- •Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (тусур)
- •2012 Реферат
- •Томский государственный университет систем управления ирадиоэлектроники
- •На курсовую работу по дисциплине
- •Часть I.
- •Часть II.
- •2012 Содержание
- •1 Постановка задачи
- •Часть I.
- •Часть II
- •2.1 Теоретический обзор
- •Распределение Стьюдента
- •2.2 Расчеты
- •2.3. Выводы
- •3. Часть II
- •3.1 Теоретические сведения
- •4. Заключение
- •5. Список использованных источников
2.3. Выводы
В ходе работы над первой частью курсовой работы был написан теоретический обзор по точечному и интервальному оцениванию. В работе выполнены расчеты, связанные с нахождение доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и вероятности. Для заданной генеральной совокупности построены гистограмма, найдены оценки математического ожидания и дисперсии, а также доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. С помощью критерия согласия Пирсона проверена гипотеза о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности. В результате анализа, гипотеза подтвердилась, т.к. получилось, чтоhivibor<hikrit. Отсюда следует, что гипотеза о нормальном законе распределения генеральной совокупности верна.
3. Часть II
3.1 Теоретические сведения
Регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов.
Регрессия - возвращение к более раннему состоянию или образу действия. Этот термин был введен английским психологом и антропологом Ф.Гальтоном, который получил из конкретного примера. Обрабатывая статистические данные в связи с вопросом о наследственности роста, Ф.Гальтон нашел, что если отцы отклоняются от среднего роста всех отцов на Х дюймов, то их сыновья отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше, чем на Х дюймов. Выявленная тенденция была названа «регрессией к среднему состоянию». После работ Карла Пирсона этот термин стали использовать и в статистике.
Регрессионный анализ – метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств.
Метод наименьших квадратов (МНК) – это метод оценки неизвестных случайных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. В нашем случае дана смесь – сигнал + шум. Наша задача состоит в извлечении истинного тренда.
При помощи метода наименьших квадратов вычисляются коэффициенты аппроксимирующего многочлена. Эта задача решается следующим образом.
Пусть на некотором отрезке в точках …нам известны значения…некоторой функции f(x).
Требуется определить параметры многочлена вида
, где k<N
такого, что сумма квадратов отклонений значений y от значений функции f(y) в заданных точках x была минимальной, то есть .
Геометрический смысл заключается в том, что график найденного многочлена y = f(x) будет проходить как можно ближе к каждой из заданных точек.
Далее нужно решить следующую систему уравнений:
…………………………………………………………………………….
Запишем систему уравнений в матричном виде:
Решением является следующее выражение:
Несмещенная оценка для дисперсии ошибок наблюдений равна:
Чем величина D меньше, тем точнее описывается y.
N – Объем выборки
считается по формуле:
Доверительный интервал для коэффициентов тренда считается так:
j=0..3
–квантиль распределения Стьюдента
- j-ый диагональный элемент матрицы
3.2 Расчеты
Дан истинный тренд функции с параметрами, и смесь сигнал + шум:
Находим минимальное и максимальное значение:
Находим коэффициенты полинома по МНК:
График найденной функции и тренда:
Найденные коэффициенты:
Найдем доверительный интервал для заданных коэффициентов полинома:
Квантили распределения Стьюдента, найденные в таблице:
График разности тренда от найденной функции:
Максимальное отклонение от тренда:
3.3 Выводы
В ходе работы была выполнена задача по нахождению истинного тренда из смеси
сигнал +шум. За основу работы взят метод наименьших квадратов. Для оптимальных
расчетов был использован полином третьей степени, что привело к получению расчета
четырех коэффициентов модели. Были рассчитаны не только сами коэффициенты, но и
их доверительные интервалы. На построенном графике представлены два тренда –
истинный и его оценка. Имеются небольшие отклонения, это связано с тем, что было
взято относительно небольшое количество коэффициентов.