Тема 6. Линейные операторы пространства

Векторные пространства: определение, примеры. Линейно зависимые системы векторов и их свойства. Линейно независимые системы векторов и их свойства. Базис системы векторов. Ортонормированный базис. Разложение любого вектора по базису. Ранг системы векторов. N-мерные линейные пространства.

Тема 7. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Линейные преобразования (операторы). Определения, примеры. Связь матриц линейного оператора в различных базисах. Характеристическое уравнение матрицы линейного преобразования. Собственные значения и собственные вектора матрицы линейного преобразования. Свойства собственных чисел и собственных векторов матрицы преобразования.

Тема 8. Элементы аналитической геометрии.

Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Взаимное положение прямых. Угол между прямыми. Основные задачи, связанные с построением уравнения прямой.

Плоскость в пространстве. Различные уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки в пространстве до плоскости.

Прямая в пространстве. Различные уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Уравнения кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола). Построение кривых второго порядка по заданным уравнениям.

Алгебраические поверхности 2-го порядка и их уравнения (сфера, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические и конические поверхности).

Вопросы к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра»

1. Матрицы и действия над ними.

2. Обратная матрица. Ранг матрицы.

3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

4. Определители и их свойства. Методы вычисления определителей.

5. Квадратичные формы. Ортогональные и неопределенные квадратичные формы. Положительно определённые квадратичные формы.

6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.

7. Система n- линейных алгебраических уравнений с n- неизвестными. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли.

8. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

9. Матричный метод и метод Крамера решения системы линейных уравнений.

10. Система однородных линейных уравнений. Существование нетривиального решения. Фундаментальная система решений.

11. Квадратичные формы.

12. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

13. Тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел. Формула Муавра. Вычисление корня из комплексного числа.

14. Декартова прямоугольная система координат. Определение вектора. Линейные операции над векторами.

15. Система линейно зависимых и линейно-независимых векторов. Разложение вектора по координатному базису.

16. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направлением. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Нормальное уравнение прямой.

18. Общее уравнение плоскости. Нормированное уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение двух плоскостей.

19. Угол межу двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

20. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

21. Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до плоскости.

22. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

23. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

24. Линейные задачи оптимизации.