3.2. Умови рівноваги довільної просторової системи сил

Для рівноваги довільної просторової системи сил (система сил була еквівалентна нулю) необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи відносно будь-якої точки Одорівнювали нулю, тобто

;.

Ці умови називаються умовами рівноваги довільної системи сил у векторній(геометричній) формі. Умови рівноваги довільної просторової системи сил ваналітичній формі:

;

;

;

;

;

.

Отже, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій усіх сил на координатні осі та суми моментів цих сил відносно осей координат дорівнювали нулю.

При розв’язуванні задач про рівновагу просторової системи сил, прикладених до твердого тіла, з рівнянь можна визначити шість невідомих величин.

Приклад 1.

Рис. 3.4

На горизонтальний вал (рис. 3.4), що лежить у підшипниках Аі D, діють силиі. Силиідіють в площині шківівBіC, радіуси яких становлять,. У стані рівноваги сила, силавідхилена від горизонту на кут. Дано розміри:,,. Визначити силуі реакції підшипниківАі D, коли.

Розв’язання. Розглянемо рівновагу вала, на який діють активні силиі. В’язами для нього є підшипникиАі D. Згідно з аксіомою про в’язі, звільняємо вал від в’язів і замінюємо їх реакціями,і, що лежать у площинах, перпендикулярних до осі підшипниківАі D. Візьмемо систему координат, як показано на рис. 3.4. Невідомі реакціїіподаємо складовими, які треба визначити.

Для розв’язання задачі скористаємось умовами рівноваги довільної просторової системи сил в аналітичній формі:

; ; 3. ;

; ; 6. .

У цьому прикладі друга умова виконується тотожно, оскільки проекції всіх сил, у тому числі реакцій в’язів на вісь дорівнюють нулю. З п’яти умов рівноваги, що залишилися, слід визначити п’ять невідомих величин:– задача статично визначена.

Щодо заданою задачі умови рівноваги мають вигляд.

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

Звідси з шостої умови

,

з п’ятої умови

,

з четвертої умови

,

з третьої умови

,

з першої умови

.

Відповідь: ,,,,.

Знаки “-” реакцій в’язів означають, що справжнє напрямлення цих складових протилежне показаним на рисунку.

Приклад 2.

Рис. 3.5

На горизонтальний вал (рис. 3.5) насаджені зубчасте колесорадіусаі шестернярадіуса. До колесапо дотичній діє горизонтальна сила, до шестерніпо дотичній діє вертикальна сила. Дано розміри:,,. Визначити силуі реакції підшипниківів рівновазі.

Розв’язання. Розглянемо рівновагу вала разом з зубчастим колесомі шестернею. В’язами для нього є підшипникиі. Звільнимо вал від в’язів, невідомі реакції в’язівіподамо складовими. Невідомі складові лежать у площинах, перпендикулярних до осі підшипників -,. Обираємо систему координат, як показано на рис. 3,5, тобто в точціпочаток координат. Тоді невідомими реакціями в’язів є, які і треба визначити.

У цьому прикладі з шести умов рівноваги довільної просторової системи сил залишиться також п’ять рівнянь, тому що перша умова виконується тотожно – проекції усіх сил на вісь А_хдорівнюють нулю.

З п’яти умов рівноваги слід визначити п’ять невідомих величин: і- задача статично визначена.

Умови рівноваги вала :

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

Звідси

;

;

;

;

.

Відповідь: ,,,,.

Реакції - спрямовані у напрямку, протилежно визначеному на рисунку.