25. Точки локального экстремума функции. Необходимое условие экстремума.

Определение. Будем говорить, что в точкеcфункцияf(x) имеет локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точкиc, в к-ойf(x) <f(c) (f(x) >f(c)) приxс.

(здесь рисунок)

Теорема 7.6. (Ферма). Если функцияf(x) имеет в точкеcлокальный экстремум и дифференцируема в точкес, тоf’(c) = 0.

Доказательство.

Пусть в точке cфункция имеет максимум (для минимума доказательство аналогично). Допустим,f’(c)0. Пустьf’(c) > 0. Тогда по теореме 7.5 функция возрастает в точкеcи, следовательно, существует окрестность точкиc, в которойf(x)f(c) приx>c, но это противоречит тому, что в точкеcфункция имеет локальный максимум. Таким же образом можно показать, чтоf’(c) < 0 не выполнено. Значит, Пустьf’(c) = 0, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

//Замечание. Условие f’(c) = 0 является только необходимым, но не достаточным условием существования локального экстремума дифференцируемой функции.

Пример.

(здесь рисунок)

f(x) =x³,f’(0) = 0.

26. Теорема Ролля.

Теорема 7.7. (Ролля)

Пусть выполнены следующие три условия:

1. f(x) непрерывна на сегменте [a,b],

2. f(x) дифференцируема в интервале (a,b),

3. f’(a) = f’(b).

Тогда точкаc(a,b):f’(c) = 0.

Доказательство.

В силу второй теоремы Вейерштрасса f(x) имеет на сегменте [a,b] максимальное и минимальное значения.

M= f(x),m= f(x).

Возможны два случая:

1. M = m => f(x) = M = m = const.  точкиc[a,b]:f’(c) = 0.

2. M>m. Так какf’(a) =f’(b), то по крайней мере одно из своих значений (Mилиm)f(x) принимает во внутренней точкеcсегмента [a,b].

(здесь рисунок)

По теореме 7.6 f’(c) = 0.

Теорема Ролля доказана.

Физическая интерпретация теоремы Ролля.

Пусть x– время,y =f(x) – координата точки, движущейся по осиy, в момент времениx. В моменты времениaиbточка занимает на осиyодно и то же положение:f(a) =f(b), в промежутке отaдоbточка как-то движется по осиy. Для того, чтобы вернуться в исходное положение, точка в какой-то момент времениcдолжна остановиться, то есть в этот момент ее скоростьf’(c) = 0.

О роли условий 1) – 3) в теореме Ролля.

1. Если f(a)f(b), то утверждение теоремы Ролля несправедливо.

(здесь рисунок)

c:f’(c) = 0.

2. f(x) дифференцируема в интервале (a,b).

(здесь рисунок)

Не существует точки, где f’(x) = 0.

3. f(x) =.

f(x) дифференцируема в (a,b), но не дифференцируема в точкахaиb.

(здесь рисунок)

f’(c) = 0.

27. Формула Лагранжа.

Теорема 7.8. (Лагранжа).

Пусть:

1. f(x) непрерывна на [a,b].

2. f(x) дифференцируема в (a,b).

Тогда точкаc(a,b):

f(b) - f(a) = f’(c) (b - a). (формула Лагранжа, конечных приращений)

Доказательство.

Введем функцию F(x) =f(x) -f(a) - (x-a). Она удовлетворяет на сегменте [a,b] всем условиям теоремы Ролля. В частности,F(a) =F(b) = 0.

По теореме Ролля точкаc(a,b):f’(c) = 0.

f’(c) -= 0. =>f(b) -f(a) =f’(c) (b-a).

Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Пусть x– время,y=f(x) – координата точки, движущейся по осиyв момент времениx. =v_ср– средняя скорость точки в промежутке [a,b].f’(c) – мгновенная скорость в моментc. Теорема Лагранжа показывает, что найдется такой моментc, что мгновенная скорость будет равна средней скорости.

//Замечание.

(здесь рисунок)

Зафиксируем x=x₀[a,b]. Дадим этой точке приращениеx. Применим формулу Лагранжа к сегменту [x₀,x₀+x].

= f’()x.

 - x₀= x(0 <<1), и поэтому=x₀+ x.

=f’(x₀+ x)x– формула конечных приращений. Отметим, что главная часть приращения (дифференциал функции в точкеx₀) выражается формулой: = f’(x₀)x.

Некоторые теоремы, доказывающиеся с помощью теоремы Лагранжа.

Теорема7.9Еслиf(x) дифференцируема на пром-кеXиx  X:f’(x) = 0, тоf(x) =constнаX.

Доказательство.

Пусть x₀– какое-нибудь фиксированное значение аргумента из промежуткаX,x– произвольное значение аргумента X. Применим формулу Лагранжа:

f(x) -f(x₀) =(x-x₀) = 0.xX:f(x) =f(x₀) =const.

Теорема доказана.

28. Необходимое и достаточное условие монотонности функции.

Теорема 7.10. Для того, чтобы дифференцируемая на промежуткеXфункцияf(x) не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобыf '(x)0 (0)xX.

Доказательство.

1. Достаточность. Пустьf ’(x)0xX. Возьмемx₁иx₂X,x₂>x₁.

По формуле Лагранжа, f(x₂) -f(x₁) =0.

f(x₂)f(x₁) приx₂>x₁, а это и означает, чтоf(x) не убывает на промежуткеX.

Достаточность доказана.

2. Необходимость. Пустьf(x) не убывает на промежуткеX, то есть

f(x₂)f(x₁) приx₂>x₁. (1)

Докажем, что f ’(x)0xX. Допустим, что в какой-то точкеc:f ’(c) > 0. Тогда, по теореме 7.5(Теорема 7.5. Если f(x) дифференцируема в точке c и f'(c) > 0 (< 0), то f(x) возрастает (убывает) в точке c),f(x) убывает в точкеcи, следовательно, найдется такая окрестность точкиc, гдеf(x) <f(c) приx>c, но это противоречит условию (1). Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно,f ’(x)0xX.

Необходимость и вся теорема доказана.

(здесь рисунок)

Утверждение 1. Из возрастания функции в точке не следует ее возрастание в какой-нибудь окрестности этой точки.

Пример.

f(x) =.f’(x) =.

f’(0) = 1 > 0.

Следовательно, по теореме 7.5 данная функция возрастает в точке x= 0, вместе с тем, она не является возрастающей ни в какой окрестности точкиx= 0. Рассмотрим произвольную-окрестность точки 0.

(здесь рисунок)

Если бы функция возрастала в этой -окрестности, то по теореме 7.10 выполнялось бы неравенство: f’(x)0x(-,). Но это неравенство, очевидно, не выполнено: в любой-окрестности точкиx= 0 имеются точки, в которыхf’(x) > 0 иf’(x) < 0.