Архив2 / курсовая docx100 / kursovaya_cos
.docxМинистерство образования и науки российской федерации
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Тверской государственный университет”
_________________________________________________________________________________________________
Факультет прикладной математики и кибернетики
Направление: 010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии
Специализация: бакалавриат
Курсовая работа по предмету
«Кратные интегралы и ряды»
Тема: Используя
разложения в ряд функций
и
доказать, что
.
Выполнил:
студент 26группы
Гаврилин Евгений Константинович
Научный руководитель:
Зав. кафедрой вычислительной математики
Климок Виктор Иванович
Тверь – 2012
Содержание
|
3 |
|
2. Решение |
3 |
|
|
|
|
3.Графическая иллюстрация доказанного равенства
|
6 |
|
4. Код программы
|
9 |
|
5. Список литературы |
10 |
Тема
Используя
разложения в ряд функций
и
доказать, что
.
Показать, применяя ЭВМ, что чем больше членов разложения, тем точнее выполняется равенство. Проиллюстрировать это графически.
Учесть,
что функции
и
могут быть представлены рядами
И воспользоваться правилом (Коши) перемножения рядов.
Решение
Для
того, чтобы доказать, что
,
возведём ряды
в
квадрат, используя правило Коши.
Теорема (для числовых рядов):
Пусть
даны два сходящихся ряда: (а)
Если (а) и (б) сходятся абсолютно и их суммы соответственно равны A и B, то и ряд, являющийся произведением (а) и (б) сходится абсолютно.
Доказательство
Расположим все произведения в бесконечную матрицу:
(1)
Элементы этой матрицы можно различными способами записать в форме последовательности. Для нас особенно важны способы, изображенные на рис. 1 и рис. 2.
Первый из этих способов приводит к ряду
a1b1 + a1b2 + a2b1 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a1b4 + a2b5 + ... (2)
Рис. 2. приводит к ряду
a1b1 + a1b2 + a2b2 + a2b1 + a1b3 + a2b3 + a3b3 + a3b2 + ... (3)
Все
ряды, получаемые расположением элементов
матрицы (1) в форме последовательности,
получаются друг из друга перестановками
членов. Покажем, что все эти ряды сходятся
абсолютно. Возьмем какой-нибудь из этих
рядов, составим ряд абсолютных величин
членов взятого ряда и обозначим через 
частичную
сумму этого ряда абсолютных величин.
Если n закреплено,
а m достаточно
велико, то все слагаемые суммы 
будут
содержаться среди чисел, заполняющих
квадрат
Поэтому
сумма 
будет
не больше, чем сумма всех чисел, входящих
в указанный квадрат, т. е. не больше, чем
(|a1| + |a2| + ... + |am|)(|b1| + |b2| + ... + |bm|).
Если обозначить через A* и B* суммы рядов, составленных из абсолютных величин членов рядов (а) и (б), то из сказанного ясно, что
Отсюда и следует наше утверждение об абсолютной сходимости рядов, порождаемых матрицей
Произведение рядов будет находиться по формуле:
Для степенных рядов , исходя из доказательства, формула будет выглядеть аналогично.
Но есть и более удобная запись этой формулы, ей и воспользуемся:
|
|
|
|
Воспользуемся следующими формулами тригонометрии:
|
|
|
|
|
|
(
)
)
)
(
)
)
)Получим:
Запишем
полученное выражение под одним знаком
суммы, т.к пределы суммирования у первого
и второго слагаемого совпадают. Так же
вынесем
перед знаком суммы.
взаимно
уничтожаются:
Так
как
не зависит от k, то его можно вынести
из-под знака суммы:
Представим
,
дополнительно домножив числитель и
знаменатель на n!
|
|
|
.
Графическая иллюстрация доказанного равенства
Число слагаемых: 1
Число слагаемых: 2
Число слагаемых: 6
Ввод:
уже приколичестве слагаемых, больших
7-8 график функции
,
построенный через разложение рядов,
практически полностью совпадает с
графиком функции cos2x,
взятый из библиотеки math.h.
Ниже приведена таблица значений на [-7,7]. При разложении ряда использовались первые три слагаемых.
Предпоследний столбец: cos2x: функция из библиотеки math.h.
Последний столбец: разность двух рядов, в каждом из которых-3 слагаемых.
Код программы
#include "mainwindow.h"
#include "ui_mainwindow.h"
#include <math.h>
const int iCoff = 10;
const int scale = 250;//увеличение, чтобы график маленьким не казался
MainWindow::MainWindow(QWidget *parent)
: QMainWindow(parent), ui(new Ui::MainWindow)
{
ui->setupUi(this);
}
MainWindow::~MainWindow()
{
delete ui;
}
//cos2x - <math.h>
double MainWindow::cosY(double x)
{
return cos(2*x);
}
//cosx -собственная версия
double MainWindow::kv_cos(double x, int N)
{
int j=0;
int i=3;
if (x<0) x=-x;
double x1=x;
while (x1>M_PI_2)
{
x1=x1-M_PI;
j++;
}
double a1, y=1, a2=-x1*x1/2;
if (N==0) return 1;
for (int steps=0; steps<N; steps++, i++)
{
a1=a2;
a2=-a1*x1*x1/(i*(i+1));
i++; y+=a1;
}
if (j%2)
return -y;
return y;
}
//sinx-собственная версия
double MainWindow::kv_sin(double x, int N){
int j=0;
int i=4;
if (x<0) x=-x;
double x1=x;
while (x1>M_PI_2)
{
x1=x1-M_PI;
j++;
}
if (N==0) return 0;
double a1, y=x1, a2=-x1*x1*x1/6;
for ( int steps=0; steps<N; steps++, i++)
{
a1=a2;
a2=-a1*x1*x1/(i*(i+1));
i++; y+=a1;
}
if (!j%2)
return y;
return -y;
}
void MainWindow::changeEvent(QEvent *e)
{
QMainWindow::changeEvent(e);
switch (e->type()) {
case QEvent::LanguageChange:
ui->retranslateUi(this);
break;
default:
break;
}
}
//обработка события при нажатии на кнопку
void MainWindow::on_doBtn_clicked()
{
N = ui->Num->value();
double Step = 0.01 ;
double yCurr ;
double yNext ;
QGraphicsScene *scene = new QGraphicsScene(ui->graphGV);
// Ox and Oy axis
QPen pen(Qt::green);
QPen pen1(Qt::blue);
//прорисовка осей
scene->addLine(-iCoff*100, 0, iCoff*100, 0, pen);
scene->addLine(0 , -iCoff*100, 0, iCoff*100, pen);
pen.setColor(Qt::red);
//рисуем график
for (double i=-iCoff; i<iCoff; i+=Step)
{
yCurr = cosY(i);
yNext = cosY(i+Step);
scene->addLine(i*scale , -yCurr*scale , (i+Step)*scale , -yNext*scale, pen);
yCurr = kv_cos(i, N)*kv_cos(i,N)-kv_sin(i,N)*kv_sin(i,N);
yNext = kv_cos(i+Step,N)*kv_cos(i+Step,N)-kv_sin(i+Step,N)*kv_sin(i+Step,N);
scene->addLine(i*scale , -yCurr*scale , (i+Step)*scale , -yNext*scale , pen1);
}
ui->graphGV->setScene(scene);
}
Список литературы:
1. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1)
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 2)