Раздел 1. Центральное Растяжение (сжатие) бруса

1. Основные теоретические сведения и расчетные формулы

1. Определение понятия «растяжение (сжатие) бруса»

Центральное (осевое) растяжение и сжатие - это такой вид деформации бруса, при котором в поперечных сечениях бруса (стержня) возникают продольные силы, параллельные его оси, а все остальные внутренние усилия равны нулю. Стержень в продольном направлении удлиняется при растяжении и укорачивается при сжатии, в поперечном направлении его размеры уменьшаются при растяжении и увеличиваются при сжатии, ось стержня остается прямой. Внешние силы, приложенные к торцевым или промежуточным сечениям, должны быть направлены по оси стержня, либо приводиться к равнодействующей силе, направленной вдоль этой оси.

2. Определение продольных сил. Построение эпюр продольных сил

Продольная, или нормальная, сила N, действующая в поперечном сечении, – это равнодействующая равномерно распределенных по сечению внутренних усилий. Продольная сила N условно считается положительной при растяжении и отрицательной при сжатии.

Ее величина может быть найдена методом сечений: продольная сила N численно равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех вне­­­­­­­ш­­­них сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого се­чения.

В Международной системе единиц (СИ) сила выражается в ньютонах, в расчетах чаще применяется величина в тысячу раз большая – килоньютон (кН), 1кН =10³ Н.

Примечание: существуют конструкции, внутренние усилия в которых невозможно определить только из уравнений их статического равновесия. Подобные конструкции называются статически неопределимыми. для их расчета приходится, кроме уравнений статики, записывать дополнительные уравнения, учитывающие способность конструкции деформироваться под действием внешних нагрузок, изменения температуры ее элементов и из-за несоответствия размеров элементов конструкции ее геометрической схеме.

Продольная сила N может изменяться по длине стержня. График, показывающий изменение силы N при переходе от одного сечения к другому, называется эпюрой продольных сил. Каждая ордината эпюры численно равна продольной силе, действующей в данном сечении.

Построение эпюры N рекомендуется проводить в следующей последовательности:

- разбить брус на участки. Участок – это часть бруса, расположенная между сечениями, в которых приложены внешние сосредоточенные силы, начинается или заканчивается нагрузка, распределенная по его длине;

- применяя метод сечений, составить выражения для определения продольной силы N в произвольном сечении каждого участка и вычислить ее величину как алгебраическую сумму проекций всех внешних сил, приложенных к брусу слева или справа от рассматриваемого сечения;

- при наличии в пределах участка нагрузки, распределенной по его длине, вычислить величину силы N на границах участков;

- параллельно оси бруса провести прямую линию – ось (базу) эпюры;

- выбрав масштаб графика, отложить в граничных сечениях перпендикулярно оси эпюры вверх положительные значения продольной силы, вниз – отрицательные. Если ось бруса вертикальна, вправо откладываются положительные значения продольной силы, влево - отрицательные.

- соединить полученные точки прямыми линиями и заштриховать эпюру прямыми, перпендикулярными базе, поставить на эпюре в кружочке знак плюс для растягивающего усилия или минус – для сжимающего. На границах участков проставить числа, соответствующие продольным силам, действующим в этих граничных сечениях.

Примечание: если на стержень действуют только сосредоточенные силы, эпюра ограничена прямыми линиями, параллельными ее оси, т.е. состоит из прямоугольников и имеет скачки в сечениях, в которых приложены внешние сосредоточенные силы. На участках, находящихся под действием нагрузки, равномерно распределенной по длине бруса, эпюра N ограничена наклонной прямой.

Пример 1.1. Построить эпюру продольных сил N для бруса, показанного на рис.1.1.

Рис. 1.1. Схема бруса

Решение.

Заданный брус разбиваем на три участка: АВ, ВС, CD (рис. 1.2,а).

Записываем выражения для определения продольных сил, действующих в пределах каждого из участков, мысленно рассекая брус (рис. 1.2,б,в,г) произвольными сечениями с координатами ( и отсчитываются от левого торцевого сечения, - от правого, что упрощает вычисления).

Рис. 1.2. К определению продольных сил в поперечных сечениях бруса и построению эпюры продольных сил: а) схема бруса; (б-г) определение

продольных сил; д) эпюра продольных сил

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:

Из выражений, приведенных выше, следует, что на участках АВ и ВС эпюра ограничена прямыми, параллельными оси эпюры N, а на участке CD продольная сила изменяется по линейному закону, и эпюра N ограничена наклонной прямой. Вычисляем значения продольных сил на границах участков - в сечениях А, В, С и D.

; .

Для вычисления продольной силы в сечении D подставим в уравнение

значение z = 0: .

Если подставить z = 1 м, получим значение силы, действующей в сечении С: , что соответствует ранее полученному результату. Эпюра продольных сил, построенная по методическим рекомендациям, приведенным выше, представлена на (рис. 2.2,д).

3. Нормальные напряжения в поперечном сечении. Эпюра нормальных напряжений

При осевом растяжении-сжатии в поперечном сечении бруса действуют только нормальные напряжения, характеризующие интенсивность равномерно распределенных по сечению внутренних усилий.

Нормальные напряжения, обозначаемые греческой буквой (сигма), одинаковы во всех точках поперечного сечения и могут быть оп­­ределены по формуле

, (1.1)

где N - продольная сила в поперечном сечении (Н); F - его пло­щадь (м²).

Растягивающие напряжения считаются положительными, сжимающие – отрицательными.

Примечание: в учебной литературе площадь фигуры иногда обозначается латинской буквой А (от английского слова area - площадь).

Как видно из формулы (1.1), величина нормальных напряжений не зависит от материала бруса.

В Международной системе единиц (СИ) нормальное напряжение выражается в паскалях. В практических расчетах напряжения чаще всего выражаются в мегапаскалях (МПа), 1МПа = 10⁶ Па. В справочной и учебной литературе, изданной ранее, сила может быть выражена в кГс, а напряжение - в кГссм² или же в кГс мм² .

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях по длине бруса строится эпюра нормальных напряжений.

Пример 1.2. Построить эпюру продольных сил N и эпюру нормальных напряжений для бруса, показанного на рис. 1.3,а.

Решение.

Применяя метод сечений, вычислим, как это было сделано в примере 1.1, продольные силы, действующие в поперечных сечениях бруса участков AB, BC, CD и DE:

По найденным значениям продольных сил строим эпюру N (рис. 1.3,б).

Вычисляем нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях бруса участков AB, BC, CD и DE:

Рис. 1.3. К построению эпюр продольных сил и нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса а) схема бруса; б) эпюра продольных сил;

в) эпюра нормальных напряжений.

Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 1.3,в.

На рис. 1.3,б и 1.3,в можно видеть, что эпюра продольных сил имеет два скачка - в сечениях B и D, где приложены внешние силы, а эпюра нормальных напряжений – три: в сечениях B и D, где приложены внешние силы, и в месте изменения площади поперечного сечения (сечение С).

4. Деформации растянутого (сжатого) бруса

При растяжении длина бруса увеличивается, а поперечные размеры умень­шаются, при сжатии наблюдается обратная картина (рис. 1.4)

а) б)

Рис. 1.4. Деформации бруса: а) при растяжении, б) при сжатии

Поперечные сечения при растяжении - сжатии остаются плоскими, смещаясь параллельно своему начальному положению.

Изменение первоначальной длины бруса называется его абсолютным удлинением и определяется из выражения:

(1.2)

где l - начальная длина бруса; l_к – длина бруса после его нагружения.

Частное от деления абсолютного удлинения бруса на его начальную длину называется продольной линейной деформацией (относительным удлинением) бруса

(1.3)

При растяжении l > 0 и  > 0, при сжатии эти величины отрицательны.

Абсолютное поперечное сужение (абсолютная поперечная деформация)

(1.4)

где b - первоначальный поперечный размер бруса; b_к - его величи­на после нагружения.

Относительное поперечное сужение (относительная поперечная деформация)

. (1.5)

Абсолютная величина отношения , обозначаемая греческой буквой (мю) или (ню), называется коэффициентом Пуассона

. (1.6)

Она является в пределах упругих деформаций постоянной величиной для каждого материала и характеризует его упругие свойства.

Изменение начальных размеров бруса может произойти не только от действия приложенных к брусу внешних сил, но и от действия собственного веса бруса, а также от изменения температуры материала, из которого он изготовлен. Большинство реальных физических тел при нагревании расширяются, а при охлаждении сжимаются. Вычислить удлинение бруса при изменении его температуры можно по формуле

, (1.7)

где - абсолютное удлинение бруса, - коэффициент линейного расширения его материала, - температура, на которую нагревается или охлаждается брус, - длина бруса до изменения температуры.

5. Закон Гука. Вычисление продольного удлинения бруса.

Между нормальным напряжением, действующим в поперечном сечении бруса, и его относительным удлинением существует прямая пропорциональная зависимость, называемая законом Гука:

, (1.8)

где E - коэффициент пропорциональности (модуль упругости первого рода, или модуль Юнга).

Модуль упругости - это физическая величина, характеризующая жесткость материала и измеряе­мая в тех же единицах, что и нормальное напряжение.

Если N, E, F на участке бруса длиной l постоянны, его абсолютное удлинение можно найти по формуле:

. (1.9)

Примечание: Величина EF, стоящая в знаменателе, называется жесткостью бруса при осевом растяжении-сжатии.

Если величины N, E, F (или хотя бы одна из них), не изменяются в пределах участка, но изменяются по длине бруса, полное абсолютное удлинение бруса подсчитывается как алгебраическая сумма удли­нений участков, в пределах которых N, E, F постоянны.

. (1.10)

Пример 1.3. Определить абсолютное удлинение бруса, показанного на рис. 1.5 . Модули упругости стали и меди: Е_с = , Е_м = .

Рис. 1.5. Расчетная схема бруса

Решение.

Абсолютное удлинение заданного бруса следует вычислять по формуле (1.10)

Методом сечений определяем продольные силы, действующие в сечениях AB, BC, CD, DE:

Подставив численные значения, получим

Если же величины N и F изменяются по длине бруса по непрерывному закону, его абсолют­ное удли­не­ние следует вычислять по формуле

. (1.11)

Пример 1.4. Определить абсолютное удлинение растянутого бруса, имеющего коническую форму (рис. 1.6,а). Р = 20 кН, d = 2см, l = 1м,  Е = .

Решение.

Поскольку площадь поперечного сечения заданного бруса непрерывно меняется по его длине, для вычисления абсолютного удлинения бруса следует воспользоваться формулой (1.11).

Рис. 1.6. К определению удлинения бруса переменного сечения:

а) схема бруса, б) определение диаметра бруса в его произвольном

сечении

Очевидно, что в любом поперечном сечении , и под знаком интеграла находится только одна переменная величина - .

Из рис. 1.6,б следует, что

Площадь поперечного сечения бруса

.

По формуле 1.11 удлинение бруса

6. Продольные перемещения поперечных сечений при растяжении-сжатии

В ряде задач требуется определить перемещение какого-либо поперечного сечения стержня. Следует иметь ввиду, что перемещение сечения зависит не от деформации всего стержня, а лишь от деформации его части, заключенной между этим сечением и неподвижной заделкой. Если же нужно определить изменение расстояния между двумя поперечными сечениями бруса, то для этого сле­дует определить удлинение части бруса, расположенной между этими сечениями.

Аналогично эпюрам продольных сил и напряжений можно построить эпюру перемещений.

Пример 1.5. Для стального бруса показанного на рис.1.7а, построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и эпюру перемещений поперечных сечений. Модуль упругости стали принять

Решение.

Очевидно, что по длине бруса сила не изменяется и равна 20 кН. Нормальные напряжения на участках AB и BC соответственно равны

Эпюры продольных сил и нормальных напряжений (рис. 1.7,б,в) построены так же, как это делалось в примере 1.2.

Для построения эпюры перемещений рассмотрим сечение, находящееся на расстоянии от заделки. Его перемещение равно удлинению части бруса, заключенной между заделкой и этим сечением и определяется по формуле в пределах .

Рис.1.7. К построению эпюр продольных сил, нормальных напряжений и эпюры перемещений поперечных сечений бруса: а) схема бруса; б) эпюра продольных сил; в) эпюра нормальных напряжений,

г) эпюра перемещений поперечных сечений бруса

При ,

при .

В пределах участка АВ перемещение изменяется по линейному закону, следовательно, на этом участке эпюра имеет вид треугольника. Рассмотрим далее сечение, находящееся на расстоянии от места изменения поперечных размеров. Его перемещение равно сумме удлинений участков АВ и z₂, т.е. в пределах .

Таким образом, при имеем .

В свою очередь при получим

,

то есть на участке ВС эпюра перемещений представляет собой трапецию, что и показано на рис.1.7,г.

Методы определения нормальных напряжений и линейных деформаций используются при расчетах растянутого или сжатого бруса на прочность и жесткость.

7. Расчет бруса на прочность по допускаемым напряжениям

Рассмотрим задачи, связанные с расчетом бруса на прочность по допускаемым напряжениям. Очевидно, что прочность бруса как элемента конструкции будет обеспечена, если величина максимального нормального напряжения _max, действующего в его поперечном сечении, не превышает некоторой величины [], называемой допускаемым напряжением.

Условие прочности материала бруса при растяжении - сжатии записывается в виде двух выражений

, , (1.12)

где , - соответственно максимальные растягивающие и сжимающие (по абсолютной величине) напряжения, и - допускаемые напряжения материала при растяжении и сжатии.

Максимальные по абсолютной величине напряжения действуют в сечении или сечениях, ко­­торые называются опасными.