростей плоской фигуры, назы­вается мгновенным центром вращения.

Если прямая АВ движется параллельно самой себе, то можно полагать, что тело вращается вокруг оси, удаленной в бесконеч­ность, иначе говоря, поступательное движение можно рассматри­вать как вращательное по кругу бесконечно большого радиуса.

Таким образом, плоскопараллельное движение тела может осу­ществляться путем последовательных мгновенных непрерывных поворотов вокруг мгновенных осей вращения.

Заметим, что методом мгновенных центров скоростей можно пользоваться только при определении скоростей точек плоской фигуры, но не при определении траекторий и ускорений этих точек.

3. Свойства мгновенного центра скоростей

Рассматривая в каждый момент времени сложное плоскопарал­лельное движение как простейшее — вращательное, можно для вы­числения скоростей точек твердого тела применять все выведен­ные ранее формулы вращательного движения.

Установим следующие три свойства мгновенного центра скоро­стей, вытекающие из закона распределения скоростей точек твер­дого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: 1) скорость

мгновенного центра равна нулю; 2) мгновен­ный центр лежит на перпендикуляре, вос­ставленном из точки к направлению ее ско­рости; 3) скорость точки равна произведе­нию мгновенной угловой скорости на рас­стояние точки от мгновенного центра скоро­стей (рис. 12.3):

v_A ~ со О А

На основании перечисленных выше свойств можно установить следующие пять способов определения положения мгновен­ного центра скоростей плоской фигуры, определяющей плоскопа­раллельное движение тела.

1. Известны мгновенная угловая скорость ф и скорость v_A ка- кой-то точки Л плоской фигуры (см. рис. 12.3).

В этом случае мгновенный центр скоростей О находится на пер­пендикуляре, восставленном из точки А к вектору скорости v_A на расстоянии О А = v_A / со.

2. Известны направления скоростей двух точек А и В плоской фигуры (рис. 12.4).

В этом случае мгновенный центр О лежит на пересечении пер­пендикуляров, восставленных из точек А и В к направлениям их скоростей, причем

v_A _ со ОА _ ОА v_B со OB OB ’

т.е. скорости точек плоской фигуры прямо пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

3. Известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры па­раллельны друг другу, направлены в одну сторону, перпендикуляр­ны отрезку АВ и по модулю не равны (рис. 12.5).

В этом случае мгновенный центр скоростей О находится в точке пересечения прямой, соединяющей начала векторов v_A и v_B с пря­мой, соединяющей концы этих векторов.

Если векторы скоростей точек А и В равны между собой, то мгновенный центр скоростей в данный мо­мент находится в бесконечности, мгновен­ная угловая скорость равна нулю, скорости всех точек плоской фигуры будут одинако­вы и движение будет мгновенно поступа­тельным.

4. Известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, направлены в противоположные стороны и перпендикулярны отрезку АВ (рис. 12.6).

Рис. 12.5

Рис. 12.6

В этом случае мгновенный центр скоростей О находится в точке пересечения отрезка АВ с прямой, соединяющей концы векторов v_A wv_B.

5. Известно, что плоская фигура катится без скольжения по не­подвижной кривой.

В этом случае мгновенный центр скоростей О находится в точке соприкосновения фигуры с кривой, так как скорость этой точки фигуры в данный момент равна нулю.

В заключение рассмотрим качение колеса по прямолинейному рельсу в различных условиях трения.

На рис. 12.7 показаны положения мгновенного центра скоро­стей (МЦС) и графики скоростей точек вертикального диаметра в случаях трения скольжения, трения качения, трения качения с проскальзыванием, частичного и полного буксования колеса.

Качение

Скольжение Качение с проскальзыванием

Частичное буксование Полное буксование Рис. 12.7

Пример 12.1. Колесо радиуса R катит­ся без скольжения по прямолинейному рельсу, причем скорость его центра О равна v₀ = 2 м/с (рис, 12.8). Найти ско­рость концов вертикального и горизон­тального диаметров колеса.

Решение. По условию колесо ка­тится без скольжения, поэтому скорость точки D касания колеса с рельсом равна нулю, следовательно, точка D — мгно­венный центр скоростей колеса.

Зная скорость точки О, находим уг­ловую скорость со колеса:

w — i'q / 0D — Vq / R.

На основании свойств мгновенного центра скоростей определим мо­дули скоростей точек А, В и С колеса:

v_A=co-AD = 2 = 2>/2 = 2,83 м/с;

Д

v_B = со - BD = —2 Л = 2-2 = 4 м/с;

R

v_c = о ■ CD = ^ Ryf2 = 2л/2 = 2,83 м/с.

R

Направления векторов скоростей точек А, В и С перпендикулярны прямым, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей.

4. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное

В основе этого метода лежит следующая теорема: всякое плоскопа- раллелъное перемещение твердого тела может быть получено с помо­щью одного поступательного и одного вращательного движения.

Пусть за время At отрезок АВ, опре­деляющий плоскопараллельное движе­ние тела, переместился в положение А^В_Х (рис. 12.9).

Предположим, что отрезок АВ вна­чале перемещался только поступатель­но, причем все его точки двигались одинаково, как точка А. Таким обра­зом, отрезок перешел в положение А_ХВ₂, после чего его можно перемес­тить в положение А_ХВ_Х посредством только вращательного движения во-

круг точки j4j. Отсюда видно, что сложное плоскопараллельное движение состоит из двух простейших движений: поступательного и вращательного, причем можно считать, что эти движения проис­ходят одновременно.

Установим зависимость между векторами скоростей точек А и В. Для этого соединим прямыми точки A, A_t и В, B_v В₂> в результате чего получим следующую зависимость между векторами переме­щений точки В:

ВВ_Х= ВВ₂ + в₂в_х.

Так какBB₂ — AA_V то можно записать, что ВВ^ = АА^ + -^2-^1-

Разделим все члены равенства на At и перейдем к пределу при At, стремящемся к нулю:

1. • ВВ\ ₁. АА^ .

hm —- - hm ^L + hm ■ ■ ,

дг->0 At Af->0 At Дг->0 At

получим

VB =

где v_B — вектор абсолютной скорости точки В; v_A — вектор абсолют­ной скорости точки A; v_BA — вектор скорости точки В в относитель­ном вращательном движении отрезка АВ вокруг точки А, направ­ленный перпендикулярно отрезку АВ.

Таким образом, плоскопараллельное движение тела может осу­ществляться путем одновременно происходящих вращательного и поступательного движений; поступательное движение можно счи­тать переносным, а вращательное — относительным. Вектор абсо­лютной скорости какой-то точки В равен вектору абсолютной ско­рости любой другой точки А плюс вектор скорости точки В в отно­сительном вращательном движении отрезка АВ вокруг точки А.

Точку, вокруг которой происходит относительное вращательное движение, будем называть полюсом.

Если за полюс вместо точки А принять точку В, то, рассуждая аналогично, получим

^VA=²8+^VAB'

Сравнивая это векторное равенство с предыдущим, видим, что векторы относительных скоростей v_BA и v_AB по модулю равны меж­ду собой, т.е.

Из рис. 12.9 видно, что направление относительного вращения и угол поворота отрезка АВ за какой-то промежуток времени не зави­сят от выбора полюса, т.е.

ФВЛ “ ФАВ'

Продифференцировав это равенство по времени, получим

^d<?BA

или со _ВА = ю

Следовательно, относительная угловая скорость от выбора по­люса не зависит. Аналогично,

^d($BA dt dt

или а_вл ~^алв-

Следовательно, и относительное угловое ускорение от выбора полюса не зависит.

Из рассмотренного следует, что при разложении плоскопарал­лельного движения на поступательное и вращательное поступа­тельная часть движения в общем случае зависит от выбора полюса, а вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Так как за полюс может быть выбрана любая точка плоскости, в том числе и мгновенный центр скоростей, то при разложении плос­копараллельного движения на поступательное и вращательное уг­ловая скорость относительного вращательного движения всегда равна абсолютной угловой скорости.

Если векторное равенство v_A — v_B спроецировать на на­правление прямой АВ, то получим, что проекция v_A равна проек­ции v_B,так как проекция v_AB равна 0.

Следовательно, при плоскопараллельном движении проекции скоростей двух точек плоской фигуры на направление прямой, со­единяющей эти точки, равны между собой.

Пример 12.2. Кривошипный механизм связан шарнирно в середине С

шатуна со стержнем CD, а последний со стержнем DE, который может вращаться вокруг точки Е. Определить угловую ско­рость стержня DE в указанном на рис. 12.10 положении кривошипного меха­низма, если точки В и Е расположены на одной вертикали; угловая скорость со кри­вошипа О А равна 8 рад/с, О А = 25 см, DE= = 100 см, ZCDE=п/2 рад и ZBED = л/6 рад.

Решение. Прежде всего определим скорость точки А кривошипа ОА\

•АВ-

df

dt

В заданном положении механизма ползун В занимает крайнее правое положение и его скорость в этот момент равна нулю. Следовательно, точ­ка В в данный момент — мгновенный центр скоростей шатуна А В. Так как скорости точек шатуна прямо пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра скоростей, то запишем пропорцию

v_c/v_A =СВ/АВ,

из которой определим модуль скорости точки С:

^vc~^va‘ СВ / АВ - 2 ■ 0,5 = 1 м/с.

Вектор скорости v_c перпендикулярен шатуну АВ. Вектор скорости точки D перпендикулярен стержню DE, т.е. направлен вдоль стержня DC.

Скорость точки D определим, разложив сложное плоскопараллельное движение звена DC на поступательное и вращательное по формуле

v_D = v_c + v_DC>

где вектор относительной скорости v_DC перпендикулярен звену DC. Спроецировав это векторное равенство на направление прямой DC, полу­чим

v_D — v_c cos тс /3 = 1-0,5 = 0,5 м/с.

Выразив скорость точки D через угловую скорость стержня DE, получим

^VD — ®DE ' DE,

откуда, подставив числовые значения, найдем

u>de ^{= v}d / DE = 0,5 /1 = 0,5 рад/с.

Раздел третий ДИНАМИКА