konspekt_lektsy_biblioteka_2

фронтальные проекции параллельны, сами прямые могут быть не параллельны. Для опреде-

ления их взаимного положения можно построить профильную проекцию. (рисунок 1.11б).

положена ближе к зрителю и будет видима на фронтальной проекции. Определение видимо-

сти конкурирующих точек позволит нам в дальнейшем определять видимость прямой отно-

сительно плоскости.

10

Задание плоскости в ортогональных проекциях

Следы плоскости

Положение плоскости в пространстве определяется тремя не лежащими на одной прямой точками, прямой и не лежащей на ней точкой, двумя параллельными или пересека-

ющимися прямыми, плоской фигурой. Примеры задания плоскости даны на рисунке 1.14.

Рисунок 1.14

Все изображенные на рисунке 1.14 плоскости являются плоскостями общего положе-

ния. Плоскостью общего положения называется плоскость не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость также можно задать следами. Следами плоскости называются линии пе-

ресечения плоскости с плоскостями проекций (рисунок 1.15).

Т.к.

их построения жащие им.

ды лежат строения ды двух

1.15).

Рисунок 1.16

11

Фронтальным следом плоскости ά называется линия ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций П2 . Обозначается фронтальный след буквой f ά. Фронтальная проекция этого следа f2ά совпадает с самим следом, а горизонтальная f1ά лежит на оси х12 .

Горизонтальный след плоскости – линия пересечения с горизонтальной плоскостью проекций П1 . Аналогично горизонтальный след плоскости hά совпадает со своей горизон-

тальной проекцией h1ά, а его фронтальная проекция лежит на оси х12 .

Они имеют общую точку на оси х – точку схода следов.

Прямые и точки в плоскости

Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой принадлежащей этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Рисунок 1.17

На рисунке 1.17а. фронтальная проекция точки К выбрана произвольно в плоскости ά

( АВС). Для построения горизонтальной проекции через К2 проведена произвольная прямая проходящая через точки 12 и А2 принадлежащие плоскости ά. Построив горизонтальные про-

екции точки 11 проведем горизонтальную проекцию прямой принадлежащей плоскости ά и по линии связи найдем на ней горизонтальную проекцию К1.

Аналогично построена точка К принадлежащая плоскости β (f α×h α) (рисунок 1.17б) и

плоскости γ (a||b) (рисунок 1.17в).

Главные линии плоскости

Главными линиями плоскости называются ее горизонтали, фронтали и линии

наибольшего ската.

Горизонтали плоскости – это прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций – h (h1, h2) .

Все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтально-

12

му следу плоскости. Фронтальные проекции горизонталей параллельны оси Х12 (рисунок

1.18).

Рисунок 1.18

Фронтали плоскости – это прямые, принадлежащие плоскости и параллельны фрон-

тальной плоскости проекций – f (f1, f2).

Все фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны фронтальному следу плоскости. Горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Х12 (рисунок 1.19).

Рисунок 1.19

Плоскости частного положения

Плоскости как и прямые относительно плоскостей проекций могут занимать частное положение. Плоскости, перпендикулярные или параллельные одной из плоскостей проекций,

называются плоскостями частного положения.

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проеци-

рующими (рисунок 1.20).

Рисунок 1.20

13

а) горизонтально проецирующая плоскость ά ( АВС);

Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями уровня (рисунок 1.21).

Рисунок 1.21

а) горизонтальная плоскость уровня β, заданная треугольником АВС;

б) фронтальная плоскость уровня ε заданная пересекающимися прямыми mn;

в) профильная плоскость уровня γ, заданная треугольником KLM.

Изображение простейших геометрических поверхностей

Многогранники представляют собой совокупность отрезков прямых и плоских фигур.

На рисунке 1.22 изображены:

а) трехгранная прямая призма.

б) трехгранная пирамида.

Рисунок 1.22

14

На рисунке 1.23 изображены простейшие кривые поверхности:

а) прямой круговой цилиндр.

б) прямой круговой конус.

Рисунок 1.23

15

Лекция 2. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

∙Проекции прямого угла.

∙Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей:

-перпендикулярность прямой и плоскости;

-перпендикулярность двух плоскостей;

-параллельность прямой и плоскости;

-параллельность двух плоскостей;

-пересечение прямой и плоскости;

-пересечение двух плоскостей;

∙Пересечение многогранника проецирующей плоскостью.

Проекции прямого угла

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми в общем случае на проекци-

ях искажается. В натуральную величину этот угол будет проецироваться в том случае, если плоскость угла параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда другие проекции сторон угла совпадают и параллельны оси проекций (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1

Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон парал-

лельна одной из плоскостей проекций (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

16

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая относительно плоскости может занимать следующие положения:

-лежать в плоскости (что рассматривалось ранее);

-быть ей параллельна;

-пересекать плоскость;

-быть перпендикулярной плоскости (т.е. пересекать под прямым углом).

Две плоскости могут быть

-взаимно параллельными,

-пересекающимися;

-взаимно перпендикулярными.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересека-

ющимся прямым лежащим в этой плоскости.

Так как прямой угол между прямыми линиями проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости проекций, то пересекаю-

щимися прямыми плоскости, которые нужно взять для построения перпендикуляра, могут быть только ее горизонталь и фронталь.

Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная про-

екция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная

проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

На рисунке 2.3 через точку А(А1;А2) проведена прямая, перпендикулярная плоскости ά(∆ВСD).

В плоскости ά проведены горизонталь h (h1,h2) и

фронталь f (f1,f2) , затем через А1 проведена горизонталь-

ная проекция перпендикуляра p1 под прямым углом к h1,

а через точку А2 фронтальная проекция перпендикуляра p2 под прямым углом к f2. Прямые p1 и p2 есть проекции искомого перпендикуляра р.

р ┴ ά → (p1 ┴ h1)+ (p2 ┴ h2)

Рисунок 2.3

17

Перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны,

если одна из них содержит перпендикуляр к дру-

гой.

Пусть через данную прямую m необходимо провести плоскость, перпендикулярную плоскости

ά заданной треугольником ∆ВСD (рисунок 2.4).

Для решения задачи достаточно на прямой m

взять произвольную точку А и провести через нее прямую р, перпендикулярную данной плоскости ά.

Пересекающиеся прямые m и р образуют плоскость

β, которая содержит прямую р, перпендикулярную

плоскости ά, следовательно, плоскости β и ά взаимно Рисунок 2.4 перпендикулярны.

β (m x p) ┴ ά(∆ВСD) где p┴ ά(∆ВСD)

Параллельность прямой и плоскости

Условие параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принад-

лежащей этой плоскости.

Рассмотрим пример решения задачи на параллельности прямой и плоскости.

Задача: построить фронтальную проекцию прямой n, проходящей через точку А и па-

раллельной плоскости ά (∆KLM).

Для решения задачи:

Проводим горизонтальную проекцию прямой l1 в

плоскости ά(∆KLM)||n1.

Строим фронтальную проекцию l2.

Через точку А2 проводим n2 параллельную l2.

Таким образом получим:

n || ά(∆KLM) т.к. n1 || l1 , n2 || l2 и l ϲ ά

Рисунок 2.5

Параллельность двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей:

две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости

18

соответственно параллельны двум пересекающимся

прямым другой плоскости.

Изображенные на рисунке 2.6 плоскости

ά(∆ВСD) и β (k x l) взаимнопараллельны, т.к. k||AB, l||BC.

Рисунок 2.6

Пересечение прямой и плоскости

Задача на нахождение точки пересечения прямой линии с плоскостью является первой основной позиционной задачей курса начертатель-

ной геометрии.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.7):

1.Прямую l заключаем во вспомогательную плоскость σ (удобнее всего в проециру-

ющую);

2.Находим линию пересечения (1-2) вспо-

могательной плоскости с заданной ά;

3.Отмечаем точку пересечения К найден-

ной линии пересечения (1-2) с заданной

На основании данного алгоритма определим точку пересечения прямой l с

плоскостью ά(∆ВСD) (рисунок

2.8) и с плоскостью β (f α x hα)

(рисунок 2.9).

19