1. Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.

f(x) называется 1) возрастающей наX, 2) убывающей наX, 3) невозрастающей наX, 4) неубывающей наX,

если иX, <:

1) f() <f(),

2) f() >f(),

3) f()f(),

4) f()f().

Функции 1) - 4) называются монотонными на X,

функции 1) - 2) называются строго монотонными на X.

Примеры:

1) f(x) =- возрастающая на [0, +].

2) f(x) =[x]- неубывающая на (-,).

Пусть f(x)- ограниченна сверху наX, то естьM>0,xX:f(x)M. ЧислоМ называется верхней гранью функцииf(x) на множествеХ. Наименьшая из верхних граней ограниченной сверху наXf(x) называется её точной верхней гранью и обозначается f(x).

Эквивалентное определение:

Число Mназывается точной верхней граньюf(x) наX, если:

1) xX:f(x)M.

2) <M X:f() > .

[7] Сформулировать аналогичное определение точной нижней грани функции. f(x).

Пример:

1)sinx = 1, sinx = 0.

2)sinx = 1, sinx = 0.

Различие случаев 1) и 2) в том, что в случае 1) функция принимает значения, равные SupиInf, а во втором не принимает.

Теорема 2.7

Пусть f(x)- монотонная и ограниченная на полупрямой (а, +), тогда существует f(x).

Доказательство:

Пусть, для определённости f(x) не убывает и ограничена сверху на (а, +). Тогда она имеет на (а, +) точную верхнюю грань. Введём обозначение: f(x) =b. Докажем, что f(x) =b.

Зададим произвольное > 0 и рассмотрим числоb-<b, по определнию точной верхней граниА:f(A) >b-. Так какf(x)f(a) приxA, тоf(x) >b-приxA, илиb-f(x) <приxA, то есть |f(x) -b| <приxA. а это и означает, что f(x) =b.

Теорема доказана.

2. Устойчивость знака непрерывной функции.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точкиа.f(x) называется непрерывной в точкеаесли f(x) =f(а)

Примеры:

f(x) =sinxнепрерывна в точкех=0 , так какsinx= 0, иsin0 = 0, то естьsinx=sin0.

Рациональная функция f(x) = непрерывна в любой точкеа, в которой(а)0,

так как было доказано, что = ((а)0).

Замечаение:

Так как х=а, то условие непрерывности функции можно записать в виде

f(x) =f(x).

Таким образом, непрерывность f(x) в точкеаозначает, что символыиfможно менять местами.

Определение 2.

f(x) называется непрерывной в точкеа, если> 0> 0: |f(x) -f(а) | <при |х-а| <.

Пусть f(x) непрерывна в точкеаиf(а) > 0. Возьмём=f(a). По определнию 2

  > 0: | f(x) -f(a) | <f(а) при |х-а| <, то есть - f(a) < f(x) - f(a)<f(a) в- окрестности точкиа.

Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в- окрестности точкиа.

Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точкеа, то она остается положительной в некоторой окрестности точкиа.Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.

Пусть f(x) определена на [a,a+). Функцияf(x) называется непрерывной в точкеасправа, если f(x) =f(а). (то естьf(а+ 0) =f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке аслева.

3. Теорема о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение.

Теорема 3.4

Если f(x) непрерывна на [a,b] иf(а)f(b) < 0, тоc[a,b]:f(c) = 0.

Доказательство:

Пусть для определённости f(а) < 0,f(b) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдётся правая полуокрестность точкиа, в которойf(x) < 0.

(рисунок)

Рассмотрим множество Х таких точек [a,b], чтоf(x) < 0 на [a, ).

X={:[a,b],f(x) < 0 на [a, )}.

Это множество непустое, ограниченное сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань:

сsupX. Отметим, чтоx<c:f(x) < 0.(1)

Докажем, что f(с) = 0.

Допустим, что это не так.

Предположим, что f(с) > 0. Тогдаf(x) > 0 в некоторой окрестности точкиc, и, следовательно, (рисунок)

 x<c:f(x) > 0, что противоречит(1).

Предположим, что f(с) < 0. Тогдаf(x) < 0 в некоторой окрестности точкис.

(рисунок)

Следовательно, >c:f(x) < 0 на [a, ), а это противоречит тому, чтоc=supX.

Значит, наше предположение неверно, и f(c) = 0.

Теорема доказана.

Следствие (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение)

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b],f(а) =A,f(b) =B. ТогдаС[A,B]c[a,b]:f(c) =C.

Доказательство.

Рассмотрим функцию g(x) =f(x) -C. Пусть , для определённости,A<C<B. Тогда

g(a) =f(a) -С=A-C< 0,g(b) =f(b) -C=B-C> 0. Кроме того,g(x) непрерывна на сегменте

[a,b]. Следовательно, потеореме 3.4c[a,b]:g(c) = 0, то естьf(c) -C= 0f(c) =C, что и требовалось доказать.