Формула Коши.
Теорема 7.12 Пусть:
f(x) иg(x) определены и непрерывны на сегменте [a,b],
f(x) иg(x) дифференцируемы в интервале (a,b),
g’(x)0x(a,b).
Тогда: точкаc(a,b):
. (1)
(это формула Коши)
Доказательство.
Прежде всего отметим, что знаменатель в левой части формулы (1) не равен нулю, то есть g(a) g(b). В самом деле, если допустить, чтоg(a) = g(b), то функцияg(x) будет удовлетворять всем условиям теоремы Ролля, и тогда найдется такая точка на интервале (a,b), в которойg’(x) = 0, что противоречит условию 3) нашей теоремы.
1-й способ (неверный).
f(b) –f(a) =f’(c)(b–a),
g(b) –g(a) =g’(c)(b–a).
Разделив эти равенства друг на друга, получим формулу (1). Это доказательство не годится, так как точки c, вообще говоря, разные.
2-й способ.
Введем функцию F(x)
=f(x)
–f(a)
-
(g(x)
–g(a)).
F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В частности,F(a) = F(b) = 0.
По теореме Ролля, точкаc(a,b):F’(c) = 0.
f’(c)
-
g’(c)
= 0.
.
Теорема доказана.
Формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши в случае, когда g(x) =x. В этом случаеg’(c) = 1,g(a) =a,g(b) =b.
Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Многочлен Тейлора.
Если f(x) дифференцируема в точкеx0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде:
f(x) - f(x0) = f’(x0)(x – x0) + o(x – x0).
f(x)
=
+o(x
– x0).
P1(x) обладает следующими свойствами:P1(x0) =f(x0),P’1(x0) =f’(x0). Рассмотрим теперь более общую задачу. Пустьf(x)nраз дифференцируема в точкеx0, то есть имеет в точкеnвсе производные доn-го порядка. Поставим задачу найти такой многочленPn(x) (степениn), что:
Pn(x0) = f(x0), P’n(x0) = f’(x0), P’’n(x0) = f’’(x0), … , P(n)n(x0) = f(n)(x0). (1)
Будем искать многочлен Pn(x) в виде:
Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + ak(x – x0)k + … + an(x – x0)n. (2)
Покажем, что можно так выбрать коэффициенты a0,a1, … ,an, что многочленPn(x) будет удовлетворять условию (1). Полагая в равенстве (2)x=x0и учитывая первое из равенств (1), получимPn(x0) =a0 = f(x0). a0=f(x0). Продифференцируем равенство (2).
P’n(x) =a1 + 2a2(x–x0) + 3a3(x–x0)2+ …+ nan(x – x0)n-1. (2’)
Положим в равенстве (2’) x=x0и учтем второе условие из (1).
P’n(x0) =a1 = f(x0).
a1=
.
Продифференцируем равенство (2’):
P’’n(x) = 2a2 + 23a3(x – x0) + … + n(n – 1)an(x – x0)n-1. (2’’)
Положим в полученном равенстве (2’’) x=x0и учтем третье условие из (1).
P’’n(x0) = 2a2 = f’’(x0).
a2=
.
И так далее. После k–кратного дифференцирования равенства (2) получим:
P(k)n(x) =k!ak+ 2ak+1(x–x0) + … +n(n - 1)…(n–k+ 1)(x–x0)k. (2(k))
Полагая здесь x=x0и учитываяk+1–е условие из (1), получим:
P(k)n(x0) = k!ak = f(k)(x0).
ak=
(k= 0, 1, … ,n),
если принять обозначенияf(0)=f, 0! = 1. Итак, мы нашли
такие коэффициентыak,
что многочлен
Pn(x)
=f(x0)
+
(x–x0) + … +
(x–x0)n=
(x–x0)k. (3)
удовлетворяет условиям (1). Многочлен (3) называется многочленом Тейлора для функции f(x). В следующем пункте мы покажем, чтоf(x) =Pn(x) +o((x–x0)n).
2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Пусть имеется f(x), имеющая производные доn-го порядка. Поставлена задача найти многочленPn(x):
Pn(x0) =f(x0),P’n(x0) =f’(x0),P’’n(x0) =f’’(x0), … ,P(n)n(x0) =f(n)(x0). (1)
Этот многочлен был найден в виде:
Pn(x)
=f(x0)
+
(x–x0) + … +
(x–x0)n=
(x–x0)k. (3)
Теорема 7.14. Пусть функцияf(x)nраз дифференцируема в точкеx0, тогда для функцииf(x) имеет место равенство:
f(x) =Pn(x) +o((x–x0)n), гдеPn(x) – многочлен Тейлора для функцииf(x).
Доказательство.
Введем обозначение:
R(x)=f(x)-Pn(x)=f(x)–[f(x0)+
(x–x0)+
… +
(x–x0)n-1+
(x–x0)n].
Надо доказать, что R(x) =o((x–x0)n). Мы докажем это с помощью правила Лопиталя.
Требуется доказать, что
=
0. (5)
Отметим прежде всего, что в силу условия теоремы сама функция f(x) и ее производныеf’(x), … ,f(n-1)(x) непрерывны в точкеx0. Поэтому, используя условие (1), получаем:
R(x)
=
[
f(x)
- Pn(x)]
= f(x0)
- Pn(x0)]
= 0. (6)
R’(x)
=
[
f’(x)
– P’n(x)]
= f’(x0)
– P’n(x0)]
= 0. (6’)
и так далее…
R(n-1)(x)
=
[
f(n-1)(x)
–P(n-1)n(x)]
=f(n-1)(x0)
–P(n-1)n(x0)]
= 0. (6(n-1))
В силу (6) предел (5) является неопределенностью
типа
.
В силу (6’)
также является неопределенностью типа
.
и так далее…
В силу (6(n-1))
=
снова является неопределенностью типа
.
Для вычисления последнего предела
рассмотрим выражение дляR(n-1)(x).R(n-1)(x)
=f(n-1)(x)
-f(n-1)(x0)
-f(n)(x0)(x–x0). Так какf(n-1)(x)
дифференцируема в точкеx0,
то ее приращение в точкеx0тожно представить в виде:
f(n-1)(x)
- f(n-1)(x0)
=
(x
– x0)
+ o(x
– x0)
= f(n)(x0)(x
– x0)
+ o(x
– x0).
Следовательно, R(n-1)(x)
=o(x–x0), поэтому
=
=
0.
Таким образом, применяя к пределу (5) правило Лопиталя, получим:
=
=
… =
=
0,
что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Введем обозначение: Rn+1(x) =R(x) =f(x) -Pn(x). Тогда равенство (4) можно записать в виде:
f(x) =Pn(x) +Rn+1(x), (4’)
где Rn+1(x) =o((x–x0)n).
Функция Rn+1(x) называется остаточным членом, а формула (4) называется формулой Тейлора для функцииf(x) с центром разложения в точкеx0и с остаточным членом в форме Пеано.