1.2. Содержание дисциплины «Линейная алгебра» (дидактические единицы)
ДЕ 1.
Системы линейных уравнений.
Тема 1.
Аудиторное изучение:
Матрицы, виды матриц, операции над матрицами.
Квадратные матрицы.
Определители, свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения элементов матрицы..
Обратная матрица.
Самостоятельное изучение: матрицы, экономическое приложение матриц, определители.
Тема 2.
Аудиторное изучение:
Линейная независимость строк (столбцов).
Элементарные преобразование матриц.
Ранг матрицы.
Самостоятельное изучении: Различные способы нахождения ранга матриц. Решение задач.
Тема 3.
Аудиторное изучение:
Система линейных уравнений, основные определения.
Способы решения системы линейных уравнений: матричный, метод Гаусса, Крамера.
.Самостоятельное изучение: Методы решения систем, фундаментальная система решений. Экономическое приложение систем. Решение задач.
Тема 4.
Аудиторное изучение:
Система линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений.
Задачи с экономическим содержанием
Самостоятельное изучении: Фундаментальная система решений. Решение задач.
ДЕ 2.
Элементы матричного анализа.
Тема 5.
Аудиторное изучение:
Векторы на плоскости и в пространстве..
Линейные операции над векторами, признаки коллинеарности векторов.
Разложение вектора по базису.
Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.
Проекция вектора на ось, свойства.
Самостоятельное изучении: Векторы в пространстве. Построение векторов. Векторное решение задач.
Тема 6.
Аудиторное изучение
Скалярное произведение векторов его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.
Векторное произведение векторов, его свойства. Выражение векторного произведения через координаты.
Смешанное произведение, свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
Самостоятельное изучении: Геометрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. Решение задач.
Тема 7.
Аудиторное изучение
n-мерный вектор,n-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.
Самостоятельное изучение: Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Полярная система координат. Векторы на плоскости и в пространстве Аксиоматические построения и системы аксиом, n-мерный вектор и векторное пространство. Решение задач.
Тема 8.
Аудиторное изучение
Линейные операторы.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Самостоятельное изучение: Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Линейные и аффинные преобразования плоскости.
ДЕ 3.
Аналитическая геометрия на плоскости
Тема 9.
Аудиторное изучение:
Линия на плоскости и ее уравнение.
Прямая на плоскости.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Общее уравнение прямой.
Самостоятельное изучение: Прямая в аффинном пространстве. Уравнения прямой в полярных координатах. Решение задач.
Тема 10.
Аудиторное изучение:
Угол между прямыми, условие параллельности, перпендикулярности прямых.
Нормальное уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой.
Самостоятельное изучение: Решение задач.
Тема 11
Аудиторное изучение:
Парабола.
Эллипс.
Гипербола (определение, вывод канонического уравнения, оптическое свойство, касательная).
Самостоятельная работа: Геометрические свойства кривых второго порядка. Директрисы эллипса и гиперболы.
Тема 12.
Аудиторное изучение
Деление отрезка в данном отношении.
Преобразования прямоугольных координат.
Приведение линии второго порядка к каноническому виду.
Самостоятельное изучение: Прямая и плоскость в аффинном пространстве. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Построение кривых второго порядка.
ДЕ 4
Тема 13.
Аудиторное изучение
Плоскость в пространстве.
Различные виды уравнений плоскости.
Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Формула расстояния от точи до плоскости.
Самостоятельное изучение: Векторное и параметрические уравнения плоскости. Замена системы координат.
Тема 14.
Аудиторное изучение
Прямые в пространстве (канонические и параметрические уравнения).
Уравнения общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым, расстояние между скрещивающимися прямыми.
Самостоятельное изучение: Векторное уравнение прямой в пространстве. Уравнения проекций прямых на оси координат. Решение задач.
Тема 15.
Аудиторное изучение
Поверхности в пространстве.
Поверхности второго порядка.
Самостоятельное изучение: Поверхности второго порядка (эллипсоид, однополостной и двуполостной гиперболоид. Свойства поверхностей второго порядка. Уравнения множеств в пространстве.
Тема 16.
Аудиторное изучение
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
Самостоятельное изучение: Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Решение задач.
1.3. Содержание лабораторных (или практических) занятий
ДЕ. 1.
Занятие 1. Матрицы, действия над ними.
План:
1. Основные понятия: Матрица, виды матриц.
2. Действия над матрицами и их свойства.
3. Решение задач.
Найти значение матричного многочлена f(A)
1
Ответ:
2.
Ответ:
3
Занятие 2. Определители.
План:
1.Определители первого, второго, третьего порядков.
2. Свойства определителей.
3. Определители четвертого порядка.
4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
5. Решение задач.
Занятие3. Системы линейных уравнений.
План:
1.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.
2.Система линейных уравнений. Решение системы. Равносильность ситемы.
3. Теорема Кронекера – Капели.
4. Матричный метод решения системы.
5. Метод Крамера.
6. Решение задач.
Занятие 4. Системы линейных уравнений.
План:
1. Метод Гаусса.
2. Исследование системы линейных уравнений.
3. Система линейных однородных уравнений.
4. Решение задач.
Решить системы.
Контрольная работа, коллоквиум.
ДЕ 2.
Занятие 1. Векторы.
План:
1.Вектор. Коллинеарность векторов.
2. Равенство векторов.
3. Линейные операции над векторами.
4. Координаты вектора.
5. Проекция вектора на ось.
6. Модуль вектора.
7. Решение задач.
1.
В параллелограмме ABCD
даны стороны
Выразить
через
и
векторы
2.В
Треугольнике ABC
проведены меридианы AK,
BL
и CM.
Выразить
и
через векторы
и
.
3.На
прямой проходящей через точки А (-3;8;2) и
B
(1;-2;0) найти точку С, абсцисса которой
.Выберите
правильный ответ.
4.Найти
направляющие косинусы вектора
5.
Даны векторы
и
.
Найти векторы:
;
.
Занятие 2.Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов.
План:
1. Скалярное произведение векторов (определение), свойства.
2. Скалярное произведение в координатной форме.
3. Угол между векторами.
4. Условие перпендикулярности векторов.
5.Определение векторного произведения.
6. Геометрический смысл векторного произведения.
7. Решение задач.
1
Дано
=5,
=6.
Найти скалярное произведение векторов
и
,
если угол
между ними равен 120°
2.Найти
угол
в треугольнике с вершинамиA(1;2;-1),
B(5;5;11),
C(13;18;20)
3.
Даны векторы
,
,
.
Найти проекцию вектора
на вектор
.
4.
Даны векторы
и
.
При каком значенииm
эти векторы перпендикулярны?
5.Даны
три последовательные вершины
параллелограмма А(-3;-2;0), В(3;-3;1) и С(5;0;2).
Найти четвёртую вершину D
и угол между векторами
и
.
6.
Даны векторы
,
и
.
Найти проекцию вектора
на вектор
.
7.
Даны векторы
и
.
При каком значенииm
векторы перпендикулярны?
8 Найти площадь треугольника с вершинами А(2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).
9 Упростить:
10Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-3;-2;-4), В(-1;-4;-7), С(1;-2;2).
11.
Вычислить площадь и высоту параллелограмма,
построенного на векторах
12
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
где
.
13
Вычислить диагонали и площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
Занятие 3. Смешанное произведение векторов. Квадратичные формы.
План:
1. Смешанное произведение векторов (определение) и его свойства.
2. Компланарность векторов.
3.Объем параллелепипеда.
4. Деление отрезка в данном отношении.
5. Тестирование.
Примерные задания для тестирования.
1.
Проверить, является ли векторы
компланарными?
Да.
Нет.
2. Найти объём тетраэдра с вершинами в точках А(-1;1;0), В(2;-2;1), С(3;1;-1), D(1;0;-2).
6/25
25/6
3/5
3.
Вычислить объём параллелепипеда,
построенного на векторах
и
.
10 куб. ед.
11 куб. ед.
12 куб. ед.
13 куб. ед.
4. Установить, лежат ли в одной плоскости точки А(4;3;10), В(5;1;5), С(2;2;5), D(3;4;12).
Да.
Нет.
5. В тетраэдре с вершинами D(-3;-3;-3), A(2;-1;-3), B(-1;2;3) и C(-2;-2;1). Найти площадь грани АВС и длину высоты, проведённой к этой грани.
куб. ед.
куб. ед.
куб. ед.
6.Выяснить,
компланарны ли векторы
?
Нет.
Да.
7.
Даны векторы
,
и
.
Найти проекцию вектора
на вектор
.
-11/14
-14/11
14/11
11/14
8.
Даны векторы
и
.
При каком значенииm
векторы перпендикулярны?
ДЕ 3.
Занятие 1. Прямая на плоскости
План:
1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3. Уравнение прямой в отрезках.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
5. Нормальное уравнение прямой.
6. Общее уравнение прямой.
7. Решение задач.
1. Проверить, принадлежат ли точки A(3; 14), B(4; 13) прямой 7x-3y+21=0
2. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3; 0), а ось оринат в точке (0; 5).
Ответ: x/3+y/5=1
3.
Вычислить
угол наклона прямой
к оси Ox
Ответ: 120°
4. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с осью Ox угол 120°
Ответ:
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (3; 4) и отсекающей на оси Oy отрезок B=2
Ответ:
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3; -2) и образующей с осью Ox угол arctg2.
Ответ: 2x-y+4=0
7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(2; -3), B(-1; 4)
Ответ: 7x+3y-5=0
8. Прямая, проходящая через точку A(-2; 3), образует с осью Ox угол 135°. Составить уравение этой прямой.
Ответ: x+y-1=0
9. Через точку A(1; 2) проведена прямая, отсекающая на положительных полусях равные отрезки. Составить ее уравнение.
Ответ: x+y-3=0
10. Уравнение прямой привести к нормальному виду. 5x-12y+26=0
Ответ:
Занятие 2. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
План:
1. Угол между прямыми.
2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
3. Расстояние от точки до прямой.
6. Решение задач.
1. Найти острый угол между прямыми 5x-y+7=0 и 2x-3y+1=0
Ответ: 45°
2. Найти угол между прямыми 3x-4y=6 и 8x+6y=11
Ответ: 90°
3. Определить точки пересечения прямой с осями координат 3x-2y=12
Ответ: (4; 0) и (0; -6)
4. Найти угол между прямыми 3x+2y=0 и 6x+4y+9=0.
Ответ: 0°
5. Найти расстояние от начала координат до прямой 15x-8y-68=0
Ответ: 4
Занятие 3. Кривые второго порядка.
План:
1. Окружность. Уравнение окружности.
2. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
3.Гипербола. Уравнение гиперболы.
4. Директрисы эллипса и гиперболы.
5. . Решение задач.
Окружность с центром в точке (12;-5) проходит через начало координат. Составить уравнение окружности.
Проходит ли окружность с центром S(-5;7) и радиусом 10 через точку М(-11;15).
Определить координаты центра и радиус окружности
Окружность, проходящая через точки А(3;-1) и В(-4;-8), имеет радиус r=13. Написать её уравнение.
Найти центр окружности, касающейся оси ординат и проходящей через точки А(4;5) и В(18;-9).
Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит через точки А(6;4) и В(8;3).
Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках
и
,
а большая ось равна
Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках (-4;0) и (4;0), а эксцентриситет е=2/3.
Составить уравнение гиперболы, если известны координаты её фокусов (-20;0) и (20;0) и эксцентриситет е=5/3
Занятие 4. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
План:
1. Парабола. Каноническое уравнение параболы.
2. Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду.
3. Классификация линий второго порядка.
Контрольная работа.
Примерные задания:
1 Написать уравнения прямой, проходящей через точки A(-1; 2; 3) и B(2; 6; -2)
x/2=(y-3)/1=(z-1)/3
(x+1)/3=(y-2)/4=(z-3)/(-5)
(x+4)/(-5)=y/(-3)=z/(-7)
(x-2)/1=(y+4)/2=(z+5)/5
2 Через точку M(-1; 2; 3) проведена плоскость, перпендикулярная к OM. Написать ее уравнение.
2x+2y-7z=0
x-y+3z+5=0
x-2y-3z+14=0
3x+y+z-7=0
3 Найти угол между прямой x/2=(y+1)/(-6)=(z-1)/3 и плоскостью 2x+y+z-5=0.
4.
Составить уравнение гиперболы, если её
асимптоты заданы уравнениями
и они проходят через точку (6;-4)
5.
Дана парабола
.
Найти хорды, проходящие через фокусы
параболы и перпендикулярную её оси.
6.
Найти координаты вершины параболы
(-2;-7)
(4;4)
(-1;2)
(3;-5)
7.
Дана парабола
.
Составить уравнение директрисы.
x=-4
x+y=1
y-0
y=3/4
8. Составить уравнение параболы с ось симметрии, параллельной оси Ох, если парабола проходит через точку М(1;3) и имеет вершину А(-4;-2).
9.
Найти эксцентриситет эллипса
-2
3/2
4/5
1/3
10. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых x+6y+5=0, 3x-2y+1=0 и через точку M(-4/5; 1)
x+y=0
3x+2y-1=0
8y+3=0
5x+4=0
11. Найти прямую, проходящую через точку пересеченя прямых x+2y+3=0, 2x+3y+4=0 и
параллельную прямой 5x+8y=0
y-1=0
3x+2y+3=0
5x+8y+11=0
x-2y-5=0
12. Даны вершины треугольника ABC: A(0; 2), B(7; 3) и C(1;. Определить угол BAC=α
ДЕ 4.
Занятие 1. Плоскость в пространстве.
План:
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярную вектору
Общее уравнение плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Решение задач.
Занятие 2. Прямая и плоскость в пространстве.
План:
1. Канонические уравнения прямой.
3. Параметрические уравнения прямой.
4. Общее уравнение прямой.
5. Угол между прямыми в пространстве.
6. Расстояние от точки до плоскости.
7. Решение задач.
1.
Даны
точки M1(-3; 7; -5) и M2(-8; 3; -4). Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точкуM1 и перпендикулярной вектору
Ответ: 5x+4y-z-18=0
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1; -3; 4), M2(0; -2; -1), M3(1; 1;-1)
Ответ: 15x-5y-4z-14=0
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-1; -2; 0) и M2(1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости x+2y+2z-4=0
Ответ: 2x-2y+z-2=0
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-4; 3; -7) параллельно плоскости 6x-5y+4z-15=0
Ответ: 6x-5y+4z+67=0
5.
Найти
угол между плоскостями и
и
Ответ: π /3
6. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x-2y+2z-7=0 и отстоящей от нее на расстоянии, равном 5.
Ответ: x-2y+2z+8=0 и x-2y+2z-22=0
7. Составить каноничское уравнение прямой, проходящей через точку A(-7; -3; 2) и перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: (x+7)/2=(y+3)/(-4)=(z+5)/(-5)
8. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A(-1; 2; 3) и B(5; -2; 1)
Ответ: (x+1)/6=(y-2)/(-4)=(z-3)/(-2)
9.
Общее
уравнение прямой
.
Привести ее к каноническому виду.
Ответ: (x+3)/(-1)=(y-6)/10=z/7
10. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(-7; -3; 2) и
перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: x=-7+t
y=-3-4t
z=2-5t
11.
Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку M(1; 1; 1) и перпендикулярной векторам
и
.
Ответ: (x-1)/5=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-7)
12.
Найти
углы, образуемые прямой
с осями координат.
Занятие 3 Поверхности в пространстве
План:
Сфера.
Поверхности вращения.
Цилиндрические и конические поверхности.
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
Решение задач..
Занятие 4.Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
План:
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
Контрольная работа