C _Учебник_МОНУ

Приклад 4.35 Написати програму наближеного обчислення інтегралу функції f x x3 x2 4.4x 4 трьома методами: прямокутників, трапецій та Сімпсона на заданому інтервалі x a,b із заданою точністю .

Розв‟язок. У багатьох наукових та інженерних задачах треба віднайти значення інтегралу функції f(x), де х змінюється на проміжку [a, b]. Якщо для неперервної на проміжку підінтегральної функції можна віднайти первісну функцію F(x), то визначений інтеграл легко обчислити за формулою Ньютона–Лейбніца:

b

f x dx F b F a

a

Але у багатьох випадках не вдається знайти первісну функцію або вона є настільки складною, що обчислювати інтеграл за її допомогою важче, аніж у інші способи. У таких випадках застосовують методи чисельного інтегрування, які базуються на тому, що значення інтегралу дорівнює площі криволінійної трапеції, розміщеної поміж лінією графіка функції та віссю абсцис (рис. 4.1). Згідно з цими методами, проміжок інтегрування [a, b] слід поділити на кілька відрізків (приміром, n відрізків), та замінити площу S зазначеної криволінійної трапеції на суму площин маленьких криволінійних трапецій si, на яких задану функцію f(x) замінено наближеною функцією fі (x), тобто

si

Залежно від того, якими є наближені функції fі(x), існують різні методи (формули) обчислення визначених інтегралів. В усіх цих методах інтеграл наближено обчислюють як певну сукупність значень підінтегральної функції f(xі), де хi = a + ih межі відрізків інтегрування, h = хi+1 хi, крок інтегрування, i = 0, 1, …, n. Найбільш відомими в інженерній практиці є методи чисельного інтегрування: прямокутників, трапецій та Сімпсона.

Для чисельного обчислення інтегралів методом прямокутників задану

функцію f(x) на кожному відрізку h = хi+1 хi (де і = 0, 1, …, n) замінюють на прямі лінії, паралельні до осі абсцис (рис. 4.2). При цьому криволінійна трапе-

ція замінюється на n прямокутників.

si

Рис. 4.2. Інтерпретація інтегрування методом прямокутників

В основу формули трапецій покладено заміну кривої підінтегральної функції на ламану, тобто з‟єднуються прямими лініями значення функцій на кінцях відрізків. Отже, площу криволінійної трапеції наближено замінюємо на суму площин n трапецій (рис. 4.3).

si

Рис. 4.3. Інтерпретація інтегрування методом трапецій

Загальна площа трапецій S і відповідно наближене значення інтегралу за методом трапецій обчислюється за формулою

Для наближеного обчислення інтеграла за методом Сімпсона крива підінтегральної функції замінюється на відрізки квадратичних парабол, проведених через кінці кожних трьох сусідніх ординат значень функції, при цьому весь

проміжок інтегрування розбивають на парну кількість n відрізків [xi – h, xi + h]. Отже, площу криволінійної трапеції наближено замінюємо на суму n/2 площин під параболами (рис. 4.4).

si

Рис. 4.4. Інтерпретація інтегрування методом Сімпсона

Остаточна формула обчислення інтегралу S методом Сімпсона:

Порівнюючи похибки наведених трьох методів, зазначимо, що метод Сімпсона дає точний результат для поліномів до третього ступеня включно, а методи прямокутників та трапецій є точними лише за інтегрування поліномів ступеня не вище за перший.

Зображення інтегралу на формі організовано за допомогою компонента

Image . Зображення у форматі bmp завантажено до властивості Picture цього компонента.

Текст програми:

// Підінтегральна функція double f(double x)

{ return x*x*x-x*x-4.4*x+4;

}

// Метод прямокутників

double integral_Pr(double a, double b,double eps)

{double h=eps,s,x;

for(s=0, x=a; x<b ; x+=h) s+=f(x); return h*s;

}

У цієї програми є один суттєвий недолік. Якщо парних чисел немає, то результатом обчислення добутку буде виведено 1. Замість цього бажано вивести повідомлення, що парних чисел введено не було. Для цього слід вести підрахунок кількості введених парних чисел. Якщо після циклу ця кількість становитиме 0, то слід вивести повідомлення. Для обчислення кількості візьмемо ще одну цілу змінну, значення якої спочатку є 0 (парних чисел ще нема). Якщо введене число є парне, кількість збільшується на 1.

Текст програми: int main()

{int i, x, p = 1;

for(i = 1; i <= 12; i++)

{ cout << "Ввести " << i << " число: ";

if(k > 0) // Якщо кількість парних чисел є більше за 0, виведеться на екран cout << "Добуток парних чисел: " << p << endl; // добуток,

else // інакше – виведеться повідомлення, що парних чисел немає. cout << "Парних чисел немає." << endl;

getch(); return 0;

}

Результати виконання програми:

Ввести 1 число: 3 Ввести 2 число: 1 Ввести 3 число: –7 Ввести 4 число: 5 Ввести 5 число: 3 Ввести 6 число: –7 Ввести 7 число: 3 Ввести 8 число: 7 Ввести 9 число: 11 Ввести 10 число: –17 Ввести 11 число: –5 Ввести 12 число: 3 Парних чисел немає.

Приклад 4.38 Увести шість дійсних чисел та віднайти найбільше з них. Розв‟язок. Алгоритм пошуку максимального числа:

1)ввести перше число x;

2)вважаємо, що воно є максимальним:

max = x;

Результат виконання програми:

Таблиця степенів двійки

01

12

24

38

416

532

664

7128

8256

9512

101024

Для завершення натисніть <Enter>

Приклад 4.40 Написати програму, яка обчислює часткову суму ряду: 11 3 1 5 1 7 1 9 ... для заданої кількості членів ряду, яка вводиться корис-

тувачем (при підсумовуванні достатньо великої кількості членів цього ряду, значення часткової суми наближується до 4 ).

Розв‟язок. Для обчислення запишемо формулу для обчислення доданка

Текст програми: int main()

{// Обчислення числа з використанням властивості ряду 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ...

// вельми значної (понад 1000) кількості елементів ряду, наближається до /4 printf("Обчислення суми ряду 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...\n"); printf("Введіть кількість членів ряда для суми ->" ); scanf("%i", &n);

for(int i = 1; i <= n; i++) { x = 1./(2*i - 1) ;

if((i % 2)==0) x = -x; sum += x;

}

printf("Сума ряду: %2.6f\n", sum);

printf("Обчислене значення числа ПІ = %2.6f\n", sum * 4); printf("\nДля завершення натисніть <Enter>");

getch(); return 0;

}

Результат виконання програми:

Обчислення суми ряду 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Введіть кількість членів ряду для суми -> 10000

Сума ряду: 0.785375

Обчислене значення числа ПІ = 3.141499 Для завершення натисніть <Enter>

Приклад 4.41 Послідовно ввести вісім дійсних чисел і обчислити середнє арифметичне додатних з цих чисел.

Розв‟язок. Для обчислення середнього арифметичного додатних чисел слід обчислити в циклі їхню суму та кількість. Після циклу, коли сума та кількість вже остаточно обчислено, значення суми слід поділити на кількість, якщо кількість є більше за нуль (серед уведених чисел є додатні).

Текст програми:

#include <vcl.h> #pragma hdrstop #include <stdio.h> #include <conio.h> #pragma argsused

//-------------------------------------------------------------

int main(int argc, char* argv[])

{int i, k = 0; float x, s = 0, sred; for(i = 1; i <= 8; i++)

{cout << "Ввести " << i << " число "; cin >> x;

if(x > 0) {s += x; k++;} // Накопичення суми і кількості додатних

}

if(k > 0)

{sred = s / k;

cout << "Середнє арифметичне додатних: " << sred << endl;

}

else cout << "Додатних чисел нема" << endl; getch();

return 0;

}

Результати виконання програми:

Ввести 1 число: 5 Ввести 2 число: 2 Ввести 3 число: -7 Ввести 4 число: 3 Ввести 5 число: 5 Ввести 6 число: -1 Ввести 7 число: 3 Ввести 8 число: 7

Середнє арифметичне додатних: 4.16667

Приклад 4.42 Написати програму, яка переведе введене користувачем десяткове число до двійкової системи числення.

Розв‟язок. Алгоритм такого переведення розглядався в п. 1.4.4 (див. стор. 19).

Текст програми:

#include <vcl.h> #pragma hdrstop #include <stdio.h>