- •Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.
- •Теорема 2.7
- •Устойчивость знака непрерывной функции.
- •Теорема 3.4
- •Непрерывность сложной функции.
- •Теорема 3.3
- •Теорема о существовании, строгой монотонности и непрерывности обратной функции.
- •Теорема 3.5
- •Достаточное условие непрерывности функции в точке.
- •Теорема 3.1
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Формула Лейбница.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •Теорема о стягивающейся системе сегментов.
- •Теорема Больцано-Вейрштрасса.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •Предельные точки последовательности. (Два определения и их эквивалентность)
- •Эквивалентность определений предела функции в точке по Коши и по Гейне.
- •Критерий Коши существования предела функции в точке.
- •Ограниченность непрерывной на сегменте функции (1-ая теорема Вейрштрасса).
- •Точки локального экстремума функции. Необходимое условие экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Формула Лагранжа.
- •Формула Коши.
- •Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Теорема Больцано-Вейрштрасса.
Теорема 6.2.(Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: Пусть {xn} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [a ,b].
a xnb(n).
(здесь рисунок)
Разделим сегмент [a ,b] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [a ,b] лежит бесконечно много членов последовательности {xn}, обозначим эту половину через [a1 ,b1]. Возьмем какой-нибудь :a1 b1. Далее разделим сегмент [a1 ,b1] пополам и обозначим через [a2 ,b2] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности {xn}. Выберем[a2 ,b2],k2>k1.a2 b2. Затем разделим сегмент [a2 ,b2] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [a1 ,b1], [a2 ,b2], … , [an,bn], … (так какbn-an= 0 приn), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности {xn}.
n: an bn. (1)
По теореме 6.1 (Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы)точкас:liman=limbn=c. Отсюда и из неравенства (1) следует, что cприn . Таким образом, мы выделили из последовательности {xn} сходящуюся подпоследовательность.
Теорема доказана.
Определение. Последовательность {xn} называется неограниченной, еслиA > 0n:xn>A.
//Замечание: Для неограниченных последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса неверна.
Примеры.
{n} = 1, 2, 3, …,n, …
Из {n} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
{xn} = 1, 0, 2, 0, 3, 0, … ,n, 0, …
{xn} - неограниченная подпоследовательность.
{x2n}0.
Критерий Коши сходимости последовательности.
Определение:Последовательность {xn} называется фундаментальной, если> 0N,n>Nинатуральногоp:xn+p-xn<.
Так как m=n+p- тоже произвольное число >N, то определение фундаментальности можно сформулировать следующим образом:> 0N,n>Nиm>N:xm-xn<.
Геометрически фундаментальность последовательности {xn} означает, что для любого сколь угодно малогосуществует такой номерN, что любые два члена последовательности с большим, чемN, номерами, отстоят друг от друга не более, чем на.
(здесь рисунок)
Пример: Докажем, что последовательность =1,,, … - фундаментальная. Зададим произвольное> 0, возьмемN> . Тогда>, иn>Nинатуральногоp:xn+p-xn= =-< <<. Это и означает, что последовательность- фундаментальная.
Лемма 2. Фундаментальная последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} - фундаментальная последовательность. Возьмем какое-нибудь положительное, например,= 1. По определению фундаментальности,N,n>Nиm>N:xm-xn< 1. Зафиксируем какое-нибудьm0>N, тогда< 1 приn>N, или - 1 <xn< + 1 приn>N. Таким образом, все члены последовательности с номерамиn>Nлежат в интервале (- 1, + 1), вне этого интервала лежит только конечное число членов последовательности. Это и означает, что последовательность {xn} ограничена.
Лемма доказана.
Теорема 6.4(критерий Коши сходимости последовательности) Для того, чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.
Необходимость. Дано: Последовательность {xn} сходится. Требуется доказать, что последовательность {xn} - фундаментальная. Пусть =a. Зададим произв.> 0.
По определению предела, N,n>N:xn-a< , иm>N:xm-a< . Еслиn>N,m>N, тоxm-xn=(xm-a) - (xn-a) +<.
Это и означает по определению, что последовательность {xn} - фундаментальная.
Необходимость доказана.
Достаточность. Дано: Последовательность {xn} - фундаментальная. Требуется доказать: {xn} сходится. По лемме 2, последовательность {xn} ограничена, следовательно, можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть =a. Докажем, что =a. Зададим произвольное> 0. Так как подпоследовательность сходится кa, начиная с некоторого номераN1все члены{- окрестности точкиa}, а так как последовательность {xn} - фундаментальная, то начиная с некоторого номераN2все членыxnотстоят от членовменьше, чем на . Следовательно, начиная с номераN=max(N1, N2) все члены последовательностиxn{- окрестности точкиa}, а это и означает, что =a, что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Пример: Рассмотрим последовательность {sinn}. Докажем, что эта последовательность расходится. Для этого достаточно доказать, что она не является фундаментальной. Предположим противное: допустим, что {sinn} - фундаментальная. Тогда если> 0N,n>Nинатуральногоp:xn+p-xn=sin(n+p) -sinn<. Возьмемp= 2.
sin(n+2) - sin n< 2sin 1cos(n+1)< .
> 0 N, n >N: cos(n+1)< .
=> {cosn} - бесконечно малая, то естьcosn0 приn.
cos(n+1) = cos ncos 1- sin nsin 1.
sin n = ( cosncos 1 - cos(n+1)) 0 при n .
cosnиsinn0 приn. Но это противоречит тому, чтоcos2n+sin2n=1.
Полученное противоречие доказывает, что последовательность {sinn} расходится.