Теоретическая механика_в_Вопросах_и_Ответах
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ȿɫɥɢ ɝɥɚɜɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ (MOze ) ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɜɫɟ
ɜɪɟɦɹ ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ, ɬɨ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ LOz ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɷɬɨɣ ɨɫɢ
ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦ
MOze 0, LOz const .
Ʉɚɤɨɜɚ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ ɬɟɨɪɟɦɵ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟ-
ɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ?
ɋɤɨɪɨɫɬɶ ɤɨɧɰɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢ ɪɚɜɧɚ ɝɥɚɜɧɨɦɭ ɦɨ-
ɦɟɧɬɭ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɭ, ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɬɨɝɨ ɠɟ ɰɟɧɬɪɚ (ɬɟɨɪɟɦɚ Ɋɟɡɚɥɹ)
UdLO MOe . dt
Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ.
Ʉɚɤɨɜɵ ɞɜɟ ɦɟɪɵ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɢɦ ɢɡɦɟ-
ɪɢɬɟɥɢ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ?
ȼ ɦɟɯɚɧɢɤɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ:
xɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɟɪɟɧɨɫɢɬɫɹ ɫ ɨɞɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɚ ɞɪɭɝɭɸ ɜ ɤɚ-
ɱɟɫɬɜɟ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ (ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ). Ɇɟɪɨɣ ɞɜɢɠɟ-
ɧɢɹ ɫɢɥɵ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪ ɢɦɩɭɥɶɫɚ ɫɢɥɵ S .
xɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɪɟɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜ ɞɪɭɝɭɸ ɮɨɪɦɭ ɞɜɢɠɟɧɢɹ (ɩɨ-
ɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ, ɬɟɩɥɨɬɵ ɢ ɬ. ɞ.). ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɦɟɪɵ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɜɵɫɬɭɩɚɟɬ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ. Ɇɟɪɨɣ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɚɛɨɬɚ.
Ʉɚɤ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɪɚɛɨɬɚ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɫɢɥɵ ɧɚ
ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ?
61
Ɋɚɛɨɬɚ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɫɢɥɵ ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɦɨɞɭɥɹ ɫɢɥɵ ɧɚ ɞɥɢɧɭ ɩɭ-
ɬɢ, ɩɪɨɣɞɟɧɧɨɝɨ ɬɨɱɤɨɣ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɫɢɥɵ ɢ ɧɚ ɤɨɫɢɧɭɫ ɭɝɥɚ ɦɟɠɞɭ ɧɚ-
ɩɪɚɜɥɟɧɢɹɦɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɫɢɥɵ ɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɟɟ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ.
A F S cos(F,S ).
ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɫɤɨɥɶɠɟɧɢɹ, ɟɫɥɢ ɷɬɚ ɫɢɥɚ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ?
Ɋɚɛɨɬɚ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɫɢɥɵ ɬɪɟɧɢɹ ɫɤɨɥɶɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ A Fɬɪ S .
Ʉɚɤɢɦ ɩɪɨɫɬɵɦ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɩɨ ɦɨɞɭ-
ɥɸ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɫɢɥɵ ɧɚ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ?
ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɧɚ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɤɪɢɜɨ-
ɥɢɧɟɣɧɨɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɵɦ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
A F S .
ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɪɚɛɨɬɚ ɪɚɜɧɨɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɣ ɫɢɥɵ?
Ɋɚɛɨɬɚ ɪɚɜɧɨɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɣ ɫɢɥɵ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɪɚɜɧɚ ɚɥ-
ɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɣ ɫɭɦɦɟ ɪɚɛɨɬ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ ɫɢɥ ɧɚ ɬɨɦ ɠɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ
M2
A ¦ ³ Fi dr .
M1
Ʉɚɤ ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɭɸ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ ɱɟɪɟɡ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɣ ɩɭɬɶ ɬɨɱ-
ɤɢ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɫɢɥɵ ɢ ɤɚɤ — ɱɟɪɟɡ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɟ ɞɭɝɨɜɨɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɢ?
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ F ɧɚ ɭɱɚɫɬɤɟ dS ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
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G A |
F dS cos(F,V ). |
||||
Ɋɚɛɨɬɭ ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ dS |
ɫɨɜɟɪɲɚɟɬ ɬɨɥɶɤɨ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɚɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸ- |
|||||||
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ɳɚɹ ɫɢɥɵ FW F cos(F |
,W |
) |
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62
G A FW dS .
Ʉɚɤɨɜɨ ɜɟɤɬɨɪɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ?
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɭɸ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ F ɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ d r ɦɨɠ-
ɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɤ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ G A F dr .
Ʉɚɤɨɜɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ ɱɟɪɟɡ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɫɢɥɵ ɧɚ ɨɫɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ?
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ F ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ dr ɱɟɪɟɡ ɩɪɨɟɤɰɢɢFx ,
Fy , Fz , dx , dy ,dz ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɜ ɜɢɞɟ
G A Fxdx Fydy Fzdz .
ɇɚɩɢɲɢɬɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɜɢɞɵ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɟɝɨ ɪɚ-
ɛɨɬɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɫɢɥɵ ɧɚ ɤɨɧɟɱɧɨɦ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ.
M 2 |
M 2 |
M 2 |
||||||||
A1,2 ³ F cos F |
|
|
|
dr , A1,2 |
³ F cos F |
,W |
dS , A1,2 |
³ FW dS , |
||
,V |
||||||||||
M1 |
M1 |
M1 |
||||||||
M 2 |
M 2 |
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||||||||
|
|
dr |
, A1,2 |
³ Fxdx Fydy Fzdz . |
|
|||||
A1,2 ³ F |
|
|||||||||
M1 |
M1 |
|
||||||||
ȼ ɱɟɦ ɫɨɫɬɨɢɬ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɫɩɨɫɨɛ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɫɢɥɵ ɧɚ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ?
Ⱦɥɹ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ ɫɢɥɵ F ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ M1M2
ɩɨ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ ɨɬɤɥɚɞɵɜɚɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɭɝɨɜɨɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ S, ɚ
ɩɨ ɨɫɢ ɨɪɞɢɧɚɬ – ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɫɢɥɵ ɧɚ ɤɚɫɚ-
ɬɟɥɶɧɭɸ FW . Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ F ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ M1M2 ɢɡɨɛɪɚɡɢɬɶɫɹ ɩɥɨ-
ɳɚɞɶɸ ɮɢɝɭɪɵ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɨɫɶɸ ɚɛɫɰɢɫɫ, ɤɪɢɜɨɣ FW f (s) ɢ ɨɪɞɢɧɚ-
ɬɚɦɢ ac ɢbd , ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ M1 ɢ M2 .
Ʉɚɤ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɢ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ?
63
Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɪɚɜɧɚ ɜɡɹɬɨɦɭ ɫɨ ɡɧɚɤɨɦ ɩɥɸɫ ɢɥɢ ɦɢɧɭɫ ɩɪɨɢɡɜɟ-
ɞɟɧɢɸ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɧɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɟɟ ɩɪɢɥɨɠɟ-
ɧɢɹ. Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɢɞɚ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ. Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
|
x1 |
|
|
A1,0 |
c³xdx |
c |
x12 x02 , |
|
|||
|
2 |
|
|
|
x0 |
|
|
ɝɞɟ x0 — ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɞɟɮɨɪɦɚɰɢɹ.
ɇɚ ɤɚɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹɯ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ: ɚ) ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚ, ɛ) ɨɬ-
ɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ, ɜ) ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ?
Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢM1M2 :
ɚ) ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚ, ɟɫɥɢ ɬɨɱɤɚ M1 ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɚ ɜɵɲɟ ɬɨɱɤɢ M2
ɛ) ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ, ɟɫɥɢ ɬɨɱɤɚ M1 ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɚ ɧɢɠɟ ɬɨɱɤɢ M2
A1,2 rGH ,
ɝɞɟ ɡɧɚɤ ɩɥɸɫ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɸ ɬɨɱɤɢ ɜɧɢɡ, ɚ ɡɧɚɤ ɦɢɧɭɫ – ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɸ ɬɨɱɤɢ ɜɜɟɪɯ.
ȼ ɤɚɤɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚ ɢ ɜ ɤɚɤɨɦ — ɨɬɪɢ-
ɰɚɬɟɥɶɧɚ?
Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɞɟɮɨɪɦɚɰɢɹ ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬɫɹ, ɬ. ɟ. ɤɨɝɞɚ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɸ ɟɟ ɬɨɱɤɢ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ, ɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚ, ɤɨɝɞɚ ɞɟɮɨɪɦɚɰɢɹ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ.
ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɣɬɟ ɬɟɨɪɟɦɭ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶ-
ɧɨɣ ɬɨɱɤɢ.
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɪɚɜɟɧ ɫɭɦɦɟ
ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɪɚɛɨɬ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɬɨɱɤɟ ɫɢɥ
64
§
d ¨
©
ɬV 2 ·
¸ ¦G Ai . 2 ¹
ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɬɨɱɤɢ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɟɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ
ɪɚɜɧɨ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɣ ɫɭɦɦɟ ɪɚɛɨɬ ɜɫɟɯ ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɷɬɭ ɬɨɱɤɭ ɫɢɥ
ɧɚ ɷɬɨɦ ɠɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ
mV22 |
|
mV12 |
¦Ai . |
2 |
|
||
2 |
|
||
ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɣɬɟ ɬɟɨɪɟɦɭ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶ-
ɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɜ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ. ɉɨɱɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ ɪɚɛɨɬɚ ɤɨɪɢɨ-
ɥɢɫɨɜɨɣ ɫɢɥɵ ɢɧɟɪɰɢɢ?
ȼɵɪɚɠɟɧɢɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɞɥɹ ɨɬɧɨɫɢ-
ɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
2 |
2 |
M2 |
M2 |
||||||
mV2r |
|
mV1r |
¦ ³ Fi cos Fi |
,Vr dSr |
³Ɏe cos Ɏ |
|
|
dSr . |
|
e ,Vr |
|||||||||
2 |
|
||||||||
2 |
M1 |
M1 |
|||||||
|
|
|
|||||||
ɋɢɥɚ ɢɧɟɪɰɢɢ Ʉɨɪɢɨɥɢɫɚ Ɏɫ ɜɫɟɝɞɚ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ Vr . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ ɢɧɟɪɰɢɢ Ʉɨɪɢɨɥɢɫɚ ɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɬɨɱɤɢ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ.
Ʉɚɤɨɜɚ ɫɭɦɦɚ ɪɚɛɨɬ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɯ ɫɢɥ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟ-
ɧɢɢ ɬɟɥɚ?
Ɍ. ɤ. ɤɚɠɞɨɣ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɫɢɥɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɞɪɭɝɚɹ, ɪɚɜɧɚɹ ɟɣ ɩɨ ɦɨɞɭ-
ɥɸ ɢ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɚɹ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ, ɬɨ ɫɭɦɦɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɪɚɛɨɬ ɜɫɟɯ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɯ ɫɢɥ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ.
Ʉɚɤ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɫɭɦɦɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɪɚɛɨɬ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɬɜɟɪɞɨɦɭ ɬɟɥɭ: ɚ) ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ; ɛ) ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɟɝɨ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ ɢ ɜ) ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ?
65
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɬɜɟɪɞɨɦɭ ɬɟɥɭ, ɞɜɢɠɭɳɟɦɭɫɹ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨ, ɪɚɜɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɨɝɨ ɜ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɤɟ ɬɟɥɚ
G Ae Re dr .
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɬɜɟɪɞɨɦɭ ɬɟɥɭ, ɜɪɚɳɚɸɳɟɦɭ-
ɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ, ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɧɚ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɟ ɭɝɥɚ ɩɨɜɨɪɨɬɚ
G A Mze dM .
ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɫɜɨɛɨɞɧɨɦɭ ɬɜɟɪɞɨ-
ɦɭ ɬɟɥɭ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɪɚɛɨɬ ɢɯ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɟɝɨ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɷɬɢɯ ɫɢɥ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɝɧɨɜɟɧɧɨɣ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɩɨ-
ɥɸɫ, ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɩɪɢ ɩɨɜɨɪɨɬɟ ɜɨɤɪɭɝ ɷɬɨɣ ɨɫɢ
G A Re d rO MOe GM .
Ʉɚɤ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɬɜɟɪɞɨɦɭ ɬɟɥɭ, ɜɪɚɳɚɸ-
ɳɟɦɭɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ ɫ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸZ?
ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɪɚɛɨɬɵ ɡɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟɧɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɨɳɧɨɫɬɶɸ ɫɢɥɵ
N |
dA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
V FV cos(F,V ) F V F V |
F V . |
||||||||||
|
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|
dt |
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x x y y |
z z |
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ȿɫɥɢ ɬɜɟɪɞɨɟ ɬɟɥɨ ɜɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ ɨɫɢ ɫ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨ-
ɫɬɶɸ Z ɬɨ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɫɢɥ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
NMzeZ .
ɑɬɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɤɚɱɟɧɢɸ? ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨ-
ɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɬɪɟɧɢɹ ɤɚɱɟɧɢɹ ɢ ɤɚɤɨɜɚ ɟɝɨ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ?
ɉɪɢ ɤɚɱɟɧɢɢ ɰɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɤɚɬɤɚ ɩɨ ɧɟ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɬɜɟɪɞɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨ-
ɫɬɢ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɞɟɮɨɪɦɚɰɢɹ ɫɨɩɪɢɤɚɫɚɸɳɢɯɫɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɟɣ ɢ ɥɢɧɢɹ
66
ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɪɟɚɤɰɢɢ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɞɜɢɧɭɬɨɣ ɜ ɫɬɨɪɨɧɭ ɞɜɢɠɟ-
ɧɢɹ ɤɚɬɤɚ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ G ɨɬ ɥɢɧɢɢ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ ɜɟɫɚ P . Ɋɟ-
ɚɤɰɢɹ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ N ɢ ɜɟɫ P ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɚɪɭ ɫɢɥ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɫ ɩɥɟɱɨɦ
G . Ɇɨɦɟɧɬ ɷɬɨɣɩɚɪɵɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹɦɨɦɟɧɬɨɦɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɤɚɱɟɧɢɸ
Mɬɪ N G .
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɬɪɟɧɢɹ ɤɚɱɟɧɢɹ G ɢɦɟɟɬ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɞɥɢɧɵ.
ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɣɬɟ ɬɟɨɪɟɦɭ Ʉɟɧɢɝɚ ɨ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ
ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɟ ɞɜɢɠɟɧɢɹ.
Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɦɚɫɫɚ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɜɧɚ ɦɚɫɫɟ ɜɫɟɣ ɫɢɫɬɟɦɵ,
ɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɷɬɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɟɟ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧ-
ɬɪɚ ɦɚɫɫ
|
1 |
2 |
¦ |
mV 2 |
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T |
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mVC |
i ir |
. |
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2 |
2 |
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Ʉɚɤ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɥɭɱɚ-
ɹɯ ɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ?
Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨ ɞɜɢɠɭɳɟɝɨɫɹ ɬɟɥɚ ɪɚɜɧɚ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɦɚɫɫɵ ɬɟɥɚ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɟɝɨ ɫɤɨɪɨɫɬɢ
T1 mV 2 .
2
Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ, ɜɪɚɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɟɩɨɞɜɢɠ-
ɧɨɣ ɨɫɢ, ɪɚɜɧɚ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɟɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɨɬɧɨɫɢ-
ɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɬɟɥɚ
T1 IzZ2 .
2
ɉɪɢ ɩɥɨɫɤɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɜ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ
67
ɦɚɫɫ ɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɜɨ ɜɪɚɳɟɧɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɨɞɜɢɠ-
ɧɨɣ ɨɫɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ
T1 mVC2 1 ICZ2 . 2 2
Ʉɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ, ɫɨɜɟɪɲɚɸɳɟɝɨ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɨɟ ɞɜɢ-
ɠɟɧɢɟ ɪɚɜɧɚ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ ɬɟɥɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶ-
ɧɨ ɦɝɧɨɜɟɧɧɨɣ ɨɫɢ ɜɪɚɳɟɧɢɹ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬ ɭɝɥɨɜɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɬɟɥɚ
T1 I:Z2 .
2
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɧɟɪɰɢɢ I: ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ. Ʉɢɧɟ-
ɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɬɜɟɪɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɬɟɥɚ, ɜ ɟɝɨ ɩɟɪɟɧɨɫɧɨɦ ɩɨɫɬɭɩɚɬɟɥɶɧɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɦɚɫɫ ɢ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɨɦ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ
T1 mVC2 1 I:Z2 . 2 2
ɋɮɨɪɦɭɥɢɪɭɣɬɟ ɬɟɨɪɟɦɭ ɨɛ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟ-
ɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ.
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɪɚɜɟɧ ɫɭɦɦɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɪɚɛɨɬ ɜɧɟɲɧɢɯ Fie ɢ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɯ ɫɢɥ Fii ɫɢɫɬɟɦɵ
dT ¦Aie ¦G Aii .
ɉɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɩɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɨɬ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɦɨɳɧɨɫɬɟɣ ɜɧɟɲɧɢɯ ɢ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɯ ɫɢɥ ɫɢɫɬɟɦɵ
dT |
¦Nie ¦Nii . |
|
dt |
||
|
68
ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨ ɫɭɦɦɟ ɪɚɛɨɬ ɜɧɟɲɧɢɯ ɢ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɯ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɫɢɫɬɟɦɭ
T2 T1 ¦Aie ¦Aii .
ɉɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɫɢɥɨɜɨɟ ɩɨɥɟ.
Ʉɚɤɨɟ ɫɢɥɨɜɨɟ ɩɨɥɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ?
ɋɬɚɰɢɨɧɚɪɧɨɟ ɫɢɥɨɜɨɟ ɩɨɥɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɡɚɜɢɫɹɳɚɹ ɨɬ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɬɨɱɟɤ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɱɟɪɟɡ ɤɨɬɨɪɭɸ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɫɢɥɵ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɵɟ ɨɫɢ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɟ ɩɨɥɹ ɜɵɪɚ-
ɠɚɸɬɫɹ ɬɚɤ:
X |
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wU |
, Y |
wU |
,Z |
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wU |
. |
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i wx |
i wy |
i wz |
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i |
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i |
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i |
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ɑɬɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɢɥɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ? |
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Ɏɭɧɤɰɢɸ U U (xi , yi , zi ), ɝɞɟ i |
1...n ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɢɥɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ. |
||||||||
Ʉɚɤ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɭɸ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɢ ɪɚɛɨɬɭ ɷɬɢɯ ɫɢɥ ɧɚ ɤɨɧɟɱɧɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɟɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɫɢɥɨɜɚɹ ɮɭɧɤ-
ɰɢɹ ɩɨɥɹ?
ȿɫɥɢ ɫɢɥɨɜɨɟ ɩɨɥɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ, ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥ ɜ
ɷɬɨɦ ɩɨɥɟ ɪɚɜɧɚ ɩɨɥɧɨɦɭ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɭ ɫɢɥɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.
G A dU .
Ʉɚɤɨɜɚ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɬɨɱɤɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦ ɩɨ-
ɥɟ, ɧɚ ɡɚɦɤɧɭɬɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ?
Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɬɨɱɤɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɩɨɬɟɧɰɢ-
ɚɥɶɧɨɦ ɩɨɥɟ, ɪɚɜɧɚ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɢɥɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɤɨɧɟɱɧɨɦ ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɮɨɪɦɵ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɬɨɱɤɢ
69
2
A1,2 |
³ |
dU U2 |
U1 . |
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1 |
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Ɋɚɛɨɬɚ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɬɨɱɤɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɩɨɬɟɧɰɢ-
ɚɥɶɧɨɦ ɩɨɥɟ ɧɚ ɜɫɹɤɨɦ ɡɚɦɤɧɭɬɨɦ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ,
ɬ. ɤ. U2 U1 .
ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɚ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɥɸɛɨɦ ɟɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ?
ɉɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɥɸɛɨɦ ɞɚɧɧɨɦ ɟɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɪɚɛɨɬ ɫɢɥ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɹ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɟ ɤ ɟɟ ɬɨɱɤɚɦ ɧɚ ɩɟ-
ɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɢɡ ɞɚɧɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɜ ɧɭɥɟɜɨɟ
ɉɉ(xi , yi , zi ).
ɑɟɦɭ ɪɚɜɧɨ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɪɢ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɟɟ ɢɡ ɨɞɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɜ ɞɪɭɝɨɟ?
ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɦɟɯɚɧɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɪɢ ɩɟɪɟɦɟ-
ɳɟɧɢɢ ɟɟ ɢɡ ɨɞɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɜ ɞɪɭɝɨɟ ɪɚɜɧɨ ɪɚɛɨɬɟ ɫɢɥ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɯ ɤ ɬɨɱɤɚɦ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɧɚ ɬɨɦ ɠɟ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ
'ɉ ɉ1 ɉ2 A1,2 .
Ʉɚɤɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɦɟɠɞɭ ɫɢɥɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɢ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɧɚɯɨɞɹɳɟɣɫɹ ɜ ɷɬɨɦ ɩɨɥɟ?
ɉɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɉ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɫɢɥɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢU ,
ɜɡɹɬɨɣ ɫɨ ɡɧɚɤɨɦ ɦɢɧɭɫ, ɧɚ ɩɨɫɬɨɹɧɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ U0
ɉ U0 U .
Ʉɚɤ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɵɟ ɨɫɢ ɫɢɥɵ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɣ ɜ
ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦ ɩɨɥɟ ɧɚ ɥɸɛɭɸ ɬɨɱɤɭ ɫɢɫɬɟɦɵ?
ɉɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɵɟ ɨɫɢ ɫɢɥɵ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɟɣ ɜ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦ
ɩɨɥɟ ɧɚ ɤɚɠɞɭɸ ɬɨɱɤɭ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɪɚɜɧɵ ɜɡɹɬɵɦ ɫɨ ɡɧɚɤɨɦ ɦɢɧɭɫ ɱɚɫɬɧɵɦ
70