konspekt_lektsy_biblioteka_2

Лекция 6. Аксонометрия

Тени в аксонометрических проекциях

∙Общие сведения.

∙Типы аксонометрических проекций.

∙Стандартные виды аксонометрических проекций.

∙Построение аксонометрического изображения.

∙Тени в аксонометрии.

Общие сведения

Ортогональные проекции, обладая рядом достоинств, имеют также и определенные недостатки, главным из которых является отсутствие наглядности полученных изображений.

Более наглядными, достаточно простыми по начертанию и позволяющими выполнять измерения, являются аксонометрические проекции. Аксонометрические проекции, также как и ортогональные, строятся по принципу параллельного проецирования, но на одну плос-

кость.

Аксонометрией называется метод отображения пространства на плоскость вместе с системой координат и изображение, полученное этими методом.

На рисунке 6.1, показан принцип получения аксономет-

рии, точки А.

Точка А связана с систе-

мой прямоугольных координат

OXYZ. На осях отложены единич-

ные отрезки еx = еy = еz = е.

Это натуральные мас-

Рисунок 6.1

штабные единицы.

S – направление проецирования.

П' – плоскость аксонометрических проекций (иногда называется картинной плоско-

стью).

По направлению проецирования, спроецируем единичные отрезки на аксонометриче-

скую плоскость проекций, получим аксонометрическую систему координат O'X'Y'Z'.

Точка А' – аксонометрическая проекция точки А,

Точка А1'– аксонометрия горизонтальной проекции А1, называемой вторичной проек-

40

цией.

Отрезки еx', еy', еz' на аксонометрических осях могут быть не равны между собой и не равны е. Они являются единицами измерения по аксонометрическим осям – аксонометриче-

ские масштабные единицы.

Отношения аксонометрических единиц к натуральным называются показателями ис-

кажения по аксонометрическим осям.

U = еx'/ еx – коэффициент искажении по оси X';

V = еy'/ еy – коэффициент искажения по оси Y';

W = еz' / еz – коэффициент искажения по оси Z'.

Основной теоремой аксонометрии является теорема "Польке-Шварца":

всякий невырождающийся полный четырехугольник можно считать параллель-

ной проекцией тетраэдра наперед заданной формы.

С доказательством теоремы можно познакомиться в учебнике (1, 2).

Эта теорема позволяет установить зависимость между углом проецирования и коэф-

фициентами искажения.

Типы аксонометрических проекций

В зависимости от угла проецирования φ аксонометрия делится на два типа: прямо-

угольная и косоугольная.

Если направление проецирования является перпендикулярным к плоскости аксоно-

метрических проекций – аксонометрия называется прямоугольной (φ =90º), в противном случае – косоугольной (φ≠90º).

По показателям искажения аксонометрия делится на три типа.

Если все показатели искажения равны, т.е. U = V = W, аксонометрия называется изо-

метрией.

Если два показателя искажения равны, т.е. U = W ≠ U, то аксонометрия называется диметрией.

Если все показатели искажения различны, т.е. U ≠ V ≠W, то аксонометрия называется триметрией.

Натуральные показатели искажения по аксонометрическим осям в прямоугольной изометрии одинаковы и равны 0,82. В прямоугольной диметрии U = W = 0,94; V = 0,47.

Однако, при построении аксонометрии натуральные коэффициенты заменяют приве-

денными, т.е. выраженными целыми числами, что дает увеличение аксонометрического изображения, но на наглядность не влияет.

41

Стандартные виды аксонометрических проекций

В таблице 6.1 приведены наиболее применяемые стандартные виды аксонометриче-

ских проекций.

Таблица 6.1

Прямоугольная

Косоугольная

Горизонтальная изометрия

Примечание: коэффициенты искажения даны приведенные.

42

Построение аксонометрического изображения

Задача 1. Даны ортогональные проекции схематизированного здания (рисунок 6.2).

Построить прямоугольную изометрию.

Прежде всего, выбираем положение ортогональных осей для получения более нагляд-

ного изображения (рисунок 6.2).

Строим оси аксонометрических проекций под углом 120º (рисунок 6.3). Построение аксонометрии начинаем с плана, т.е. со вторичной проекции. Так как коэффициенты искаже-

ния равны 1, то измеряем, координаты X и Y каждой точки плана и откладываем их на аксо-

нометрических осях.

Прямые параллельные в ортогональных проекциях будут оставаться параллельными и в аксонометрии.

После построения плана откладываем все высоты параллельно оси Z, т.е. вертикально.

Соединив полученные точки с учетом видимости, получим аксонометрию здания.

Тени в аксонометрии.

Для придания более наглядного и реалистического изображения архитектурным объ-

ектам строят тени. Для построения теней задается положение луча света и его вторичной проекции. В принципе направление лучей выбирается произвольным.

43

На рисунке 6.4 показано построение тени точки А. Че-

рез горизонтальную проекцию А1 проводим луч параллельный вторичной проекции луча ℓ1. Через саму точку А – луч парал-

лельный лучу ℓ. В пересечении лучей получаем At – тень точки

А падающую на горизонтальную плоскость. Так как аксоно-

метрия является параллельной проекцией, как и ортогональные

проекции, то все закономерности, отмеченные в разделе те-

ни в ортогональных проекциях справедливы и для аксоно-

Рисунок 6.4

метрии.

Например.

Тень от прямой перпендикулярной плоскости совпадает с направлением проек-

ции луча на эту плоскость.

Тень от прямой параллельной плоскости ей параллельна и равна по величине.

Тень от прямой на плоскость, которую она пересекает, проходит через эту точку пересечения и т.п.

Задача 2. Построим тени аксонометрии схематизировано здания (рисунок 6.5).

Принимаем направление лучей

ℓ и ℓ1 под углом 45º. Определяем кон-

тур собственной тени при данном освещении.

Для высотной части, как и в ор-

тогональных проекциях, контур соб-

ственной тени 1,2,3,4,5. Для пристрой-

ки – 6,7,8,9. Сначала строим тени па-

дающие на горизонтальную плоскость,

т.е. на землю. Затем строим тень, па-

дающую от высотной части на при-

стройку, используя метод лучевых се-

Рисунок 6.5

чений. Сечение представляет трапе-

цию. Тень от точки 2 падает на наклонную плоскость. По построению мы видим, что тень от ребра 1,2 падает на землю, затем на стену вертикальную и на крышу, т.е. идет по сечению.

Далее, чтобы построить тень от прямой 2,3 на наклонной плоскости, находим точку пересе-

чения прямой 2,3 с наклонной плоскостью и соединяет 2t с этой точкой. При оформлении чертежа нужно всегда иметь ввиду, что собственная тень всегда светлее падающей.

44

Задача 3. Построить тени козырька на плоскость стены (рисунок 6.6)

Рисунок 6.6

Козырек призматический. При заданном направлении лучей определяем контур соб-

ственной тени 1,2,3,4,5. Точки 1 и 5 лежит на стене, поэтому строим тени точек 2,3,4. Для построения теней используется метод лучевых секущих плоскостей. Через вторичные проек-

ции точек 21,31,41, проводим лучи параллельны ℓ1, через точки 2,3,4 лучи параллельные ℓ.

Находим точки пересечения лучей с плоскостью стены. Соединяем полученные точки отрез-

ками прямых. В принципе можно было определить всего лишь одну точку 2t , т.к. прямые 2,3

и 3,4 параллельны плоскости стены и тени от них им параллельны и равны по величине.

45

Линейчатые поверхности.

Поверхность можно представить образованной перемещением какой-либо линии (об-

разующей) по второй линии (направляющей). Если образующая прямая линия, то поверх-

ность называется линейчатой, в противном случае – нелинейчатой или кривой.

Линейчатые поверхности делятся на развертываемые и не развертываемые.

Развертываемые линейчатые поверхности.

К развертываемым линейчатым поверхностям относятся: цилиндрическая, кониче-

ская и поверхность с ребром возврата

Цилиндрическая поверхность образуется па-

раллельным перемещением прямой – образующей по какой-либо криволинейной направляющей (рисунок 7.1).

Если направляющая – замкнутая линия, поверх-

ность называется замкнутой. Линия пересечения плоско-

стью, перпендикулярной образующим, называется нор-

мальным сечением. Все виды нормального сечения уточняют название поверхности: круговая, эллиптиче-

ская, параболическая и др.

Рисунок 7.1

Коническая поверхность образуется перемещением прямой (образующей), проходящей через одну неподвижную точку – вершину, по криволинейной направляющей (рисунок

7.2).

Неподвижная точка делит образующую на две полу-

прямые и поэтому поверхность образует две полости.

Коническая поверхность, как и цилиндрическая, мо-

жет быть замкнутой. Если направляющая является окружно-

стью, а вершина расположена на перпендикуляре, восста-

новленном в центре окружности, то поверхность называется прямым круговым конусом или поверхностью вращения. В

противном случае коническая поверхность называется по-

Рисунок 7.2

верхностью второго порядка.

47

Поверхность с ребром возврата (торс) образу-

ется при перемещении прямой линии в пространстве,

которая все время остается касательной к некоторой пространственной кривой линии, называемой ребром возврата (рисунок 7.3). Эта поверхность двупольная, так как точка касания образует две полупрямые.

Рисунок 7.3

Неразвертываемые линейчатые поверхности.

К неразвертываемым линейчатым поверхностям относятся поверхности с плоскостью параллелизма: цилиндроиды, коноиды и гиперболические параболы и др.

Цилиндроид – поверхность, полученная перемещением прямой образующей, которая все время остается параллельной определенной плос-

кости, называемой плоскостью параллелизма, по двум кривым направляющим (рисунок 7.4).

l – образующая;

m, n – направляющие ;

σ – плоскость параллелизма.

Рисунок 7.4

Коноид – поверхность, полученная перемеще-

нием прямой образующей, которая все время остается параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим, одна из которых прямая, вторая – кривая (рисунок 7.5).

l – образующая;

m, n – направляющие;

σ – плоскость параллелизма.

Рисунок 7.5

48

Гиперболический параболоид – по-

верхность, полученная перемещением пря-

молинейной образующей, которая все время остается параллельной плоскости паралле-

лизма по двум прямым направляющим (ри-

сунок 7.6)

l – образующая;

m, n – направляющие ;

σ – плоскость параллелизма.

Рисунок 7.6

Поверхности вращения.

Поверхности вращения образуются вращением какой-либо линии вокруг пря-

мой, называемой осью вращения.

Поверхности вращения делятся на линейчатые, когда образующая прямая и нели-

нейчатые, когда образующая кривая. Точки образующей при вращении дают окружности,

называемые параллелями, из которых наибольшая – экватор, наименьшая – горловина. Плос-

кости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по меридианам. Меридиан,

лежащий в плоскости параллельной плоскости проекций называется главным.

Линейчатые поверхности вращения.

В зависимости от положения прямой образующей по отношению к оси вращения, ли-

нейчатые поверхности делятся на цилиндрическую, коническую и однополостный гипербо-

лоид вращения.

Цилиндрическая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образу-

ющей, параллельной оси вращения (рисунок 7.7).

49