- •Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.
- •Теорема 2.7
- •Устойчивость знака непрерывной функции.
- •Теорема 3.4
- •Непрерывность сложной функции.
- •Теорема 3.3
- •Теорема о существовании, строгой монотонности и непрерывности обратной функции.
- •Теорема 3.5
- •Достаточное условие непрерывности функции в точке.
- •Теорема 3.1
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Формула Лейбница.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •Теорема о стягивающейся системе сегментов.
- •Теорема Больцано-Вейрштрасса.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •Предельные точки последовательности. (Два определения и их эквивалентность)
- •Эквивалентность определений предела функции в точке по Коши и по Гейне.
- •Критерий Коши существования предела функции в точке.
- •Ограниченность непрерывной на сегменте функции (1-ая теорема Вейрштрасса).
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое условие экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Формула Лагранжа.
- •Формула Коши.
- •Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Замена переменной.
Теорема 5.2.Пусть функцияx=(t) определена и дифференцируема на промежуткеT, и пусть промежутокX- множество ее значений. Пустьf(x) определена наXи имеет первообразнуюF(x).
Тогда F((t)) - первообразная дляf((t)'(t) наT.
Доказательство.
tT :F((t))' = '(t) =f((t)'(t).
Теорема доказана.
Следствие.= F((t)) +С.
F((t)) +С= = .
Таким образом, =-- формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Примеры:
= [x = ,dx=dt] = = (-cost+C) = cosx+C.
, (a> 0)
Подынтегральная функция определена для 0 x a.
x = asin2t (asin2t (t)), 0 t ,dx = 2asintcostdt
sint = ,t = arcsin, cost = .
= 2asintcostdt = 2a= 2a =
=a(t - 1/2sin2t) + C = a(t -sintcost) + C = a arcsin-+C.
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Теорема 5.3.Пустьu(x) иv(x) определены и дифференцируемы на промежуткеX, и пусть функцияu(x) иv'(x) имеет первообразную на промежуткеХ, то есть существует. Тогдаu(x)v'(x) также имеет первообразную на промежуткеХ, и спараведлива формула:
=u(x)v(x) -- формула интегрирования по частям.
Доказательство: Воспользуемся формулой: (uv)' =u'v + uv' ,vu' = (uv)' -uv'.uv' имеет первообразную по условию теоремы. (uv)' имеет первообразнуюuv. Следовательно иvu'имеет первообразную и справедливо равенство:=uv-.
Теорема доказана.
Следствие: Так какu'dx=du,v'dx=dv, то формулу интегрирования по частям можно записать в виде:
=uv -.
Пример:
==[v = x2, dex] = x2ex - =x2ex - 2 =x2ex - 2(xex -) =
= ex (x2 - 2x + 2) + C.
Некоторые интегралы не выражаются через элементарные функции, например: , то есть, класс элементарных функций не замкнут относительно операции интегрирования.
Теорема о стягивающейся системе сегментов.
Пусть дана последовательность сегментов [a1 ,b1], [a2 ,b2], … , [an,bn], … - такая, что каждый следующий сегмент содержится в предыдущем.
(здесь рисунок)
n: an an+1<bn+1bn, (1)
и пусть длина n-го сегментаbn -an0 приn . Такую последовательность сегментов назовем стягивающейся системой сегментов.
Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Доказательство: Из неравенств (1) следует: {an} - неубывающая последовательность, {bn} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [a,b]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так какbn -an0 приn , эти последовательности имеют один и тот же предел.liman=limbn=c. Так как {an} - неубывающая последовательность,an<c(n).n:an c bn , то естьc[an,bn]n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точкаd[an,bn]n. Пусть для определенностиd>c.
(здесь рисунок)
Но в этом случае bn-and-c> 0,lim(bn-an) =d-c> 0, что противоречит условиюlim(bn-an) = 0. Итак, точкас- единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Теорема доказана.
Эта теорема выражает свойство, которое называется непрерывностью множества вещественных чисел. Множество рациональных чисел этим свойством не обладает.