II. Внецентренное сжатие (растяжение)

аy аx Рис.7.9

Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т.О– центром тяжести сечении (рис. 7.9). При переносе силы в т.Обрус нагрузится продольной силойи изгибающим моментом, причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

Определение напряжений

Пусть на брус в т. «Р» с координатамиидействует растягивающая сила(рис. 7.9). Перенесем силусначала на ось(плечо), а затем в т.О(плечо). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:

(6)

В произвольной точке «В» сечения с координатамиинайдем по (7.2)

(7)

Подставляя (6) в (7) получим

(7.9)

Учитывая, что и подставляя в (7.9)

(7.10)

В произвольных случаях нагружения в формулы (7.9) и (7.10) инадо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осяхи.при растяжении бруса,при сжатии.

Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.

Нейтральная ось (Н.О)

Обозначим координаты точек на Н.О через . В этих точках. Подставляяив (7.10) и сокращая наполучим

(7.11)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой (ив первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при). Положение Н.О удобно определять отрезкамии, которые Н.О отсекает на осях координат (рис. 7.9) и проходит через т. «» и т. «». Допустим пока, чтои. Точка «» в этом случае имеет координаты. Подставляем это в (7.11) получим

Отсюда

(7.12а)

Аналогично т. «». Подставляянайдем

Отсюда

(7.12в)

Из (7.12) видно, что при иполучими, т.е. наше допущение неверно и правильно Н.О показана на рис. 7.9.

Свойства нейтральной оси

Из формул (7.12) следует:

1. Положение Н.О не зависит от величины и знака .

2. Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т.О.

3. При удалении полюса от т. О, Н.О приближается к нему и наоборот.

4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при полюс на оси,, т.е. Н.О параллельна осиили перпендикулярна оси).

5. При вращении Н.О вокруг произвольной точки «» на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т.О. Подставим в (7.11). Получим уравнение, которое относительно координатиесть уравнение прямой не проходящей через т.О.

6. Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 7.9 при .

Из соотношений (7.12) можно решить обратную задачу: зная положение Н.О (т.е. и) найти положение полюса, т.е.и

(7.13)

Расчеты на прочность

Определив положение Н.О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами ии т.2 с координатамии. Если в т. «Р» действует, то в т. 1 будутрастягивающие (р), а в т. 2сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (7.9) или (7.10):

(8)

При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут, в т. 2растягивающие.

Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.

Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых , первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (7.8), определивипо (6), апока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (7.8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом.

Ядро сечения

Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т.О.

а Рис.7.10

Ядро сечения– это некоторая область вокруг ц.т. (т.О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака). Если полюс «Р» расположен на границе ядра сечения, то Н.О только касается контура сечения. На этом и основанпорядок построения ядра сечения, показанный на рис. 7.10:

1. Даем Н.О все возможные положения, касательные к контуру сечения, учитывая симметрию сечения. Это Н.О (1) Н.О (4).

2. Для каждого положения Н.О (1) Н.О (3), т.е. вертикальных и горизонтальных, легко определить величины и знаки отрезкови(), зная размеры сечения и положение главных центральных осей.

Например, для Н.О (1) (Н.О (1) и осьпараллельны),показан на рис. 7.10.

3. По формулам (7.13) вычисляем для каждого положения Н.О координаты полюса, т.е. ии определяем эти т.1т.3 на рисунке сечения, выполненного в масштабе (рис. 7.10).

Для Н.О (4) – наклонной, определить изатруднительно. Поэтому здесь лучше использовать уравнение Н.О в виде (7.11). Н.О (4) проходит через т.т. «а» и «b» сечения, координаты которыхилегко определить (величины и знаки). Подставляем их в (7.11) вместоиполучим

(9)

Решаем эти два уравнения для вычисления и, это и будут координаты т. 4 на ядре. Из рис. 7.10 видно, что Н.О из одного положения в другое переводятся вращением вокруг точек сечения колонны, а согласно свойства 5 Н.О полюс при этом перемещается по прямой. Поэтому т.1т.4 на рис. 7.10 надо соединить прямыми линиями. Получим половину ядра сечения, заштрихованную на рис. 7.10. Сечение колонны симметрично относительно оси, поэтому и ядро его сечения симметрично относительно оси(вторая половина ядра показана пунктиром).

Ядра сечений некоторых фигур

1. Прямоугольное сечение :

Рис.7.11

Ввиду двух осей симметрии идостаточно двух положений Н.О Н.О (1): , ,

т.е. т.1 на оси . Н.О (2):, т.е. т.2 на оси.. Строим т.2., т.3 симметрична т.1, а т.4 симметрична т.2. Соединяем т.1т.4 прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба с размерамии.

2. Круглое сечение радиуса .

Рис.7.12

Ввиду осевой симметрии, достаточно одного положения Н.О . Получим т.1 на ядре. Ядро сечения здесь круг с радиусом .