I семестр / Математический Анализ - ответы / 67 вопросов / Ответы на билеты_3_определения
.doc-
Определение предела функции в точке по Коши.
Определение предела функции в точке a по Коши. Пусть f(x) определена на множестве X, и a - предельная точка X. Число b называется пределом f(x) при x a, если для > 0 > 0 такое, что для x {0 < x - a< }: f(x) - b < .
-
Определение предела функции f(x) при x по Коши.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x , если для > 0 B() > 0: x такого, что x > B
-
Определение неограниченной в точке функции.
-
Определение бесконечно малой функции в точке.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x = a (при x a), если
f(x)= 0.
Эквивалентное определение. f(x) называется бесконечно малой в точке a, если
> 0 > 0, x {0 < | x - a | < }: | f(x) | < .
-
Определение бесконечно большой функции в точке.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x = a (при x a), если
A > 0 > 0, x {0 < | x - a | < }: | f(x) | > A.
Обозначение: f(x) = .
-
Определение непрерывной функции в точке.
Определение 1. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)
Определение 2. f(x) называется непрерывной в точке а, если > 0 > 0: | f(x) - f(а) | < при | х - а | < .
-
Классификация точек разрыва функции.
Определение. Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.
1). Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если f(x), но f(x) f(a) , либо в точке а функция f(x) вообще не определена.
2). Разрыв 1-го рода. Точка a называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения:
или
3). Разрыв 2-го рода. Точка a называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из них бесконечно.
-
Определение точной верхней грани функции.
(Я, на всякий случай, привожу определения и верхней, и нижней граней)
Определение 1. Пусть f(x)- ограниченна сверху (снизу) на X, то есть M (m) , x X: f(x) M (f(x) m) . Число М (m) называется верхней (нижней) гранью функции f(x) на множестве Х. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней ограниченной сверху (снизу) на X f(x) называется её точной верхней (точной нижней) гранью и обозначается f(x) ( f(x)).
Эквивалентное определение. Число M (число m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие два требования: 1) для x X: f(x) M (f(x) m), 2) для > 0 x X, для которого справедливо неравенство
()
-
Определение производной функции в точке.
Определение. Производной функции f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при x 0 разностного отношения (при условии, что этот предел существует).
-
Определение дифференцируемости функции.
Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде
,
где A – некоторое число, не зависящее от x, а - функция аргумента x, являющаяся бесконечно малой при x 0.
Т.к. произведение двух бесконечно малых x является бесконечно малой более высокого порядка, чем x, то можно определение переписать
(А = f’(x)).
-
Определение дифференциала функции.
Определение. Дифференциалом функции в точке x, соответствующим приращению аргумента x, называют главную линейную относительно x часть приращения этой функции в точке x.
Принято обозначать дифференциал функции символом dy,
.
Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной: dx = x. Таким образом, dy = f '(x)dx, или
-
Определение производной вектор-функции.
Если каждому числу t из некоторого множества T поставлен в соответствие вектор, то говорят, что на множестве T, определена векторная функция (или вектор - функция) и пишут: =(t), t T. |(t) | - скалярная функция.
Определение. Векторназывается пределом вектор-функции =(t) при t t0 если |(t) -| 0 при t t0, (t) =.
Зафиксируем какое-нибудь значение t, а затем дадим приращение t 0 аргументу t. = (t + t) - (t)
Определение производной вектор-функции. Если существует , то он называется производной вектор-функции в точке t и обозначается '(t).
-
Определение предела последовательности.
Определение. Число А называется пределом последовательности , если для
n>N xn - A <
Обозначение: .
-
Определение бесконечно большой последовательности.
Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для А > 0 N: n N xn > A.
-
Определение неограниченной последовательности.
Определение. Последовательность {xn} называется неограниченной, если A > 0 n: xn > A.
-
Определение фундаментальной последовательности.
Определение. Последовательность {xn} называется фундаментальной, если для > 0 N: n >N и натурального p: xn+p-xn < .
-
Определение предельной точки числовой последовательности.
Определение 1. Число a называется предельной точкой последовательности {xn}, если из последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.
Определение 2. Число a называется предельной точкой последовательности {xn}, если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {xn}.
-
Определение предела функции в точке по Гейне.
Определение предела функции в точке a по Гейне. Число b называется пределом f(x) при x a, если для {xn} a (xn a): {f(xn)} b.
-
Определение предела функции f(x) при x по Гейне.
Определение (по Гейне). Число b называется пределом f(x) при x +, если {xn} +: {f(xn)} b.
-
Определение первообразной и неопределенного интеграла.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на X, если xX: F'(x) = f(x).
Определение 2. Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от этой функции на промежутке X и обозначается
.
f(x) называется подынтегральной функцией.
f(x)dx называется подынтегральным выражением.
-
Определение равномерно непрерывной функции.
Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве {x}, если для > 0 () > 0 такое, что для любых двух точек x’ и x’’ множества {x}, удовлетворяющих условию выполняется условие .
Примеры: - равномерно непрерывна на полупрямой x 1,
- не является равномерно непрерывной на множестве x 1,
не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).
-
Определение точки локального экстремума функции.
Определение. Пусть функция f(x) определена всюду в некоторой окрестности точки с. Говорят, что функция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим).
Локальный максимум и минимум объединяются общим названием экстремум.
-
Определение наклонной асимптоты к графику функции.
Определение. Говорят, что прямая
(1)
является наклонной асимптотой графика функции при , если функция f(x) представима в виде
, где (2)
___________________________________________________________________________________
Определение. Говорят, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений
или
равно + или -.
-
Определение точки перегиба графика функции.
Определение. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки с оси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа от с имеет разные направления выпуклости. (см. рисунок).
Иногда при определении точки перегиба графика функции дополнительно требуют, чтобы этот график всюду в пределах достаточно малой окрестности точки с оси абсцисс слева и справа от с лежал по разные стороны от касательной к этому графику в точке .
-
Определение направления выпуклости графика функции.
Предположим, что функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала . Тогда существует касательная к графику функции , проходящая через любую точку этого графика , причем эта касательная не параллельна оси Oy.
Определение. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.
-
Определение условно сходящегося ряда.
Определение. Ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится , а соответствующий ряд из модулей расходится.
-
Определение абсолютно сходящегося ряда.
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .