- •Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (тусур)
- •2012 Реферат
- •Томский государственный университет систем управления ирадиоэлектроники
- •На курсовую работу по дисциплине
- •Часть I.
- •Часть II.
- •2012 Содержание
- •1 Постановка задачи
- •Часть I.
- •Часть II
- •2.1 Теоретический обзор
- •Распределение Стьюдента
- •2.2 Расчеты
- •2.3. Выводы
- •3. Часть II
- •3.1 Теоретические сведения
- •4. Заключение
- •5. Список использованных источников
Распределение Стьюдента
Распределение Стьюдента (t- распределение) имеет важное значение при статических вычислениях, связанных с нормальным законом, а именно тогда, когда среднеквадратичное отклонение не известно и еще подлежит определению по опытным данным.
Пусть X и X1, X2, …Xn – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами:
M[X] = M[X1] = M [X2] = … = M[Xn] = 0
И
Случайная величина:
являющаяся функцией нормально распределенных случайных величин, называется безразмерной дробью Стьюдента. Распределения случайной величины T не зависит от параметров распределения независимых случайных величин X и X1, X2, …Xn, а зависит только от одного параметра – числа степеней свободы r.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины T соответственно равны:
M[T] = 0 D[T] = r > 2
При неограниченном увеличении числа степеней свободы распределения Стьюдента асимптотически переходит в нормальное распределение Гаусса с параметрами
M[T] = 0 и D[T] = 1.
В математической статистике часто используется квантили распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы r и заданного уровня вероятности.
С геометрической точки зрения нахождение квантилей распределения Стьюдента , заключается в таком выборе значения, при котором суммарная площадь под кривой плотностина участкахибыла бы равно.
2.2 Расчеты
Дана выборка:
Количество интервалов Nint=9
Минимальное и максимальное значение выборки:
Ширина подынтервала:
Граничные точки подынтервалов:
Чтобы найти абсолютные частоты отсортируем выборку с помощью функции rsort( ) и запустим цикл для данной выборки.
Построим гистограмму:
Найдем оценки для математического ожидания и дисперсии:
Для этого найдем середины отрезков данных интервалов:
Найдем математическое ожидание:
Найдем дисперсию и сигму:
Доверительный интервал для мат.ожидания:
Надёжность равна 0.95
Квантили распределения Стьюдента, найденные по таблице:
t=1.98
Левая и правая границы доверительного интервала:
Доверительный интервал для дисперсии при той же надежности:
Квантили распределения Пирсона, найденные по таблице:
Квантиль при 0.975 = 129.6
Квантиль при 0.025 = 74.2
Левая и правая границы доверительного интервала:
Для того чтобы проверить гипотезу о том, что наша выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, найдем теоретические частоты.
Пользуемся функцией Гаусса вида:
Проделаю эту операцию 9 раз, так как у меня 9 подынтервалов:
Найденные частоты:
Проверим данную гипотезу с помощью критерия хи-квадрат Пирсона:
По таблице найдем критическую точку для данной выборки при уровне значимости равным 0.05 и степенями свободы равным k:
k = 6
Где S –количество интервалов, т.е равно 9 и r– количество параметров, для нормального распределения - их 2.
hi kvadrat viborochnaya = 10.535
hi kriticheskaya = 12.592
hivibor<hikrit
Значит, гипотезу о нормальном распределении выборки принимаем.