§1 Потік магнітного поля. Теорема Гауса для магнітного поля в вакуумі.

Нехай в просторі задана деяка поверхня S будь-якої форми. Виділимо елементарну площадку dS.

(7.1)

[Ф]=1Вб=1Тлм²=1Нм²/Ам=1Вс

1Вб – це потік магнітного поля при індукції 1Тл крізь площадку в 1м², розташовану  до вектора .

- кількість магнітних ліній, що виходять і входять в замкнену поверхню.

- поле заряда q, який рухається рівномірно і повільно.

(7.2)

Вираз (7.2) є теорема Гауса в локальній (або диференціальній) формі:

дивергенція магнітного поля всюди дорівнює нулю.

Дивергенція  це питома алгебраїчна потужність джерел. Отже, в природі не існує магнітних зарядів, які були б джерелами магнітного поля.

За теоремою Остроградського-Гауса:

, S це замкнена поверхня, яка оточує обєм V. Отже, (7.3)

Це теорема Гауса для магнітного поля в вакуумі в інтегральній формі:

потік вектора магнітної індукції крізь довільну замкнену поверхню дорівнює нулю.

Отже, лінії магнітного поля завжди замкнені.

§2 Теорема про циркуляцію магнітного поля у вакуумі.

Циркуляція вектора:

Розглянемо прямий струм у тонкому провіднику, обмежимо його плоским контуром довільної форми.

Отже, циркуляція вектора за контуромlдорівнює добутку магнітної сталої на силу струму, що охоплюється цим контуром.

Якщо струм не охоплюється контуром:

, якщо струм

охоплюється

контуром

0, якщо струм

не охоплюється

контуром

інтегрування

Знак циркуляції може бути “+” і “”. Знак циркуляції можна врахувати, вважаючиIалгебраїчною величиною. Додатнім вважають струм, напрямок якого повязують з напрямом правила правого свердлика.

Нехай маємо струми I₁, I₂,…, I_N .

(7.4)

Циркуляція магнітного поля (вектора ) постійних струмів в вакуумі за довільним контуромl дорівнює добутку магнітної сталої на алгебраїчну суму струмів, що охоплюються цим контуром.

(7.5)

Той факт, що циркуляція вектора в загальному випадку не дорівнює нулю, говорить про те, що магнітне поле не є потенціальним на відміну від електростатичного.

Поняття скалярного потенціалу відсутнє.

§3 Обчислення магнітних полів за допомогою теореми про циркуляцію.

1) Магнітне поле прямолінійного провідника радіуса Rнескінченної довжини з струмомI.

1.

2.

2) Магнітне поле нескінченно довгого соленоїда

n– кількість витків на одиницю довжини

Можна показати, що магнітне поле нескінченно довгого соленоїда зосереджене всередині каркаса, а назовні відсутнє взагалі.

У будь-якій точці соленоїда поле однорідне, і в будь-якій точці магнітна індукція дорівнює значенню магнітної індукції на осі.

(7.6)

nI– кількість ампер-витків.

3) Магнітне поле тороїда

(7.7)

Алгоритм розвязку задач:

Аналіз симетрії магнітного поля.

Раціональний вибір контура.

Безпосереднє обчислення циркуляції вздовж контура.

Застосування теореми і вираження .

§4 Локальна форма теореми про циркуляцію.

За теоремою Стокса:

(7.8)

У кожній точці простору в вакуумі ротор магнітного поля дорівнює добутку магнітної сталої на вектор густини струму в цій точці.