konspekt_lektsy_biblioteka_2

Коническая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образующей,

которая пересекает ось (рисунок 7.8).

Однополостный гиперболоид вра-

щения образуется вращением прямой – обра-

зующей, скрещивающейся с осью вращения.

На рисунке 7.9 построен однополостный ги-

перболоид вращения. Для построения этой поверхности изображено двенадцать положе-

ний образующей. Главным меридианом ги-

перболоида вращения будет гипербола.

Поэтому если гиперболу вращать во-

круг оси, также получим гиперболоид враще-

ния.

Рисунок 7.9

50

Нелинейчатые поверхности вращения (криволинейные).

В зависимости от формы образующей и положения оси вращения получается тот или иной вид поверхности: сфера (рисунок 7.10а), тор (рисунок 7.10б), эллипсоид (рисунок 7.10в)

и т.п.

Рисунок 7.12

что если соединить следы касательных к винтовой линии на плоскости перпендикулярной оси, получим эвольвенту окруж-

ности. Поэтому, определив фронтальное положение этих сле-

дов мы можем построить фронтальные проекции касательных к винтовой линии (рисунок 7.12).

Наклонный геликоид – образуется перемещением прямой образующей, которая все время остается параллельной направляющему конусу, по двум направляющим – винтовой линии и оси (рисунок 7.13).

Для построения поверхности наклонного геликоида сначала строим направляющий конус с образующими, а затем уже строим ряд образующих поверхностей, параллельных об-

разующим конуса.

Рисунок 7.13

52

Поверхности переноса.

Поверхности переноса образуются поступательным переносом одной кривой линии вдоль другой (рисунок 7.14).

Каркасные поверхности, задаются некоторым числом дискретных каркасов.

Примером, является обшивка автомоби-

лей, самолетов, кораблей и т.п.

Рисунок 7.14

Топографическая поверхность представляет-

ся рядом горизонталей поверхности (рисунок 7.15).

Рисунок 7.15

53

Лекция 8. Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью

∙Пересечения поверхностей проецирующими плоскостями.

-Пересечение многогранника плоскостью.

-Пересечение кривых поверхностей плоскостью. Конические сечения.

∙Пересечение прямой линии с поверхностью.

Пересечения поверхностей проецирующими плоскостями

Пересечение многогранника плоскостью

В пересечении поверхности плоскостью образуется линия называемая сечением. Се-

чением многогранника является многоугольник. Для его построения необходимо определить точку пересечения каждого ребра с плоскостью и соединить полученные точки с учетом ви-

димости. Фактически решение такой задачи рассматривалось в лекции 2 (рисунок 2.13).

В данной лекции рассмотрим построение линии сечения пирамиды плоскостью Ϭ (рисунок 8.1).

Так как плоскость Ϭ фронтально-проецирующая,

фронтальная проекция сечения совпадает с плоскостью

Ϭ. Точки 1,2,3 – точки пересечения боковых ребер пи-

рамиды с плоскостью Ϭ. Поэтому достаточно построить горизонтальные проекции этих точек. Точки 11 и 31

находятся по вертикальным линиям связи на ребрах

A1S1 и C1S1. Так как ребро SB профильное, для нахожде-

ния точки 21 через проекцию 22 проведем прямую 2242,

лежащую на грани ASB и параллельную AB. Построив,

горизонтальную проекцию определим положение про-

екции 21. Соединив, полученные точки, получим тре-

угольник. Треугольник видимый, т.к. все грани пирами-

Рисунок 8.1

ды видимые.

Пересечение кривых поверхностей плоскостью

Конические сечения

В зависимости от положения секущей плоскости, различают следующие виды кони-

ческих сечений (рисунок 8.2):

I – окружность – секущая плоскость перпендикулярна оси.

54

II – треугольник – секущая плоскость проходит через вершину конуса.

III – эллипс – секущая плоскость пе-

ресекает все образующие конуса (α < φ).

IV – парабола – секущая плоскость параллельна образующей конуса (α = φ).

V – гипербола – секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (α >

φ).

Построение линии сечения конуса по окружности и треугольнику не вызывает за-

труднений. Для окружности – замеряем ра-

диус, для треугольника – находим точки пе-

ресечения с основанием. Построения пока-

заны на рисунок 8. 2.

Для построения сечений конуса по эллипсу, параболе, гиперболе, необходимо определить несколько точек, принадлежа-

щих линии сечения. Для нахождения этих

точек используется метод плоскостей по-

Рисунок 8.2

средников.

Алгоритм решения задачи состоит в следующем:

а) проводят плоскости посредники;

б) строят линии пересечения посредников с данной поверхностью и с плоскостью;

в) определяют точки пересечения между собой полученных линий;

г) соединяют полученные точки с учетом видимости.

Для примера рассмотрим построение конуса по эллипсу (рисунок 8.3). Т.к. плоскость Ϭ фронтально-проецирующая, необходимо построить горизонтальную проекцию сечения. В

первую очередь строятся опорные точки сечения, в данном случае высшая и низшая точка сечения, лежащая на контурных образующих (1 и 2). 1,2 – большая ось эллипса. Чтобы сече-

ние получилось правильным, необходимо найти положение малой оси 3,4. Для нахождения горизонтальной проекции 31, 41, через фронтальные проекции точек проводим вспомогатель-

ную горизонтальную плоскость посредник, которая рассекает конус по окружности. Таким же образом строим промежуточные точки 5,6,7,8. Полученные точки соединяем плавной кривой линией.

55

Аналогично строятся линии пересечения других поверхностей плоскостями. Гораздо проще строить сечения поверхностей, проецирующими плоскостями, поэтому, если задана плоскость обще-

го положения, имеет смысл выполнить замену плоскостей проекций, перпендикулярно заданной плоскости, а затем уже строить сечение.

Рисунок 8.3

Пересечение прямой линии с поверхностью

Для определения точек пересечения прямой линии с поверхностью применяется ме-

тод вспомогательных секущих плоскостей (рисунок 8.4)

Алгоритм решения задачи следую-

щий:

1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную секущую плоскость Ϭ.

2. Строим линию пересечения m

плоскости Ϭ с заданной поверхностью Ф. 3. Определяем точки пересечения

К и М прямой ℓ с построенной линией пере-

сечения m. Это и будут искомые точки пе-

ресечения прямой ℓ с поверхностью.

Рисунок 8.4

4. Определяем видимость прямой.

Нужно подчеркнуть, что вспомогательная плоскость выбирается такой, чтобы сечение поверхности было простейшим.

56

Рассмотрим несколько примеров на определение точек пересечения прямой с поверх-

ностью.

Примеры построения пересечение прямой с различными поверхностями

Пример 1. Построить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью наклонной трех-

гранной призмы (рисунок 8.5).

Последовательность решения следующая:

1.Через прямую ℓ проводим вспомога-

тельную фронтально-проецирующую плоскость Ϭ.

2.Строим линию пересечения плоскости Ϭ

ипризмы. Сечением является треугольник 1, 2, 3.

3.Определяем точки пересечения прямой ℓ с треугольником сечения (точки L и М).

4.Определяем видимость прямой ℓ.

Пример 2. Поострить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью наклонного цилиндра

(рисунок 8.6).

Ход решения:

окружностью основания проводим образующие цилиндра.

3.определяем точки пересечения К1 и М1 прямой ℓ1 с линией сечения. Фронталь-

ные проекции точек К2 и М2 определяем по линиям связи.

4.Устанавливаем видимость прямой.

Пример 3. Построить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рисунок 8.7)

Ход решения.

1. Через прямую ℓ проводим плоскость α(ℓ×m) общего положения проходящую через вершину конуса.

Такая плоскость пересекает конус по треугольнику.

2. Строим линию сечения ко-

нуса плоскостью α. Для этого опреде-

ляем линию пересечения плоскости α с плоскостью основания конуса (точки 1

и 2, соответственно точки пересечения прямых ℓ и m с плоскостью основания).

Горизонтальная проекция линии пере-

сечения 1,2 пересекает окружность ос-

нования. Полученные точки соединяем с вершиной конуса.

3. Определяем точки К1 и М1

пересечения прямой ℓ1 с полученным Рисунок 8.7 сечением. Фронтальные проекции

определяем по линиям связи.

4.Устанавливаем видимость прямой ℓ.

Пример 4. Построить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью сферы (рисунок

8.8)

Последовательность решения:

1.Через прямую ℓ проводим горизонтально-проецирующую плоскость δ.

2.Для построения линия пересечения сферы плоскостью α выполняем замену фронтальной плоскости проекций П2 на П4 параллельную плоскости δ. Строим окружность радиуса R (фигура сечения) и новую проекцию прямой А4В4.

3.Определяем точки пересечения К4 М4 прямой ℓ4 и окружности сечения. Далее,

используя линии проекционной связи строим проекции точек К1, М1 и К2, М2.

58

4. Определяем видимость

прямой ℓ,

Рисунок 8.8

59