Теоретическая механика_в_Вопросах_и_Ответах

ȼ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɤɚɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɜɵɪɚɠɟɧɚ ɤɢ-

ɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɪɢ ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɢɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ Ʌɚɝɪɚɧɠɚ?

Ʉɚɤ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɧɚɯɨɞɹ-

ɳɟɣɫɹ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ?

ɉɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɧɚɯɨɞɹɳɟɣɫɹ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬ-

ɜɢɟɦ ɫɢɥ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ:

z2 ɉ c fɫɬ zc c c , 2

ɝɞɟ fɫɬ – ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɭɞɥɢɧɟɧɢɟ ɩɪɭɠɢɧɵ;

zc – ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɩɨɤɨɹ.

Ʉɚɤɢɟ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɢɦɢ ɢ ɤɚɤɨɣ ɜɢɞ ɢɦɟ-

ɸɬ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ?

Ɉɛɨɛɳɟɧɧɵɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɟ ɜɯɨɞɹɬ ɹɜɧɨ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɤɢɧɟɬɢ-

ɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɚL , ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɢɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ. Ɍɚɤ,

ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɬɹɠɟɥɚɹ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɦɚɫɫɵ m ɞɜɢɠɟɬɫɹ ɜ ɩɪɨ-

ɫɬɪɚɧɫɬɜɟ, ɬɨ ɩɪɢ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ x ɢ y ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɢɦɢ.

Ɋɚɜɟɧɫɬɜɚ wL Cj const ( j 1,2...s) ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɢɦɢ ɢɧɬɟɝɪɚ- wqj

ɥɚɦɢ.

ɉɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɤɚɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɝɨɥɨɧɨɦɧɵɯ ɫɢɫɬɟɦ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɢɫ-

ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɇɢɥɶɫɟɧɚ?

ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜɢɞɚ

81

ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɇɢɥɶɫɟɧɚ.

ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɇɢɥɶɫɟɧɚ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɡɚɞɚɱ, ɫɜɹ-

ɡɚɧɧɵɯ ɫ ɪɚɫɱɟɬɨɦ ɫɢɫɬɟɦ, ɢɦɟɸɳɢɯ ɛɨɥɶɲɨɟ ɱɢɫɥɨ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɫɜɨɛɨɞɵ.

Ʉɚɤɨɜɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɨ ɫɬɚ-

ɰɢɨɧɚɪɧɵɦɢ ɫɜɹɡɹɦɢ?

Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɨ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɦɢ ɫɜɹɡɹ-

ɦɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɣ ɮɨɪɦɨɣ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɯ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ:

Ʉɚɤɨɜɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɚ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɨ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɦɢ ɫɜɹɡɹɦɢ?

ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɯ ɫɜɹɡɟɣ

ȾɂɇȺɆɂɄȺ ɌȼȿɊȾɈȽɈ ɌȿɅȺ.

ɉɪɨɫɬɟɣɲɢɟ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

Ʉɚɤɨɜɵ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɜɟɪɞɨ-

ɝɨ ɬɟɥɚ?

ɉɨ ɤɚɤɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ, ɜɪɚ-

ɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ, ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɷɬɨɣ ɨɫɢ?

82

Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟ-

ɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ ɟɝɨ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɪɚɜɟɧ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟ-

ɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɬɨɣ ɠɟ ɨɫɢ ɧɚ ɭɝɥɨɜɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ

Lz IzZ.

Ʉɚɤɨɣ ɜɢɞ ɢɦɟɟɬ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ?

Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠ-

ɧɨɣ ɨɫɢ

IzM ¦mz (Fi ).

ɉɪɢ ɤɚɤɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɬɟɥɨ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ: ɚ) ɭɫɤɨɪɟɧ-

ɧɨ; ɛ) ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ; ɜ) ɡɚɦɟɞɥɟɧɧɨ?

ȿɫɥɢ¦mz (Fi ) ! 0, ɬɟɥɨ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɭɫɤɨɪɟɧɧɨ;

ȿɫɥɢ¦mz (Fi ) 0 , ɬɟɥɨ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɡɚɦɟɞɥɟɧɧɨ;

ȿɫɥɢ¦mz (Fi ) 0, ɜɪɚɳɟɧɢɟ ɬɟɥɚ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɟ.

Ɇɟɪɨɣ ɱɟɝɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ?

Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ɢɧɟɪɬɧɨɫɬɢ ɬɟɥɚ ɩɪɢ ɜɪɚɳɚ-

ɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ.

Ʉɚɤɨɜɵ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɬɢɩɵ ɡɚɞɚɱ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɚɬɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɞɢɮ-

ɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ?

ɉɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɜɪɚɳɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɡɚɞɚɱɢ:

1) ɉɨ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɬɟɥɚ M f (t) ɢ ɟɝɨ ɦɨɦɟɧɬɭ ɢɧɟɪɰɢɢ Iz ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶ ɝɥɚɜɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ

83

2) ɉɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɜɧɟɲɧɢɦ ɫɢɥɚɦ, ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ M ɢZO , ɢ ɩɨ

O

ɦɨɦɟɧɬɭɢɧɟɪɰɢɢɬɟɥɚ Iz ɧɚɯɨɞɢɬɶɭɪɚɜɧɟɧɢɟɜɪɚɳɟɧɢɹɬɟɥɚM f (t) . 3) Ɉɩɪɟɞɟɥɹɬɶ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ Iz ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ,

ɡɧɚɹ Mze ɢM .

Ʉɚɤɨɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɦɟɯɚɧɢɤɢ ɢɥɥɸɫɬɪɢɪɭɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɤɚɦɟɣɤɢ ɀɭɤɨɜ-

ɫɤɨɝɨ?

Ɂɚɤɨɧ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɜɪɚɳɚɸɳɟɣɫɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɢɥɥɸ-

ɫɬɪɢɪɭɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɤɚɦɟɣɤɢ ɀɭɤɨɜɫɤɨɝɨ

Lz IzZ const .

ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɣ ɞɥɢɧɨɣ, ɰɟɧɬɪɨɦ ɢ ɨɫɶɸ ɤɚɱɚɧɢɹ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ?

ɹɬɧɢɤɚ, ɬ. ɟ. ɞɥɢɧɭ ɬɚɤɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ, ɩɟɪɢɨɞ ɤɚɱɚɧɢɣ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɜɟɧ ɩɟɪɢɨɞɭ ɤɚɱɚɧɢɣ ɞɚɧɧɨɝɨ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ. Ɍɨɱ-

ɰɟɧɬɪɨɦ ɤɚɱɚɧɢɣ. Ɉɫɶ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɚɹ ɱɟɪɟɡ ɰɟɧɬɪ ɤɚɱɚɧɢɣ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɩɪɢɜɟɫɚ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɫɶɸ ɤɚɱɚɧɢɣ.

Ʉɚɤɢɦɫɜɨɣɫɬɜɨɦɨɛɥɚɞɚɸɬɨɫɶɢɩɪɢɜɟɫɚɨɫɶɤɚɱɚɧɢɣɮɢɡɢɱɟɫɤɨɝɨɦɚɹɬɧɢɤɚ?

ȿɫɥɢ ɨɫɶ ɤɚɱɚɧɢɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɫɞɟɥɚɬɶ ɨɫɶɸ ɩɪɢɜɟɫɚ, ɬɨ ɩɪɟɠ-

ɧɹɹ ɨɫɶ ɩɪɢɜɟɫɚ ɫɬɚɧɟɬ ɟɝɨ ɨɫɶɸ ɤɚɱɚɧɢɣ.

ɉɨ ɤɚɤɨɣ ɮɨɪɦɭɥɟ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞ ɦɚɥɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚ-

ɹɬɧɢɤɚ?

ɉɟɪɢɨɞ ɦɚɥɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚT 2S Ix .

Gd

84

ɇɚɡɨɜɢɬɟ ɫɩɨɫɨɛɵ ɨɩɵɬɧɨɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɜɟɪɞɵɯ ɬɟɥ ɢ ɭɤɚɠɢɬɟ, ɜ ɱɟɦ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɢɯ ɫɭɳɧɨɫɬɶ.

ɋɩɨɫɨɛ ɤɚɱɚɧɢɣ. ɇɚɛɥɸɞɚɸɬ ɜɪɟɦɹ G ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣn .

ɉɨ ɷɬɢɦ ɞɚɧɧɵɦ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɩɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ T W ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɦɨ- n

ɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɞɟɬɚɥɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɩɪɢɜɟɫɚ

ɋɩɨɫɨɛ ɤɪɭɬɢɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ɉɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɩɟɪɢɨɞ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɷɬɚɥɨɧɚ

T1 ɢ ɩɟɪɢɨɞ ɤɪɭɬɢɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢɫɩɵɬɭɟɦɨɣ ɞɟɬɚɥɢT2 . Ɂɧɚɹ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɷɬɚɥɨɧɚI1z , ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɞɟɬɚɥɢ

ɋɩɨɫɨɛ ɩɚɞɚɸɳɟɝɨ ɝɪɭɡɚ. Ɉɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɜɪɟɦɹ ɩɚɞɟɧɢɹ ɝɪɭɡɚ G1 ɫ ɜɵɫɨɬɵ

H , ɩɨɜɬɨɪɹɸɬ ɬɨɬ ɠɟ ɨɩɵɬ ɫ ɞɪɭɝɢɦ ɝɪɭɡɨɦ G2 , ɨɩɪɟɞɟɥɹɹ ɜɪɟɦɹ ɟɝɨ ɩɚ-

ɞɟɧɢɹ. Ɇɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɦɚɯɨɜɨɝɨ ɤɨɥɟɫɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

Ⱦɢɧɚɦɢɤɚ ɩɥɨɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ.

ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɣɬɟ ɬɟɨɪɟɦɭ ɨ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɦɟɠɞɭ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɦɨɦɟɧ-

ɬɚɦɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚ ɢ ɨɬ-

ɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɮɨɪɦɟ.

Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠ-

ɧɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚ ɪɚɜɟɧ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɫɭɦɦɟ ɦɨɦɟɧɬɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɷɬɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɭɫɥɨɜɧɨ ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɨɝɨ ɜ

85

ɰɟɧɬɪɟ ɦɚɫɫ, ɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɟɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ

LO rc u K LC LOK LC .

Ʉɚɤ ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɦɟɯɚ-

ɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɰɟɧɬɪɭ ɦɚɫɫ ɜ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɮɨɪɦɟ?

ɉɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɩɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɨɬ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫ-

ɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɟɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɷɬɨɦɭ ɰɟɧɬɪɭ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɪɚɜɧɚ ɝɥɚɜɧɨɦɭ ɦɨɦɟɧɬɭ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɭ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ

dLCr

dt

ɉɨɱɟɦɭ ɫɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ ɧɟ ɜɥɢɹɟɬ ɧɚ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɸɛɨɣ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ ɫɢɫɬɟɦɵ?

ȿɫɥɢ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɣ ɜɧɟɲɧɟɣ ɫɢɥɨɣ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɨɣ ɤ ɫɢɫɬɟɦɟ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ, ɬɨ ɝɥɚɜɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɸɛɨɣ ɨɫɢ, ɱɟɪɟɡ ɧɟɝɨ ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ, ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ. ȼ

ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɸɛɨɣ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ, ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦ.

ɉɨɱɟɦɭ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɋɨɥɧɟɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɟɟ ɰɟɧ-

ɬɪɚ ɦɚɫɫ ɧɟ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ?

Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɬɟɥ ɋɨɥɧɟɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɜɧɭɬɪɟɧ-

ɧɢɯ ɫɢɥ ɜɡɚɢɦɧɨɝɨ ɩɪɢɬɹɠɟɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɬɟɥɚɦɢ ɫɢɫɬɟɦɵ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɤɢɧɟ-

86

ɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɫɨɥɧɟɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɟɟ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɞɨɥ-

ɠɟɧ ɨɫɬɚɜɚɬɶɫɹ ɧɟɢɡɦɟɧɧɵɦ ɩɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ.

Ʉɚɤɨɣ ɜɢɞ ɢɦɟɸɬ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɥɨɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɜɟɪ-

ɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɢ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɤɚɤɢɯ ɬɟɨɪɟɦ ɨɧɢ ɩɨɥɭɱɟɧɵ?

Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟɭɪɚɜɧɟɧɢɹɩɥɨɫɤɨɝɨɞɜɢɠɟɧɢɹɬɜɟɪɞɨɝɨɬɟɥɚɢɦɟɸɬɜɢɞ:

G

mxc ¦Fixe , myc ¦Fiye , ICz M ¦mCz (Fie ).

Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɥɨɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɩɨɥɭ-

ɱɟɧɵ ɢɡ ɬɟɨɪɟɦɵ ɨ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɢ ɬɟɨɪɟɦɵ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟ-

ɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɜ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɬɟɥɚ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɰɟɧɬɪɭ ɦɚɫɫ.

Ʉɚɤɢɦ ɜɢɞɨɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɥɨɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɭɞɨɛɧɨ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ, ɟɫɥɢ ɡɚɞɚɧɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɬɟɥɚ?

ȿɫɥɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɡɚɞɚɧɚ, ɭɞɨɛɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧ-

ɰɢɚɥɶɧɵɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ C ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɹɯ ɧɚ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɭɸ ɢ ɧɨɪɦɚɥɶ ɤ ɷɬɨɣ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ.

Ⱦɢɧɚɦɢɤɚ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢ ɫɜɨɛɨɞɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɜɟɪɞɨ-

ɝɨ ɬɟɥɚ.

ɉɨ ɤɚɤɢɦ ɮɨɪɦɭɥɚɦ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɵɯ ɨɫɟɣ

ɩɪɢ ɟɝɨ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ?

87

Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ, ɫɨɜɟɪɲɚɸɳɟɝɨ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɨɟ ɞɜɢɠɟ-

ɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɬɨɱɤɢ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɨɛɳɟɣ ɮɨɪɦɭɥɟ:

L0 ¦ri umiVi .

Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɬɟɥɚ, ɫɨɜɟɪɲɚɸɳɟɝɨ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ, ɨɬ-

ɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɵɯ ɨɫɟɣ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ:

ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɵ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɝɥɚɜɧɵɯ ɨɫɟɣ ɢɧɟɪɰɢɢ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ ɢɡ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɬɟɥɚ, ɩɪɢ ɟɝɨ ɫɮɟɪɢɱɟ-

ɫɤɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ?

ȿɫɥɢ ɡɚ ɨɫɢ ɩɪɢɧɹɬɵ ɝɥɚɜɧɵɟ ɨɫɢ ɢɧɟɪɰɢɢ ɜ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɬɨɱɤɟO , ɬɨ ɰɟɧɬɪɨɛɟɠɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɢɧɟɪɰɢɢ Ixy ,Iyz ,Izx ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ ɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɟ

ɦɨɦɟɧɬɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɷɬɢɯ ɨɫɟɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ:

Lx IxZx , Ly IyZy , Lz IzZz.

Ʉɚɤɨɣ ɜɢɞ ɢɦɟɸɬ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɗɣɥɟɪɚ?

Ⱦɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɗɣɥɟɪɚ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ:

ɝɞɟ Ix ,Iy ,Iz – ɦɨɦɟɧɬɵɢɧɟɪɰɢɢɬɟɥɚɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɟɝɨɨɫɟɣɢɧɟɪɰɢɢɜɬɨɱ-

ɤɟɈ;

88

Mxe , M ye , Mze – ɝɥɚɜɧɵɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɬɟɥɭ,

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɷɬɢɯ ɠɟ ɨɫɟɣ.

Ʉɚɤɨɟ ɬɜɟɪɞɨɟ ɬɟɥɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɝɢɪɨɫɤɨɩɨɦ?

Ƚɢɪɨɫɤɨɩɨɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɹɠɟɥɨɟ ɬɜɟɪɞɨɟ ɬɟɥɨ, ɜɪɚɳɚɸɳɟɟɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɨɫɢ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɣ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ, ɨɞɧɚ ɢɡ ɬɨɱɟɤ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɚ.

ɑɟɦɭ ɪɚɜɟɧ ɢ ɤɚɤ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɛɵɫɬɪɨɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ

ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɟɝɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɬɨɱɤɢ?

Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɬɨɱɤɢ O

ɧɚɩɪɚɜɥɟɧ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɢ ɪɚɜɟɧ

Lo I[Z,

ɝɞɟ I[ – ɦɨɦɟɧɬ ɢɧɟɪɰɢɢ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ.

Ʉɚɤɢɦɢ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɛɵɫɬɪɨɜɪɚɳɚɸɳɢɣɫɹ ɝɢɪɨ-

ɫɤɨɩ ɫ ɬɪɟɦɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ?

Ƚɢɪɨɫɤɨɩ ɫ ɬɪɟɦɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɶɸ ɩɪɨɬɢɜɨɞɟɣ-

ɫɬɜɨɜɚɬɶɫɢɥɚɦ, ɫɬɪɟɦɹɳɢɦɫɹɢɡɦɟɧɢɬɶɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟɟɝɨɨɫɢɜɪɚɳɟɧɢɹ.

Ʉɚɤɨɣ ɷɮɮɟɤɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬ ɞɟɣɫɬɜɢɟ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɫɢɥɵ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɨɣ ɤ

ɨɫɢ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɝɨ ɢ ɛɵɫɬɪɨɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɫ ɬɪɟɦɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ

ɫɜɨɛɨɞɵ?

ɉɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ F ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɣ ɝɢɪɨɫɤɨɩ ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɜɨ-

ɤɪɭɝ ɨɫɢ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɥɢɧɢɸ ɞɟɣɫɬ-

ɜɢɹ ɫɢɥɵ F ɢ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɭɸ ɬɨɱɤɭ C . ɉɨɫɥɟ ɩɪɟɤɪɚɳɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢ-

89

ɥɵ ɝɢɪɨɫɤɨɩ ɩɪɨɞɨɥɠɚɟɬ ɜɪɚɳɚɬɶɫɹ ɩɨ ɢɧɟɪɰɢɢ ɜɨɤɪɭɝ ɷɬɨɣ ɨɫɢ ɫ ɩɨɫɬɨ-

ɹɧɧɨɣ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɨɧ ɩɪɢɨɛɪɟɥ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ F .

ɉɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ F ɫɦɟɳɟɧɢɟ ɨɫɢ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɧɟ ɩɨ ɧɚ-

ɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ, ɚ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɟɟ ɦɨɦɟɧɬɚ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭ-

ɥɹɪɧɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɫɢɥɵ.

ɉɨɫɥɟ ɩɪɟɤɪɚɳɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ ɝɢɪɨɫɤɨɩ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɫɜɨɟɣ ɨɫɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ, ɨɬɤɥɨɧɟɧɧɨɣ ɨɬ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚ ɭɝɨɥ D .

ȼɵɜɟɞɢɬɟ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɩɪɟɰɟɫɫɢɢ ɨɫɢ ɝɢɪɨ-

ɫɤɨɩɚ.

Ɉɫɶ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ OZ ɫ ɧɟ-

ɤɨɬɨɪɨɣ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ Z1, ɨɩɢɫɵɜɚɹ ɤɨɧɢɱɟɫɤɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ. ɗɬɨ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɟɝɭɥɹɪɧɨɣ ɩɪɟɰɟɫɫɢɟɣ, ɚ ɭɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨ-

ɪɨɫɬɶ Z1 – ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ ɩɪɟɰɟɫɫɢɢ.

ɍɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɩɪɟɰɟɫɫɢɢ Z1 ɬɟɦ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɭɝɥɨɜɚɹ ɫɤɨ-

ɪɨɫɬɶ Z ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɝɢɝɪɨɫɤɨɩɚ ɜɨɤɪɭɝ ɟɝɨ ɨɫɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ.

Gd

Z1 I[Z .

ȼ ɱɟɦ ɫɨɫɬɨɢɬ ɪɚɡɧɢɰɚ ɜ ɫɜɨɣɫɬɜɚɯ ɝɢɪɨɫɤɨɩɨɜ ɫ ɞɜɭɦɹ ɢ ɬɪɟɦɹ ɫɬɟɩɟɧɹ-

ɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ?

Ƚɢɪɨɫɤɨɩ ɫ ɞɜɭɦɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ ɧɟ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɶɸ ɩɪɨɬɢ-

ɜɨɞɟɣɫɬɜɨɜɚɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɢɸ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɟɝɨ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ.

Ʉɚɤɨɜɚ ɮɢɡɢɱɟɫɤɚɹ ɫɭɳɧɨɫɬɶ ɝɢɪɨɫɤɨɩɢɱɟɫɤɨɝɨ ɷɮɮɟɤɬɚ ɢ ɩɪɢ ɤɚɤɢɯ ɭɫɥɨ-

ɜɢɹɯ ɨɧ ɧɚɛɥɸɞɚɟɬɫɹ?

Ƚɢɪɨɫɤɨɩɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ ɆȽ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɦɨɦɟɧɬ ɩɚɪɵ, ɫɨɫɬɚɜ-

ɥɟɧɧɨɣ ɫɢɥɚɦɢ ɢɧɟɪɰɢɢ ɝɢɪɨɫɤɨɩɚ ɢ ɪɚɜɟɧ ɩɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ

M Ƚ I[ ZZ1 .

90